彰显平面几何魅力的一道联赛题.pdf
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1、2023年第2期河北理科教学研究问题讨论2021 年全国高中数学联赛第 5 题:在ABC中,AB1,AC2,B-C23,则ABC的面积为命题者提供的参考答案.解:由正弦定理知sinBsinC=ACAB=2,又B-C23,故2sinC=sinB=sin(C+23)=-12sinC+32cosC,即52sinC=32cosC,所以tanC=35,记ABC的面积为S,注意到AB-C3-2C,故S12ABACsinA=sinA=32cos2C-12sin2C,由tanC=35知cos2C=1-tan2C1+tan2C=1114,sin2C=2tanC1+tan2C=5 314,从而S321114-12
2、5 314=3 314评注:此解法从三角形面积计算公式S12absinC出发,连续使用了5个三角公式,最终求得结果,无需几何图形,侧重三角函数,符合高中生的数学思维习惯这道联赛题中的23120,进而BC120,对初中生而言,解题思路会是什么?借助图形可以考虑构造B与C的差,产生特殊角120,再构造直角三角形求解,彰显平面几何的魅力解法 1:如图 1,在AC上取点D,使得DBCC,则CDBD,ABD120,作DHAB,垂足为H,设BHx,则CDBD2x,DH 3x,AD22x,在RtDAH中(2-2x)2=(3x)2+(1+x)2,解得x=310,所以AD=75,DH=3 310,所以SBDA=
3、12ABDH=1213 310=3 320,因为AD=75=710AC,所以SABC=107SBDA=3 314解法 2:如图 2,在AC上取点D,使得ABDC,则DBC120,作CHDB,垂足为H,则CBH60,所以BC2BH,CH 3BH,因为DABBAC,ABD彰显平面几何魅力的一道联赛题江苏省南京市金陵中学河西分校 李玉荣 210019摘 要:本文对一道全国高中数学联赛题进行深度解析,给出了七种几何解法,显示出作者的独到见解.关键词:平面几何;三角形;联赛题ADCBH图1 202023年第2期河北理科教学研究问题讨论C,所以DABBAC,可得BDBC=ADAB=ABAC=12,设BDx
4、,则BC2x,BHx,CH=3x,AD=AB2AC=12,CD=2-12=32,在RtDCH中(2x)2+(3x)2=(32)2,即x2=928,所以SBDC=12BDCH=12x3x=32x2=9 356,因为CD=32=34AC,所以SABC=43SBDC=3 314评注:这两种解法是利用三角形的内角作差构造120的角解法3:如图3,在AB延长线上取点D,使得ADCACB,则BCD120,作DHBC,垂足为H,则DCH60,所以CD2CH,DH=3CH,因为DACCAB,ADCACB,所以DACCAB,可得BCCD=ACAD=ABAC=12,设BCx,则CD2x,CHx,DH=3x,AD=
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