三区复合型连带Legendre方程边值问题的相似构造法.pdf

第 44 卷第 3 期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 8 月 Vol.44 No.3 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Aug.2023 三区复合型连带 Legendre 方程边值 问题的相似构造法 郑鹏社，杨 雨，李顺初(西华大学理学院，四川成都 610039)摘 要：在关于三区复合型连带 Legendre 方程的某一类边值问题的探索中，对其解的表达式进行剖析，发现此边值问题的解可以由内区、中区和外区的引解函数、内外边界条件的系数和两组衔接性条件的系数来组装得到，其引解函数由连带 Legendre 方程的两个线性无关解组成，并且解的结构具有相似性由此提出求解此类边值问题的新办法相似构造法该方法能够简化问题的求解过程，降低求解难度，使结果更加简洁美观，从而为相关软件的开发提供了新的思路 关键词：连带 Legendre 方程；边值问题；相似核函数；相似构造法 中图分类号：O175.8 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2023)03-0011-09 DOI：10.20108/j.wzun.202211003 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 近年来，关于微分方程边值问题的研究已有很多成果 针对二阶常微分方程的一类边值问题，李顺初等1-2发现此边值问题的解具有类似于连分式的结构形式 基于此发现，学者们讨论了特殊方程（如 Bessel 方程3、Airy 方程4、欧拉超几何方程5）边值问题的相似结构解之后，郑鹏社等6探讨了复合型微分方程（如复合型变型 Bessel 方程6、复合型 Laguerre 方程7、复合 Hermit方程8）边值问题解的构造方法，董晓旭等9-10研究了三区复合型微分方程边值问题解的构造，何签等11-12讨论了三区复合型第一、第二类 Weber 方程边值问题解的相似构造法相似构造法可以使微分方程边值问题的求解更加简单，这为油藏渗流模型的求解13-14及相关软件的开发提供了新的思路 在关于连带 Legendre 方程边值问题的研究中，研究者们15-16讨论了一般和复合型连带Legendre 方程边值问题的解 基于以上研究成果，本文针对如方程（1）的三区复合型连带 Legendre 方程边值问题进行研究方程（1）中，D、E、F、M、N、a、b、c、d、1、2、1、2为常数，,(1,2,3)iim im=为正整数，1212,0 ，220MN+，0D，0ab cd 收稿日期：2022-11-02 基金项目：西华大学研究生课程建设项目(YJSKC20204)作者简介：郑鹏社(1973)，男，陕西武功人，副教授，硕士，研究方向：微分方程及其应用 通讯作者， 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 12 22111112222222222233333211112122213(1)20,1(1)20,1(1)20,1(1)|,|,|,x ax bx bx bx bx cx cmxyxyyaxbxmxyxyybxcxmxyxyycxdxEyEF yDyyyyyyymmm=+=+=+=+=22333|0 x cx cx dyMyNy=+=（1）1 预备知识 引理 117 连带 Legendre 方程222(1)201iiiiimxyxyyxm+=的通解为：()()iiiimmiililyAPxBQx=+，1,2,3i=，（2）其中，,(1)iiiiiA Bl lm=+为任意常数，()iimlPx为第一类连带 Legendre 函数，()iimlQx为第二类连带 Legendre 函数 引理 216 关于二元函数 0,0(,)()()()()iiiiiiiimmmmillllxPx QQx P=，（3）有：0,10,0111220,02(,)(,)1(1)()()()()(,)1iiiiiiiiiimmmmillllixxPx QQx Pmx+=，（4）1,00,0111220,02(,)(,)1(1)()()()()(,)1iiiiiiiiiimmmmillllixxxxPx QQx Pm xxx+=，（5）111122221,10,022112220,11,00,01(,)(,)(1)(1)()()(1)(1)()()(1)(,)(1)(,)(,)iiiiiiiimmiillmmiiilliiixxxPx QxxQx Pm xxmxxm xx+=，（6）其中，1i=代表内区（axb），2i=代表中区（bxc），3i=代表外区（cxd）2 主要定理及证明 定理 1 若边值问题（1）有唯一解，则其内区（axb）解为 郑鹏社等：三区复合型连带 Legendre 方程边值问题的相似构造法 13 111111()()1()()y xDxFaEFa=F+F+F，（7）中区（bxc）解为 10,122111121,121,01(,)11()()1()()(,)(,)()b byxDxFaba ba bEFa=F+FF+F，（8）外区（cxd）解为 10,13111121,121,0120,1322131,121,0(,)11()1()()(,)(,)()(,)()()(,)(,)b by xDFaba ba bEFac cxcb cb c =+FF+FFF，（9）其中，1()xF称作内区相似核函数，1120,0120,111121,0121,1(,)()(,)()(,)()(,)x bbx bxa bba b FF=F，axb，（10）2()xF称作中区相似核函数，2220,0130,122221,0131,1(,)()(,)()(,)()(,)x ccx cxb ccb c FF=F，bxc，（11）3()xF称作外区相似核函数，330,00,13331,01,1(,)(,)()(,)(,)Mx