矩阵教学中观察能力培养探析.pdf
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1、数学之友2023年第10 期矩阵教学中观察能力培养探析陈思彤(中南大学数学与统计学院,湖南长沙,0 548 9 9)摘要:矩阵理论的教学是线性代数教学中重要的组成部分,它几乎贯穿线性代数教学的始终.矩阵概念、性质、法则、公式、定理等内容的学习离不开一种心理现象,即对矩阵知识的观察与理解.观察是认识矩阵的基础,亦是矩阵学习过程中逻辑思维形成的触角.在矩阵教学中,强调观察矩阵和行列式的区别与联系及二者不同的应用领域、观察矩阵秩和逆的常见求法、观察考研矩阵证明题的常见题型等意义重大.为此,矩阵教学中观察能力的培养秉承五性,即秉承观察的习惯性、目的性、方法性、全面性、深刻性尤为重要.关键词:矩阵;教学
2、;大学数学矩阵知识在线性代数中占有十分重要的地位,矩阵的概念、运算、逆矩阵、分块矩阵、初等变换、矩阵秩及矩阵在实际中的应用等尤为重要.高校数学教师在传授上述知识时,一方面要做到全面准确掌握这些知识,另一方面要运用高等教育学、心理学知识去发掘学生的潜能,开发智力与非智力因素.凭着笔者的教学经验,矩阵知识的学习离不开一种重要的心理现象,即对矩阵特征的观察.观察是认识矩阵的基础,只有充分观察矩阵,才能更好地解答各类矩阵问题,下面从六个方面进行探讨.1观察矩阵和行列式的区别与联系线性代数的第一章一般是行列式,第二章为矩阵.学生学完矩阵一章后一定要观察归纳出矩阵与行列式的区别与联系,只有这样才能更好地学
3、习后几章知识1.1矩阵与行列式的区别矩阵是一个数表,行列式是一个由数表给出的代数和式.矩阵的行数和列数可以不同,行列式的行数与列数必须相同,在教学过程中必须使学生理解以下几个不同.运算结果不同.矩阵是一个数表,只有方阵才可以定义它的行列式,而对于长方形矩阵不能定义它的行列式.两个矩阵相等是指对应元素都相等;两个行列式相等,不要求对应元素都相等,甚至阶数也可以不一样,只要运算的结果(代数和)一样就行了。运算性质不同.两矩阵相加是将对应元素相加;两行列式相加,是将运算结果相加.数乘矩阵是指某数乘以矩阵的每一个元素;而数乘行列式的某一行或列相当于此数乘以原行列式。6_数学之友变换后的结果不同.矩阵经
4、初等变换,其秩不变;行列式经初等变换,其值可能会改变,它的改变可归纳为:换法变换要变号,倍法变换差倍数,消法变换不改变.1.2矩阵与行列式的联系行列式可看作一个行数与列数相等的矩阵(即方阵)的行列式,行列式是方阵的一种属性.2观察矩阵与行列式不同的应用领域矩阵是线性代数中最核心的理论,它常见于统计分析等应用数学学科中.例如:企业投入产出分析模型,人口迁移的动态分析,编制希尔密码等.物理学中,矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有很好的应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵理论.行列式可以看作是有向面积或体积的概念在欧几里得空间中的推广,或者说,在欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性
5、变换对“体积”所造成的影响 3观察矩阵求秩常见的两种方法3.1找非零子式的最高阶数32-1-37例 1 设 A=2-1 31,取A的第1行L705-11与第1列相交处的元素构成的一阶行列式为131=3,取A的第1,3行与第2,3列相交处的元素构成的二阶行列式为10,同样可以取出A的全部三阶行列式:32-12-13=0,2-11=0,705322-370-1数学之友3-1-3231=0,-131=0,175-1容易看到有一个二阶行列式不为0,但所有的三阶行列式都为0,这个不为零的行列式的最高阶数为2,根据矩阵定义,A的秩为2.由此说明,解题时需要在观察的基础上利用求秩的基本方法,并结合相关定理理
6、解该方法.3.2初等变换化为行阶梯形矩阵1114-372135-5例 2 2 求1-13-2-1L3156-71114-372135-5f2-2r11-13-2-1T3-1L3156-7T4-3r11114-372023年第10 期2-1-305-1求A-.解:因为IAI=又因为 A=d,Ai2=-c,A21=-b,A2=a,A1lA211A*A12A.21d-b1ad-cb -ca观察发现这一方法主要根据AA*=IAIE2,这里E2是二阶单位矩阵,对于低阶矩阵可选用该的秩。方法.4.3初等变换法1-4-37例 5 2 设A=1-5-3,求A-1.L-1641-4-31007T2-T1解:AE
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