三区复合型连带Legendre方程边值问题的相似构造法.pdf
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1、第 44 卷第 3 期 温 州 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2023 年 8 月 Vol.44 No.3 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Aug.2023 三区复合型连带 Legendre 方程边值 问题的相似构造法 郑鹏社,杨 雨,李顺初(西华大学理学院,四川成都 610039)摘 要:在关于三区复合型连带 Legendre 方程的某一类边值问题的探索中,对其解的表达式进行剖析,发现此边值问题的解可以由内区、中区和外区的引解函数、内外边界条件的系数和两组衔接性条件的系数来组装得到,其引解函数由连带 Legen
2、dre 方程的两个线性无关解组成,并且解的结构具有相似性由此提出求解此类边值问题的新办法相似构造法该方法能够简化问题的求解过程,降低求解难度,使结果更加简洁美观,从而为相关软件的开发提供了新的思路 关键词:连带 Legendre 方程;边值问题;相似核函数;相似构造法 中图分类号:O175.8 文献标志码:A 文章编号:1674-3563(2023)03-0011-09 DOI:10.20108/j.wzun.202211003 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 近年来,关于微分方程边值问题的研究已有很多成果 针对二阶常微分方程的一类边值问题,李顺初等1-2发现此边值问题的解具
3、有类似于连分式的结构形式 基于此发现,学者们讨论了特殊方程(如 Bessel 方程3、Airy 方程4、欧拉超几何方程5)边值问题的相似结构解之后,郑鹏社等6探讨了复合型微分方程(如复合型变型 Bessel 方程6、复合型 Laguerre 方程7、复合 Hermit方程8)边值问题解的构造方法,董晓旭等9-10研究了三区复合型微分方程边值问题解的构造,何签等11-12讨论了三区复合型第一、第二类 Weber 方程边值问题解的相似构造法相似构造法可以使微分方程边值问题的求解更加简单,这为油藏渗流模型的求解13-14及相关软件的开发提供了新的思路 在关于连带 Legendre 方程边值问题的研究
4、中,研究者们15-16讨论了一般和复合型连带Legendre 方程边值问题的解 基于以上研究成果,本文针对如方程(1)的三区复合型连带 Legendre 方程边值问题进行研究方程(1)中,D、E、F、M、N、a、b、c、d、1、2、1、2为常数,,(1,2,3)iim im=为正整数,1212,0 ,220MN+,0D,0ab cd 收稿日期:2022-11-02 基金项目:西华大学研究生课程建设项目(YJSKC20204)作者简介:郑鹏社(1973),男,陕西武功人,副教授,硕士,研究方向:微分方程及其应用 通讯作者, 温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 12 22
5、111112222222222233333211112122213(1)20,1(1)20,1(1)20,1(1)|,|,|,x ax bx bx bx bx cx cmxyxyyaxbxmxyxyybxcxmxyxyycxdxEyEF yDyyyyyyymmm=+=+=+=+=22333|0 x cx cx dyMyNy=+=(1)1 预备知识 引理 117 连带 Legendre 方程222(1)201iiiiimxyxyyxm+=的通解为:()()iiiimmiililyAPxBQx=+,1,2,3i=,(2)其中,,(1)iiiiiA Bl lm=+为任意常数,()iimlPx为第一类
6、连带 Legendre 函数,()iimlQx为第二类连带 Legendre 函数 引理 216 关于二元函数 0,0(,)()()()()iiiiiiiimmmmillllxPx QQx P=,(3)有:0,10,0111220,02(,)(,)1(1)()()()()(,)1iiiiiiiiiimmmmillllixxPx QQx Pmx+=,(4)1,00,0111220,02(,)(,)1(1)()()()()(,)1iiiiiiiiiimmmmillllixxxxPx QQx Pm xxx+=,(5)111122221,10,022112220,11,00,01(,)(,)(1)(1
7、)()()(1)(1)()()(1)(,)(1)(,)(,)iiiiiiiimmiillmmiiilliiixxxPx QxxQx Pm xxmxxm xx+=,(6)其中,1i=代表内区(axb),2i=代表中区(bxc),3i=代表外区(cxd)2 主要定理及证明 定理 1 若边值问题(1)有唯一解,则其内区(axb)解为 郑鹏社等:三区复合型连带 Legendre 方程边值问题的相似构造法 13 111111()()1()()y xDxFaEFa=F+F+F,(7)中区(bxc)解为 10,122111121,121,01(,)11()()1()()(,)(,)()b byxDxFaba
8、 ba bEFa=F+FF+F,(8)外区(cxd)解为 10,13111121,121,0120,1322131,121,0(,)11()1()()(,)(,)()(,)()()(,)(,)b by xDFaba ba bEFac cxcb cb c =+FF+FFF,(9)其中,1()xF称作内区相似核函数,1120,0120,111121,0121,1(,)()(,)()(,)()(,)x bbx bxa bba b FF=F,axb,(10)2()xF称作中区相似核函数,2220,0130,122221,0131,1(,)()(,)()(,)()(,)x ccx cxb ccb c F
9、F=F,bxc,(11)3()xF称作外区相似核函数,330,00,13331,01,1(,)(,)()(,)(,)Mx dNx dxMc dNc d+F=+,cxd (12)证明:由引理 1 可知,连带 Legendre 方程222(1)201iiiiimxyxyyxm+=的通解为:()()()iiiimmiilily xAPxBQx=+,1,2,3i=(13)结合第一类连带 Legendre 函数()iimlPx和第二类连带 Legendre 函数()iimlQx的递推公式17,可以计算出()iy x的一阶导数,即:1+12221+12221()(1)()()11(1)()()1iiiii