dNx dxMc dNc d+F=+，cxd （12）证明：由引理 1 可知，连带 Legendre 方程222(1)201iiiiimxyxyyxm+=的通解为：()()()iiiimmiilily xAPxBQx=+，1,2,3i=（13）结合第一类连带 Legendre 函数()iimlPx和第二类连带 Legendre 函数()iimlQx的递推公式17，可以计算出()iy x的一阶导数，即：1+12221+12221()(1)()()11(1)()()1iiiiiiiimmiililmmililyxAxPxm xPxxBxQxm xQxx=+（14）首先，将（13）式和（14）式代入边值问题（1）中的内边界条件11(1)x aEyEF yD=+=，可得到：温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 14 1111111111111+1221121+1221121()(1)(1)()()11()(1)(1)()()1mmmlllmmmlllA EPaEFaPam aPaaB EQaEFaQam aQaDa+=（15）其次，将（13）式和（14）式代入到边值问题（1）的两组衔接性条件中，可分别得到：11221122112121()()()()0mmmmllllAPbBQbAPbBQb+=，（16）111111122122222211+1+12211221221+122221221+1222222(1)()()(1)()11()(1)()()1(1)()()01mmmlllmmmlllmmllABbPbmbPbbQbbbAmbQbbPbm bPbbBbQbm bQbb+=，（17）33222233223131()()()()0mmmmllllA PcB QcAPcBQc+=，（18）222222332233333311+1+12222222221+122322321+1223232(1)()()(1)()11()(1)()()1(1)()()01mmmlllmmmlllmmllABcPcm cPccQcccAm cQccPcm cPccBcQcm cQcc+=（19）最后，将（13）式和（14）式代入到外边界条件330 x dMyNy=+=中，可得到：3333333333331+1223321+1223321()(1)()()11()(1)()()01mmmlllmmmlllA MPdNdPdm dPddB MQdNdQdm dQdd+=（20）依据式（3）（6）和式（15）（20），可以得关于待定系数112233,A B A BA B的系数行列式为：()()()23311221,01,01,10,01,023311120,01,01,10,11,123311211,10,00,10,01,0=(,)(,)(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)1(,)(,)(,)(,)(,)1(b c Mc dNc dEa bEFa bb c Mc dNc dEa bEFa bb c Mc dNc dEa bEF +()233111 10,10,00,10,11,1,)(,)(,)(,)(,)1(,)a bb c Mc dNc dEa bEFa b+（21）因为边值问题（1）的解是存在且唯一的，所以0 根据 Gramer 法则，可以计算出待定系数112233,A B A BA B的值，分别为：11112331221,01,01,1233211,10,00,1=()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)mlmlDAQbb c Mc dNc dQbb c Mc dNc d +（22）郑鹏社等：三区复合型连带 Legendre 方程边值问题的相似构造法 15 111111111+122331220,011,01,121+122331 120,110,00,12(,)(1)()()(,)(,)1(,)(1)()()(,)(,)1mmllmmllb cbQbmbQbMc dNc dbb cbQbmbQbMc dNc db +，111111112331221,01,01,1233211,10,00,11+122331220,011,01,1221 10,12=()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)(,)(1)()()(,)(,)1(,)(11mlmlmmllDBPbb c Mc dNc dPbb c Mc dNc db cbPbmbPbMc dNc dbb cb +11111+1233210,00,1)()()(,)(,)mmllbPbmbPbMc dNc d+，（23）22222213320,121,01,11+12331220,00,12(,)()(,)(,)(1)()()(,)(,)1mlmmllDAb bQc Mc dNc dcQcm cQcMc dNc dc=+，（24）22222213320,121,01,11+12331220,00,12(,)()(,)(,)(1)()()(,)(,)1mlmmllDBb bPc Mc dNc dcPcm cPcMc dNc dc=+，（25）3333331+1122230,10,1321(,)(,)()(1)()()1mmmlllDAb bc cMQdNdQdm dQdd=+，（26）3333331+1122230,10,1321(,)(,)()(1)()()1mmmlllDBb bc cMPdNdPdm dPdd=+（27）将式（22）（27）代入连带 Legendre 方程的通解（13）中，再结合内区、中区和外区相似核函数（即式（10）（12）和式（3）（6）进行化简组装，可以得到三区复合型连带 Legendre方程边值问题（1）的内区解（7）、中区解（8）和外区解（9）推论 1 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1），若内边界条件1|1x