具色散非线性波动方程解的存在性与爆破.pdf
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1、第 卷第期东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)V o l N o 年月J o u r n a l o fN o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n e 文章编号 ()D O I /j c n k i d s l k x b 收稿日期 基金项目国家自然科学基金资助项目();辽宁省自然科学基金资助项目(M S )作者简介宋玉坤(),男,博士,副教授,主要从事偏微分方程研究具色散非线性波动方程解的存在性与爆破宋玉坤,蔡琳,邢迪(辽宁工业大学理学院,辽
2、宁 锦州 )摘要研究了一类非线性波动方程初边值问题整体解的存在性与爆破问题利用位势井方法证明了具有两个异号源和具有四阶色散项的波动方程在方程具有负定能量情形下初边值问题整体解的存在性利用凹性方法证明了具有任意初始正能量时解的有限时间爆破问题 关键词波动方程;整体解;存在性;爆破 中图分类号O 文献标志码A预备知识非线性波动方程是可以广泛地描述声波、光波以及水波等物理现象中波形态的重要偏微分方程,它的一般模型为ut tuf(u)在研究此类问题解的适定性时,由于源项f(u)的存在,会导致一定条件下方程的解在有限时间内爆破文献 引入位势井方法,得到了无阻尼项非线性波动方程初边值问题的弱解在有限时间内
3、爆破的条件文献 引入凹函数方法证明了整体解的不存在性,为后来研究不同形式的方程提供了必要的技术手段 当方程具有单源项,即形如f(u)upu时,对具有弱阻尼项、强阻尼以及耗散等不同推广情形下方程解的适定性已有许多结论文献 研究了f(u)upu时,通过引入一族位势井,证明了半线性波动方程解的适定性,并发现了解的真空隔离现象文献 研究了具有耗散波动方程的初边值问题ut tuutut|u|pu,证明了强阻尼不存在时,在满足一定条件下具有初始正能量的系统解在有限时间爆破文献 证明了具有对数源方程解的存在性文献 利用位势井方法,推广了对数型源项解的存在性、渐进性以及解的爆破问题在研究非线性弹性杆中纵向形变
4、波传播时,会得到含有四阶色散项ut t的非线性波动方程当方程中具有复杂源项时,如具有两个性质相异源项的情形,所描述的物理现象更具有一般性而现有的一般情况下的存在性结论中,f(u)需满足单调增函数或者存在凸函数g(u),使得f(u)g(u)等构造性条件将不再满足此时,解的存在性结论,以及在具有任意正定初始能量情形下解在有限时间内是否爆破还不清楚本文考虑如下带有色散非线性波动方程的初边值问题:ut tuut ta upubuqu,x,t;()u x,()ux(),utx,()ux(),x;()u x,t(),x,t()第期宋玉坤,等:具色散非线性波动方程解的存在性与爆破其中:a,b;p和q当n,时
5、,pq,当n时,pqnn为了方便,给出Lp()空间和内积的简化符号:up uLp(),u uL(),u,v()u vdx,u,vu vdxuvdx由问题()(),定义能量Et()utuutapuppbquqq,()定义泛函Iu()uauppbuqq,()J u()uapuppbquqq,()以及位势井WuH()|I(u),J(u)d,其中d i n fuH()u(s u pJ(u)定义集合VuH()I(u)主要结果定理令ux()H(),假设E()d,Iu()那么问题()()存在整体弱解uW,t,且ut()L,;H()(),utt()L,;H()()证明令wjx()是H()的一个基函数系,构造问
6、题()()的近似解umx,t()mjgj mt()wjx(),m,满足如下关系:(um t t,ws)(um,ws)(um t t,ws)(a umpum,ws)(bumqum,ws),s,m;umx,()mjaj mwjx()ux()在H();()um tx,()mjbj mwjx()ux()在H()若u,则u(x)W若Iu()则由ut(t)u(t)ut(t)apu(t)pbqu(t)qE()d,()可得J u()d,u(x)W将()式两端同乘g s mt(),再对s求和,并对时间从到t积分得Emt()um tumum tapumpbqumqEm()因此,对充分大的m,有um tum tJ
7、um()Em()d()往证对于t和充分大的m,um(t)W利用反证法若结论不成立,则存在m及时间t使得um(t)W,即I um(t)(),um(t)或J um(t)()d而由()式知J um(t)()d不可能若Ium(t)(),um(t),则由d的定义可知J um(t)()d,这与()式矛盾将()式改写为东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)第 卷J um()umpaumppbumqq()umpumpIum()pp()um()将()式代入()式中,结合Ium(),可得:um tum tpp()umd;ump()dp,t;ump,umqCumC(p)pd,t;um td,um td,t因此
8、问题()()存在整体弱解ut()L,;H()(),utt()L,;H()(),且ut()W,t引理令ux()H(),ux()H(),且满足条件u(C)pE(),()其中C是满足P o i n c a r 不等式的常数则问题()()所有满足E(),I(u)的解均属于集合V证明往证u(t)V利用反证法若不然,则根据I(u(t)的连续性,必存在某个时间t(,T),使得I(u(t),且对于任何时间t,t)都有I(u(t)令Ft()uH,()则根据Ft()的定义,对于任意时间t,t),有F(t)u(C)pE()()另一方面,由()和()式,可得u(t)pau(t)ppbu(t)qq()E(),由于I(u
9、(t),带入上式可得u(t)pE()结合P o i n c a r 不等式uCu,可得uu(C)u因此F(t)u(t)u(t)(C)u(t)(C)pE(),这与()式矛盾,因此引理得证定理令ux()H(),ux()H(),且满足条件(),则当E(),I u()时,问题()()的解在有限时间内爆破,即存在T,使得l i mtTut()H证明假设ut()为问题()()满足E(),Iu()的解考虑()式定义的Ft(),则有F(t)u,ut,F(t)utHu,ut tutHIu()利用S c h w a r t z不等式,有F(t)()u,utuHutHFt()utH,因此F(t)F(t)p(F(t)
10、Ft()F(t)p()utH()Ft()utHIu()p()utH()Ft()utHup()apuppbquqqp()utH第期宋玉坤,等:具色散非线性波动方程解的存在性与爆破Ft()p()utp()up()utp()E()p()utH()Ft()p()up()E()()由定义,当t,T时F(t),及F(t)关于t的连续性可知,必存在独立于T的时间t和常数,使得F(t),t,T综上,F(t)Ft()p(F(t),t,T,将m t()Ft()p代入上式,则有m t()pm t(),t,T上式说明存在TT,使得l i mtTm(t)这表明解在有限时间内爆破,即存在与T无关的T,且当TT时,l i
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