关于区间Opial型不等式的进一步推广.pdf
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1、第 32 卷第 2 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023 年 6 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Jun.2023收稿日期:2022-05-04基金项目:国家冰川冻土沙漠科学数据中心开放基金(2021KF03);湖北省教育厅重点项目(D20192501)作者简介:连俊勤(1996),女,江西赣州人,湖北师范大学数学与统计学院硕士研究生,主要研究方向为区间分析理论及应用。通信作者:赵大方(1982),男,山东临沂人,湖北师范大学数学与统计学院副教授,博士,主要研究方向为区间分
2、析理论及应用。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.004关于区间 Opial 型不等式的进一步推广连俊勤,赵大方(湖北师范大学 数学与统计学院,湖北 黄石 435002)摘要:基于 Hlder 不等式、Young 不等式、区间数的 gH-导数以及区间分析基本理论,得到了一些新的区间 Opi-al 型不等式,所得结论不仅改进了相关结果,也推广了若干经典的 Opial 型不等式,举例验证了所得结论。关键词:Opial 型不等式;区间值函数;gH-导数;切换点;拟范数中图分类号:O178文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0015-070
3、引言1960 年,波兰数学家 OPIAL Z1建立了积分不等式:假设 fC10,h,满足 f(0)=f(h)=0,且 f(x)0对任意的 x(0,h)都成立,则h0f(x)f(x)dx h4h0(f(x)2dx,其中,h4是不等式成立的最佳系数。此后,Opial 不等式便引起了国内外学者的广泛关注,BEESACK P R、华罗庚、AGARWAL R P、赵长健等对 Opial 不等式进行了不同形式的推广1-6。由于 Opial 不等式在微积分和微分方程等领域的重要应用,至今仍是不等式研究领域的一个热点。最近几十年,国内外学者对 Opial 不等式及其应用进行了广泛的研究7-11,在连续型推广、
4、离散化推广以及右端系数的精确估计等方面取得了丰硕的成果,Hermite-Hadamard 型12不等式等亦取得了很好的成果。近些年,区间分析作为一种解决不确定性问题的新方法得到了广泛的应用,而区间积分理论是区间分析的重要组成部分。2012 年以来,一些经典的积分不等式,诸如 Ostrowski 不等式13、Beckenbach 不等式14、Chebyshev 不等式15等已经被推广至区间值函数的形式。2019 年,COSTA T M 等人16建立了区间 Opial 型不等式,得到了一些富有意义的结果,但其主要结论中对不等式右端系数的估计并不是最佳的。2022 年,ZHAO D F 等人10对文
5、献16中的区间 Opial 型不等式进行了进一步的推广。在基于文献10和文献16的研究基础上,笔者对区间 Opial 型不等式进行了进一步的改进与推广,得到了一些新的结论。所得结论不仅改进了已有区间 Opial 不等式右端系数的估计,也为区间微分方程、区间差分方程以及模糊区间不等式等相关问题的解决提供了研究工具。1预备知识令 Kc(R)是 R 上全体有界闭区间的集合,Kc(R)=r-,r-r-,r-R,r-r-。对任意的 A=a-,a-,B=b-,b-Kc(R),R,区间运算规定如下,A+B=a-,a-+b-,b-=a-+b-,a-+b-;A-B=a-,a-b-,b-=a-b-,a-b-;16
6、 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年AB=a-,a-b-,b-=mina-b-,a-b-,a-b-,a-b-,maxa-b-,a-b-,a-b-,a-b-;A/B=a-,a-/b-,b-=mina-/b-,a-/b-,a-/b-,a-/b-,maxa-/b-,a-/b-,a-/b-,a-/b-,0B;A=a-,a-=a-,a-,0a-,a-,0。记区间 A 的宽度函数为 w(A)=a-a-。若 w(A)=0,则称区间 A 是退化的。一般地,若 Kc(R)中的区间是非退化的,则对AKc(R),都有 A-A0,0。为克服这个缺点,HUKUHARA M17引入了 H-差,AB=CA=B+C,
7、即对AKc(R),有 AA=0,0。但对于 Kc(R)中任意两个不同的区间,其 H-差不一定存在。为解决这个问题,2009 年,STEFANINI L 等18引入了 gH-差,AgHB=CA=B+C,w(A)w(B)B=A+(-1)C,w(A)w(B)。即 gH-差对 Kc(R)中任意 A,B 都成立,有AB=mina-b-,a-b-,maxa-b-,a-b-。显然,(Kc(R),d)为完备的度量空间,其中,d 为 Kc(R)上的 Hausdorff 度量,即对A,BKc(R),有 d(A,B)=d(a-,a-,b-,b-)=maxa-b-,a-b-。此外,易知(Kc(R),+,)为拟线性空间