ay=，则边值问题（1）的内区（axb）解为11()yx=F 推论 2 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1），若外边界条件3|0 x dy=(0,M 0)N=，则外区（cxd）相似核函数为30,0331,0(,)()(,)x dxc dF=；若外边界条件3|0 x dy=(0,0)MN=，则外区（cxd）相似核函数为30,1331,1(,)()(,)x dxc dF=推论 3 对于三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1），有：111()()1()x aDy xFy xEFa=+=+F 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 16 3 相似构造法的步骤 由定理 1 的证明过程可知，求解三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1）的相似构造法的具体步骤如下 第一步完成对内区、中区、外区引解函数的构造利用引理 2，将边值问题（1）中的 3个定解方程222(1)20,(1,2,3)1iiiiimxyxyyixm+=的线性无关解()iimlPx和()iimlQx构造成形如式（3）（6）的二元函数，即能够得到边值问题（1）的内区、中区和外区引解函数 第二步完成对内区、中区、外区相似核函数的构造外区相似核函数3()xF由外区引解函数和外边界条件中的系数,M N组成中区相似核函数2()xF由中区引解函数、第二组衔接性条件中的系数12,和3()cF组成内区相似核函数1()xF由内区引解函数、第一组衔接性条件中的系数12,和2()bF组成能够得到式（10）（12）第三步得到三区复合型连带 Legendre 边值问题（1）的内区、中区、外区解内区解由内边界条件的系数,D E F、内区相似核函数1()xF和1()aF组成中区解由部分内区解、第一组衔接性条件中的系数12,、内区引解函数、中区相似核函数2()xF和2()bF组成，其中部分内区解由内边界条件的系数,D E F和1()aF组成外区解由部分中区解、第二组衔接性条件中的系数12,、中区引解函数、外区相似核函数3()xF和3()cF组成，其中部分中区解由部分内区解和衔接性条件中的系数12,、内区引解函数和2()bF组成能够得到式（7）（9）4 应用举例 求解如下的边值问题：21112222223332111222122223332333334(1)220,121(1)260,2314(1)2120,341|1|,|2|,|,|2|20 xxxxxxxxxxxyxyyxxyxyyxxxyxyyxxyyyyyyyyyyy=+=+=+=+=（28）第一步 利用定解方程2111(1)220 xyxyy+=的两个线性无关解01()Px和01()Qx，构造边值问题（28）的内区引解函数：100000,01111(,)()()()()xPx QQx P=，1112010120,10,0111121(,)(,)(1)()()()()1xxPx QQx P=，郑鹏社等：三区复合型连带 Legendre 方程边值问题的相似构造法 17 1112101021,00,0111121(,)(,)(1)()()()()1xxxP x QQ x Pxx=111,10,01122111122111122(,)(,)1(1)(1)()()()()(1)(1)xxxxP x QQ x Px=利用定解方程222221(1)2601xyxyyx+=的两个线性无关解12()P x和12()Q x，构造边值问题（28）的中区引解函数：211110,02222(,)()()()()xP x QQ x P=，12221212220,10,022220,021(,)(,)(1)()()()()(,)1xxP x QQ x Px=，12222121221,00,022220,021(,)(,)(1)()()()()(,)1xxxPx QQx Pxxxx=，11222222221,10,022222222222220,11,00,01(,)(,)(1)(1)()()(1)(1)()()(1)(,)(1)(,)(,)xxxPx QxxQx Pxxxxxx=利用定解方程233324(1)21201xyxyyx+=的两个线性无关解23()Px和23()Qx，构造边值问题（28）的外区引解函数：322220,03333(,)()()()()xPx QQx P=，13322323320,10,033330,021(,)(,)(1)()()()()2(,)1xxPx QQx Px=，13323232321,00,033330,021(,)(,)(1)()()()()2(,)1xxxPx QQx Pxxxx=，11332233221,10,033223323233330,11,00,01(,)(,)(1)(1)()()(1)(1)()()2(1)(,)2(1)(,)4(,)xxxPx QxxQx Pxxxxxx=第二步内区、中区、外区相似核函数的构造依据式（12），构造出外区相似核函数330,00,13331,01,1(,4)2(,4)(),34(3,4)2(3,4)xxxx+F=+，并计算330,00,13331,01,1(3,4)2(3,4)(3)(3,4)2(3,4)+F=+依据式（11），构造出中区相似核函数220,030,12221,031,12(,3)(3)(,3)(),232(2,3)(3)(2,3)xxxxFF=F，并计算220,030,12221,031,12(2,3)(3)(2,3)(2)2(2,3)(3)(2,3)FF=F 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 18 