10、iiimmiililmmililyxAxPxm xPxxBxQxm xQxx=+(14)首先,将(13)式和(14)式代入边值问题(1)中的内边界条件11(1)x aEyEF yD=+=,可得到:温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 14 1111111111111+1221121+1221121()(1)(1)()()11()(1)(1)()()1mmmlllmmmlllA EPaEFaPam aPaaB EQaEFaQam aQaDa+=(15)其次,将(13)式和(14)式代入到边值问题(1)的两组衔接性条件中,可分别得到:11221122112121()()()
11、()0mmmmllllAPbBQbAPbBQb+=,(16)111111122122222211+1+12211221221+122221221+1222222(1)()()(1)()11()(1)()()1(1)()()01mmmlllmmmlllmmllABbPbmbPbbQbbbAmbQbbPbm bPbbBbQbm bQbb+=,(17)33222233223131()()()()0mmmmllllA PcB QcAPcBQc+=,(18)222222332233333311+1+12222222221+122322321+1223232(1)()()(1)()11()(1)()()1
12、(1)()()01mmmlllmmmlllmmllABcPcm cPccQcccAm cQccPcm cPccBcQcm cQcc+=(19)最后,将(13)式和(14)式代入到外边界条件330 x dMyNy=+=中,可得到:3333333333331+1223321+1223321()(1)()()11()(1)()()01mmmlllmmmlllA MPdNdPdm dPddB MQdNdQdm dQdd+=(20)依据式(3)(6)和式(15)(20),可以得关于待定系数112233,A B A BA B的系数行列式为:()()()23311221,01,01,10,01,023311
13、120,01,01,10,11,123311211,10,00,10,01,0=(,)(,)(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)1(b c Mc dNc dEa bEFa bb c Mc dNc dEa bEFa bb c Mc dNc dEa bEF +()233111 10,10,00,10,11,1,)(,)(,)(,)(,)1(,)a bb c Mc dNc dEa bEFa b+(21)因为边值问题(1)的解是存在且唯一的,所以0 根据 Gramer 法则,可以计算出待定系数112233,A B A BA B的值,分别为:11112331221
14、,01,01,1233211,10,00,1=()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)mlmlDAQbb c Mc dNc dQbb c Mc dNc d +(22)郑鹏社等:三区复合型连带 Legendre 方程边值问题的相似构造法 15 111111111+122331220,011,01,121+122331 120,110,00,12(,)(1)()()(,)(,)1(,)(1)()()(,)(,)1mmllmmllb cbQbmbQbMc dNc dbb cbQbmbQbMc dNc db +,111111112331221,01,01,1233211,10,00,11+1223
15、31220,011,01,1221 10,12=()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)(,)(1)()()(,)(,)1(,)(11mlmlmmllDBPbb c Mc dNc dPbb c Mc dNc db cbPbmbPbMc dNc dbb cb +11111+1233210,00,1)()()(,)(,)mmllbPbmbPbMc dNc d+,(23)22222213320,121,01,11+12331220,00,12(,)()(,)(,)(1)()()(,)(,)1mlmmllDAb bQc Mc dNc dcQcm cQcMc dNc dc=+,(24)2222221
16、3320,121,01,11+12331220,00,12(,)()(,)(,)(1)()()(,)(,)1mlmmllDBb bPc Mc dNc dcPcm cPcMc dNc dc=+,(25)3333331+1122230,10,1321(,)(,)()(1)()()1mmmlllDAb bc cMQdNdQdm dQdd=+,(26)3333331+1122230,10,1321(,)(,)()(1)()()1mmmlllDBb bc cMPdNdPdm dPdd=+(27)将式(22)(27)代入连带 Legendre 方程的通解(13)中,再结合内区、中区和外区相似核函数(即式(
17、10)(12)和式(3)(6)进行化简组装,可以得到三区复合型连带 Legendre方程边值问题(1)的内区解(7)、中区解(8)和外区解(9)推论 1 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题(1),若内边界条件1|1x ay=,则边值问题(1)的内区(axb)解为11()yx=F 推论 2 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题(1),若外边界条件3|0 x dy=(0,M 0)N=,则外区(cxd)相似核函数为30,0331,0(,)()(,)x dxc dF=;若外边界条件3|0 x dy=(0,0)MN=,则外区(cxd)相似核函数为30,1331,1(,)()
18、(,)x dxc dF=推论 3 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题(1),有:111()()1()x aDy xFy xEFa=+=+F 温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 16 3 相似构造法的步骤 由定理 1 的证明过程可知,求解三区复合型连带 Legendre 方程边值问题(1)的相似构造法的具体步骤如下 第一步完成对内区、中区、外区引解函数的构造利用引理 2,将边值问题(1)中的 3个定解方程222(1)20,(1,2,3)1iiiiimxyxyyixm+=的线性无关解()iimlPx和()iimlQx构造成形如式(3)(6)的二元函数,即能
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