8、,其中拟范数为 A=d(A,0,0)=d(a-,a-,0,0)=maxa-,a-。有关区间值函数连续、单调、-增和A的概念可参看文献10,切换点和 gH-可导的概念可参看文献18。2关于区间 Opial 型不等式的进一步推广定理 1设 P,Q:s,tR 是s,t上的实值绝对连续函数,1,21。1)如果 P(s)=Q(s)=0,则ts(P(x)1(Q(x)2+(Q(x)1(P(x)2)dx 2k(t-s)1411+2(1+2)ts(P(x)1+2+Q(x)1+2)dx,(1)2)如果 P(s)=P(t)=Q(s)=Q(t)=0,则ts(P(x)1(Q(x)2+(Q(x)1(P(x)2)dx k(
9、t-s)121-1411+2(1+2)ts(P(x)1+2+Q(x)1+2)dx。(2)其中 k=max1,2。证明 1)当 u1=u2=1 时,由文献4中的定理 2.14.1,有 ts(P(x)Q(x)+Q(x)P(x)dx t-s2ts(P(x)2+Q(x)2)dx,当 u12,u22,P(s)=Q(s)=0 时,有P(x)xsP(w)dw(xsdw)1-11+2(xsP(w)1+2dw)11+2,从而有ts(P(x)1+2dx ts(x-s)1+2-1xsP(w)1+2dw)dx 第 2 期连俊勤,等:关于区间 Opial 型不等式的进一步推广17 (t-s)1+21+2tsP(x)1+
10、2dx(t-s)1+24tsP(x)1+2dx,因此,有ts(P(x)1(Q(x)2dx tsP(x)1+2dx()11+2tsQ(x)1+2dx()21+2(t-s)1411+2tsP(x)1+2dx()11+2tsQ(x)1+2dx()21+2(t-s)1411+2 11+21tsP(x)1+2dx()11+2()1+21+11+22tsQ(x)1+2dx()21+2()1+22()=(t-s)1411+211+2tsP(x)1+2dx+21+2tsQ(x)1+2dx()(t-s)1411+2max1,21+2tsP(x)1+2dx+max1,21+2tsQ(x)1+2dx()=max1,
11、2(t-s)1411+2(1+2)tsP(x)1+2dx+tsQ(x)1+2dx()=k(t-s)1411+2(1+2)ts(P(x)1+2+Q(x)1+2)dx,同理可得ts(Q(x)1(P(x)2dx k(t-s)1411+2(1+2)ts(Q(x)1+2+P(x)1+2)dx,即证(1)式。2)若 P(s)=P(t)=Q(s)=Q(t)=0,在 s,s+t2上,由(1)式,有s+t2s(P(x)1(Q(x)2+(Q(x)1(P(x)2)dx 2k(t-s2)1411+2(1+2)s+t2s(P(x)1+2+Q(x)1+2)dx,令 y=x+t-s2,有ts+t2(P(x)1(Q(x)2+
12、(Q(x)1(P(x)2)dx 2k(t-s2)1411+2(1+2)ts+t2(P(x)1+2+Q(x)1+2)dx。18 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年从而即证(2)式。注记 1在(1)式中,当 P(x)=Q(x),1=2=1,s=0,t=b 时,(1)式退化为b0P(x)P(x)dx b2b0P(x)2dx,(3)(3)式为文献2中的公式(3);当 P(x)Q(x),1=2=1 时,(1)式退化为文献16中的推论 4.1,ts(P(x)Q(x)+P(x)Q(x)dx t-s2ts(P(x)2+Q(x)2)dx;(4)当 P(x)=Q(x),1=2=1 时,(1)式退化为文献1
13、6中的推论 4.2,tsP(x)P(x)dx t-s2tsP(x)2dx。(5)(5)式是(3)式的推广,(4)式是(3)式与(5)式的推广。在(2)式中,当 P(x)=Q(x),1=2=1,s=0,t=b 时,(2)式退化为b0P(x)P(x)dx b4b0P(x)2dx,(6)(6)式为文献2中的公式(1);当 P(x)Q(x),1=2=1 时,(2)式退化为 ts(P(x)Q(x)+P(x)Q(x)dx t-s4ts(P(x)2+Q(x)2)dx;(7)当 P(x)=Q(x),1=2=1 时,(2)式退化为tsP(x)P(x)dx t-s4tsP(x)2dx。(8)(8)式是(6)式的推
14、广,(7)式是(6)式与(8)式的推广。例 1设 P(x)=ex-1,Q(x)=x2x为0,1上的实值绝对连续函数,1=1,2=4。ts(P(x)1(Q(x)2+(Q(x)1(P(x)2)dx=10(ex-1)(52x32)4+(x2x)(ex)4)dx 15.72,2k(t-s)1411+2(1+2)ts(Q(x)1+2+P(x)1+2)dx=244551052x32()5+(ex)5()dx 49.68。注记 2当 1=1,2=4 时,与文献10中(3.8)式计算出来的 123.66 相比,49.68 显然更为精确。定理 2设 pC1p(s,t,RI),p(s)=0,0,且 1,21,若
15、p 在(s,t)上有有限个切换点,则ts(p(x)1(p(x)2dx 8k(t-s)1411+2(1+2)tsp(x)1+2dx。(9)证明根据拟范数的定义,有ts(p(x)1(p(x)2dx ts(p-(x)1(p-(x)2+(p-(x)1(p-(x)2+(p-(x)1(p-(x)2+(p-(x)1(p-(x)2)dx=ts(p-(x)1(p-(x)2dx+ts(p-(x)1(p-(x)2dx+ts(p-(x)1(p-(x)2+(p-(x)1(p-(x)2)dx,由文献10中的引理 3.1,有ts(p-(x)1(p-(x)2dx+ts(p-(x)1(p-(x)2dx 第 2 期连俊勤,等:关
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