依据式（10），构造出内区相似核函数：110,020,11111,021,12(,2)(2)(,2)(),122(1,2)(2)(1,2)xxxxFF=F，并计算110,020,11111,021,12(1,2)(2)(1,2)(1)2(1,2)(2)(1,2)FF=F 第三步求解边值问题（28）的内区、中区、外区解依据式（7），可以得到边值问题（28）的内区（12x）解，即：11()()y xx=F 依据式（8），可以得到边值问题（28）的中区（23x）解，即：10,1221121,11,0(2,2)()()(2)(1,2)2(1,2)yxx=FF 依据式（9），可以得到边值问题（28）的外区（34x）解，即：120,10,133112221,11,031,11,0(2,2)(3,3)()()(2)(1,2)2(1,2)(3)(2,3)2(2,3)y xx=FFF 5 结 语 在求解三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1）时，先利用连带 Legendre 方程的线性无关解来构造内区、中区和外区的引解函数，再利用外边界条件的系数和引解函数来构造相对应的相似核函数，最后将引解函数、相似核函数、内边界条件的系数和两组衔接性条件的系数进行组装，即可得到此边值问题的解三区复合型连带 Legendre 方程边值问题（1）的解在结构上具有相似性，且呈现连分式结构形式综上所述，相似构造法的应用简化了求解过程，提高了求解效率，优化了解的结构，这为微分方程边值问题的求解提供了便利 参考文献 1 李顺初.微分方程解的相似结构初探与展望J.西华大学学报(自然科学版),2010,29(2):223-226,238.2 许东旭.二阶齐次线性微分方程边值问题解的构造及其应用D.成都:西华大学,2013:1-53.3 陈宗荣,李顺初.求解 Bessel 方程的边值问题的相似结构法J.四川师范大学学报(自然科学版),2011,34(6):850-853.4 王芙蓉,李顺初,许东旭.Airy 方程的一类边值问题的解的相似构造法J.湖北师范学院学报(自然科学版),2013,33(1):79-85.5 暴喜涛,李顺初,廖智健.Euler 超几何微分方程边值问题解的相似构造法J.西南科技大学学报,2012,27(4):101-105.6 郑鹏社,李顺初,冷礼辉,等.一类非线性复合变型 Bessel 方程组边值问题的相似构造解法J.信阳师范学院学报(自然科学版),2014,27(4):490-492,504.7 李顺初,张红丽,郑鹏社,等.复合型 Laguerre 方程边值问题解的相似结构J.韶关学院学报,2019,40(9):1-6.8 李顺初,夏星,李伟,等.复合 Hermit 方程边值问题的相似构造法J.徐州工程学院学报(自然科学版),2021,36(2):79-83.9 董晓旭.三区复合型微分方程边值问题解的构造及其应用D.成都:西华大学,2015:1-113.10 Wang Y,Dong X X,Li S C.Study on How to Resolve the Boundary Value Problem of Three-region Composite Thomson Equation J.Journal of Computational Methods in Sciences and 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Yu,LI Shunchu（School of Science,Xihua University,Chengdu,China 610039）Abstract:In the exploration of a certain kind of boundary value problem of the three-regions composite associated Legendre equation,this paper analyzes the expression of its solution,and finds that the solution of this boundary value problem can be assembled by the functions of guide solution of inner,middle and outer regions,the coefficients of the inner and outer boundary conditions,and the coefficients of two sets of cohesive conditions,that the functions of guide solution are composed of two linear independent solutions of the associated Legendre equation,and that the structures of the solutions are similar.Therefore,a new method for solving such boundary value problems is proposed,which is the similar construction method.The similar construction method can simplify the process of solution,reduce the difficulties of solution,make the solutions more concise and beautiful,and provide a new idea for the development of related well-testing software.Key words:Associated Legendre Equation;Boundary Value Problem;Similar Kernel Function;Similar Construction Method (英文审校：黄璐)