Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式.pdf
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1、第 38 卷 第 1 期2024 年 1 月山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)Journal of Shandong University of Technology(Natural Science Edition)Vol.38 No.1Jan.2024收稿日期:20221209基金项目:陕西省自然科学基金项目(2018JQ1043)第一作者:栗雪娟,女,lxj_;通信作者:王丹,女,1611182118 文章编号:1672-6197(2024)01-0073-06Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式栗雪娟,王丹(西安建筑科技大学 理学院,陕西 西安 71
2、0055)摘要:研究四阶 Cahn-Hilliard 方程的数值求解方法。给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶 Cahn-Hilliard 方程的空间导数离散,采用四阶 Runge-Kutta 格式离散时间导数,将二者结合得到四阶 Cahn-Hilliard 方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计。通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性。关键词:四阶 Cahn-Hilliard 方程;组合型超紧致差分方法;四阶 Runge-Kutta 方法;误差估计中图分类号:TB532.1;TB553文献标志码:AA supercomp
3、act finite difference scheme for Cahn-Hilliard equationsLI Xuejuan,WANG Dan(School of Science,Xian University of Architecture and Technology,Xian 710055,China)Abstract:A numerical method for solving the fourth order Cahn-Hilliard equation is studied.The combi-national ultra-compact difference scheme
4、 is given and applied to the spatial derivative discretization of thefourth order Cahn-Hilliard equation.The fourth-order Runge-Kutta scheme is used to discrete time deriv-atives.The discrete scheme of the fourth order Cahn-Hilliard equation is obtained by combining the twomethods,and the error esti
5、mate of the scheme is given.Finally,the numerical solution is obtained byprogramming and compared with the exact solution.The results show that the numerical method in thispaper has a small error,verifying the effectiveness and feasibility of the proposed method.Keywords:fourth order Cahn-Hilliard e
6、quation;combinational supercompact difference scheme;fourthorder Runge-Kutta;error estimation 本文考虑的四阶 Cahn-Hilliard 方程为ut-f u()xx+kuxxxx=0,x 0,2,t 0,u x,0()=u0 x(),x 0,2,u 0,t()=0,u 2,t()=0,t 0,(1)式中:求解区域为 0,2,且 kn 0;f u()为光滑函数;u0 x()表示 t=0 时刻的初值;ut表示 u 关于时间 t 求偏导数,ut=ut;f u()xx表示 f u()关于 x求二阶偏导数,f
7、u()xx=2f u()x2;uxxxx表示 u 关于 x求四阶偏导数,uxxxx=4ux4;u 是混合物中某种物质的浓度,被称为相变量。1958 年,Cahn 和 Hilliard 提出 Cahn-Hilliard 方程,该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象。随着学者对该方程的研究越来越深入,该方程的应用也越来越广泛,特别是在材料科学和物理学等领域中有广泛的应用1-3。Cahn-Hilliard 方程的数值解法目前已有很多研究,文献4使用了全离散有限元方法,文献5使用 了 一 类 二 阶 稳 定 的 Crank-Nicolson/Adams-Bashforth
8、离散化的一致性有限元逼近方法,文献6-7使用了有限元方法,文献8使用了不连续伽辽金有限元方法,文献9使用了 Cahn-Hilliard 方程的完全离散谱格式,文献10使用了高阶超紧致有限差分方法,文献11使用了高阶优化组合型紧致有限差分方法。综上所述,本文拟对 Cahn-Hilliard 方程构造一种新的超紧致差分格式,将空间组合型超紧致差分方法和修正的时间四阶 Runge-Kutta 方法相结合,求解 Cahn-Hilliard 方程的数值解,得到相对于现有广义格式精度更高的数值求解格式,并对组合型超紧致差分格式进行误差估计,最后通过数值算例验证该方法的可行性。1 高阶精度数值求解方法1.1
9、 空间组合型超紧致差分格式早期的紧致差分格式是在 Hermite 多项式的基础上构造而来的,Hermite 多项式中连续三个节点的一阶导数、二阶导数和函数值的数值关系可以表示为1k=-1akfi+k+bkfi+k+ckfi+k()=0。(2)1998 年,Krishnan 提出如下紧致差分格式:a1fi-1+a0fi+a2fi+1+h b1fi-1+b0fi+b2fi+1()=1hc1fi-2+c2fi-1+c0fi+c3fi+1+c4fi+2(),(3)式中:h 为空间网格间距;a1,a0,a2,b1,b0,b2,c1,c2,c0,c3,c4均表示差分格式系数;fi表示 i 节点的函数值;f
10、i和 fi分别表示 i 节点的一阶导数值和二阶导数值;fi-1,fi-2,fi+1,fi+2分别表示 i 节点依次向前两个节点和依次向后两个节点的函数值;fi-1,fi+1分别表示 i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的一阶导数值;fi-1,fi+1分别表示 i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的二阶导数值。式(2)对应f(x)展开以xi为邻域的泰勒级数为f x()=f xi()+hf xi()+h2f xi()2!+h3fxi()3!+h4f4()xi()4!+h5f5()xi()5!+h6f6()xi()6!+h7f7()xi()7!。(4)差分格式的各项系数由式(3)决定,可
11、得到如下的三点六阶超紧致差分格式:716fi+1+fi-1()+fi-h16fi+1-fi-1()=1516hfi+1-fi-1(),98hfi+1-fi-1()+fi-18fi+1+fi-1()=3h2fi+1-2fi+fi-1()(5)为优化三点六阶紧致差分格式,并保持较好的数值频散,将迎风机制12引入式(5),构造出如下三点五阶迎风型超紧致差分格式:78fi-1+fi+h19fi-1-718fi-172fi+1()=1h-10148fi-1+73fi-1148fi+1(),25fi-1+fi+1h1910fi-1+165fi+910fi+1()=1h2-135fi-1-45fi+175f
12、i+1()。(6)左右边界可达到三阶精度紧致格式:f1-132f2+f3()+3h4f2+f3()=-12hf3-f2(),f1+3728hf3-f2()+3914hf1-3356f3-f2()=f3-2f1+f2(),(7)fN-132fN-2+fN-1()-3h4fN-2+fN-1()=12hfN-2-fN-1(),fN-3728h(fN-2-fN-1)-3914hfN-3356(fN-2-fN-1)=1314h2fN-2-2fN+fN-1()。(8)上述组合型超紧致差分格式只需要相邻的三个节点便可以同时求得一阶导数和二阶导数的五阶精度近似值,比普通差分格式的节点更少,降低了计算量。为便于
13、编程计算,将上述构造的组合型超紧致差分格式重写为矩阵表达形式。假设 U 为位移矩阵,其大小为 m n,则求一阶导数和二阶导数的离47山 东 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2024 年散过程可以用矩阵运算表示为AF=BU,(9)结合内点的三点五阶迎风型超紧致差分格式和边界点的三点三阶差分格式,组成式(9)中等式左边的矩阵 A 和等式右边的矩阵 B,大小分别为 2m 2n和 2m n;F 为奇数行为空间一阶导数和偶数行为空间二阶导数组成的矩阵,大小为 2m n。以上矩阵分别为:A=10-13/23h/4-13/23h/439/14h1-37/28h33/5637/28h-33/567
14、/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100-13/2-3h/4-13/2-3h/410-37/28h-33/5637/28h33/56-39/14h1,(10)F=ux()1,1ux()1,2ux()1,n-1ux()1,n2ux2()1,12ux2()1,22ux2()1,n-12ux2()1,nux()m,1ux()m,2ux()m,n-1ux()m,n2ux2()m,12ux2()m,22ux2()m
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