几类损失函数下Rayleigh-Geometric分布参数的Bayes估计.pdf
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1、第2 2卷第2期2 0 2 3年6月淮阴师范学院学报(自然科学版)J OUR NA LO FHUA I Y I NT E A C HE R SC O L L E G E(NA TUR A LS C I E N C EE D I T I ON)V o l.2 2 N o.2J u n.2 0 2 3几类损失函数下R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计柔鲜古丽 许库尔,周菊玲(新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 8 3 0 0 5 2)摘 要:对R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y
2、 e s估计进行研究,给出了当参数取广义的均匀分布作为先验分布时,在几种不同损失函数下参数的B a y e s估计表达式,并通过数值模拟,对不同情形下B a y e s估计的效果进行比较.关键词:R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布;损失函数;B a y e s估计中图分类号:O 1 7 5 文献标识码:A 文章编号:1 6 7 1-6 8 7 6(2 0 2 3)0 2-0 0 9 9-0 5 收稿日期:2 0 2 2-1 2-2 6 基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 8 0 1 4 8 8);新疆师范大学科研发展专项项目(X J NU Z X 2 0
3、 2 0 0 1);新疆师范大学教学研究与改革项目(S D J G 2 0 2 0-3 0)通信作者:周菊玲,教授,博士生导师,研究方向为数理统计.0 引言当系统处于老化阶段时,系统性能会逐渐降低;当人处于老年时期时人的器官的免疫能力减弱,抵抗疾病的能力也逐渐下降.对于上面提到的情况以及其他的一些情况危险率函数都是单调递增的,而从事这方面的研究非常少.高艳红,O k o r i e等人1-2在复合R a y l e i g h分布和几何分布首次提出了一种危险率递增的复合分布,即R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布(记为R G分布).姚惠等人3研究了R a y
4、l e i g h-G e o m e t-r i c分布的分布函数、概率密度函数及其相关性质.李俊华等人4研究了此复合分布的矩、分位数、危险率函数、R e n y i熵、次序统计量的极限分布和参数的极大似然估计,验证了极大似然估计的相合性和渐近正态性,并用EM算法进行了数值模拟.许多学者5-1 2在刻度平方损失,熵损失,L I N E X损失等几种常用损失函数下研究了其他一些分布参数的B a y e s估计.然而,在全样本下R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计尚未见到,本文给出在不同损失函数下该分布参数的B a y e s估计,并
5、通过数值模拟进行比较.R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布的分布函数和密度函数分别为 F(x;p,)=(1-e-x2)(1-pe-x2)-1(1)f(x;p,)=2(1-p)xe-x2(1-pe-x2)-2(2)其中x0,0p0.下面讨论R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布中,当p已知时,参数的极大似然估计和不同损失函数下的B a y e s估计.1 R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的极大似然估计设X1,X2,Xn是来自R G(p,)分布的一个简单随机样本,x1,x2,xn为其观测值,
6、记x=(x1,x2,xn),则由式(2)可知似然函数为 L(|x,p)=f(x;p,)=ni=1f(xi;p,)=2(1-p)nni=1xie-ni=1x2ini=1(1-pe-x2i)-2.对应的对数似然函数为 l nL(|x,p)=nl n+nl n 2(1-p)+ni=1l nxi-ni=1x2i-2ni=1l n(1-pe-x2i).对上面的对数似然函数对参数求偏导,并令 l nL(|x,p)=0,得 =n2pni=1x2i(e x2i-p)-1-1.该方程的解即为R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的极大似然估计,记为M L S.上式是非线性方程
7、,不易求解,可以采用迭代法求其数值解.为了表达式的简洁,记ti=e x2i-p,从而有M L S=n2pni=1x2it-1i-1.2 无信息先验下R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计在B a y e s统计中,参数是随机变量,需要选择一个合适的先验分布,常用无信息的先验分布和共轭先验分布,现取的先验分布为广义的均分布:()=1,(0,+),则的后验密度函数为 (|x,p)=()L(|x,p)+0()L(|x,p)d=nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2i+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.在统
8、计决策问题中,若选取的损失函数不同,往往会影响统计决策的优劣程度.下面,将在几种常用损失函数下给出参数的B a y e s估计.定理1 刻度平方损失函数L(,)=(-)2k下,其中k为非负整数,若取的先验分布取为广义均匀分布,则R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为 1=+0n+1-kni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0n-kni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.证明 对参数求后验期望,得到后验风险函数为R(|x)=EL(,)|x=E(-)2k|x=2E(-k|x)-2 E(1-k|x)+E(2-
9、k|x).上式两边对求一阶偏导数并令其偏导为零,即 R(|x)=2 E(-k|x)-2E(1-k|x)=0=E(1-kx)E(-kx).而 E(-k|x)=+0-k(|x)d=+0n-kni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id,故R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为 1=E(1-k|x)E(-k|x)=+0n+1-kni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0n-kni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.当k=0时就是平方损失函数,此时
10、参数的B a y e s估计为后验分布的均值,因此 2=E(|p,x)=+0n+1ni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.001淮阴师范学院学报(自然科学版)第2 2卷定理2 在熵损失函数L(,)=n-l n-1下,若取的先验分布为广义均匀分布,则R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为 3=+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0n-1ni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.证明 对参数求后验期望,得到后验风险R(|x)=E(
11、L(,)|x)=E n-l n-1|x=n E(-1|x)-l n+E(l n|x)-1,上式两边对求一阶偏导数并令其偏导等于零,得 R(|x)=nE(-1|x)-1=0=1E(-1x),而 E(-1|x)=+0-1(|x)d=+0n-1ni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id,则R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为 3=1E(-1|x)=+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0n-1ni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.定
12、理3 在对称熵损失函数L(,)=n+-2下,若取的先验分布为广义均匀分布,则R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为 4=+0n+1ni=1(1-pe-x2i)-2e-x2id+0n-1ni=1(1-pe-x2i)-2e-x2id.证明 对参数求后验期望,得到后验风险 R(|x)=E(L(,)|x)=E n+-2|x=n E1|x+1E(|x)-2,上式两边对求一阶偏导数并令其偏导等于零,得 R(|x)=n E1|x-12E(|x)=0=E(x)E(-1x),再根据定理1和定理2中的结论,知 4=E(|x)E(-1|x)=+0n+1n
13、i=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id+0n-1ni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2id.定理4 在L I N E X损失函数L(,)=ec(-)-c(-)-1(cR,c0)下,若取的先验分布为广义均匀分布,则R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计为101第2期柔鲜古丽许库尔,等:几类损失函数下R a y l e i g h-G e o m e t r i c分布参数的B a y e s估计 5=-1cl n+0nni=1(1-pe-x2i)-2e-ni=1x2i+c()d+0nni=1(1-pe-x2i)-2
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