纵向数据的稳健估计及案例分析_胡倩.pdf
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1、第 43 卷 第 2 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.2 2023 年 2 月 Journal of Science of Teachers College and University Feb.2023 文章编号:1007-9831(2023)02-0030-05 纵向数据的稳健估计及案例分析 胡倩1,罗文塔2(1.贵阳信息科技学院 信息工程系,贵州 贵阳 550025;2.贵州宏信创达工程检测咨询有限公司,贵州 贵阳 550016)摘要:纵向数据是对一组观测个体按时间或空间顺序重复跟踪监测而得,即对每一个体在不同时间或不同实验条件下进行多次测量,而多次重复观测之间一般具有相
2、关性,会影响对应估计的准确性.研究一般线性模型下纵向数据的理论推导和实例分析,发现模型的最小二乘估计、极大似然估计以及约束极大似然估计的参数估计结果差别不大甚至基本相等,验证了纵向数据估计的稳健性.关键词:纵向数据;稳健估计;相关性;参数估计 中图分类号:O212 文献标识码:A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2023.02.007 Robust estimation of longitudinal data and case analysis HU Qian1,LUO Wenta2 (1.Department of Information Engineering,
3、Guiyang Institute of Information Science and Technology,Guiyang 550025,China;2.Guizhou Hongxin Chuangda Engineering Detection&Consultation Co.Ltd,Guiyang 550016,China)AbstractAbstract:Longitudinal data is obtained by repeated tracking and monitoring of a group of observation individuals in time or s
4、pace sequence,that is,multiple measurements are made for each individual at different times or under different experimental conditions However,there is a correlation between multiple repeated observations,which will affect the accuracy of corresponding estimationThe theoretical derivation and case a
5、nalysis of longitudinal data under the general linear model is studied,and it is found that the parameter estimation results of least squares estimation,maximum likelihood estimation and constrained maximum likelihood estimation of the model have little difference or even almost equal,which verifies
6、 the robustness of longitudinal data estimation Key wordsKey words:longitudinal data;robust estimation;relevance;parameter estimation 纵向数据是指对一组个体按时间顺序或空间顺序追踪重复测得的数据,对每一个体在不同时间或不同实验条件下多次测量,所得的数据兼有时间序列和截面数据的特点纵向数据在医学、生物学、社会学、经济学以及心理学等领域极为常见 纵向数据的参数回归分析方法是早期研究的主要方法,随着研究的不断发展,已有许多学者将纵向数据研究应用于不同的模型中1-4一般
7、线性模型往往假定误差项为多元正态分布,均值为零向量,协方差阵为分块对角阵,进一步按协方差阵可细分为均匀相关、指数相关和一步相关等,模型可用极大似然法或加权最小二乘法以及广义估计方程的方法进行估计或统计推断;广义线性模型520可将连续型反应变量的研究推广至离散型,如 Logistic 边缘模型和泊松回归模型等,对于反应变量是分类数据的情形同样适用.由于在纵向数据中对同一个体的多次重复观察之间往往具有相关性,如何处理这种个体内的相关性便成为纵向数据分析中不可回避的问题.长期以来,实际工作者和统计学家都在关注纵向数据的统计推断问 收稿日期:2022-07-01 作者简介:胡倩(1995-),女,贵州
8、独山人,助教,硕士,从事概率论与数理统计研究E-mail: 第 2 期 胡倩,等:纵向数据的稳健估计及案例分析 31 题,Larid6等在一族广泛的参数模型下研究了纵向数据,提出了经验贝叶斯方法和极大似然方法估计模型参数Liang7等于 1986 年提出了经典的广义估计方程(Generalized estimating equations,GEE)方法来处理纵向数据中广义线性模型的参数统计推断,还进一步将协方差阵建模,假定各观测对象的组内相关性不变,也就是说相关矩阵对所有观测对象一致,根据实际情况将相关矩阵建模为讨厌参数的函数,并证明了即使对相关矩阵建模错误 GEE 方法仍能得到相合估计但是,
9、这种建模错误会大大影响参数估计的效率,针对这个问题,文献8对 GEE 方法做了扩展,基于广义矩估计(Generalized method of moments,GMM)的思想,提出了二次推断函数(Quadratic inference function,QIF)方法近些年纵向数据研究问题越发成为学者们的研究热点关晓妮9等在广义线性模型下,研究了纵向数据下的稳健二次推断函数估计,通过改进得到了模型参数有效且稳健的二次推断函数估计(Effective and robust quadratic inferential function,ERQIF),并验证了其相合性芦飞10基于指数平方损失函数,针对
10、纵向数据提出了均值和广义自回归参数的模型参数的稳健估计方法,并且其估计量的渐近正态性是可验证的.综上,可以看出学者们对于纵向数据的研究一直持续深入,且取得了较好的研究成果,但是对于纵向数据中参数估计的稳健性研究还有进一步的探究空间本文结合已有研究以及现有理论基础,研究了一般线性模型下的纵向数据,分别使用最小二乘估计、极大似然估计以及约束极大似然估计来计算模型的参数估计,对结果加以分析整合,验证纵向数据的参数估计稳健性.1 模型结构 1.1 纵向数据的线性模型 假定每个个体分别有n次观测,即假定每个个体的观测次数相同(平衡数据的情形)设第i个个体的第j次观测为,1,;1,ijYimjn=,而与i
11、jY对应的p个协变量的观测值分别为1,ijijpXX,并且满足线性回归模型 T11ijijijppijijijYXX=+=+X (1)式中:()T1,ijijijpXX=X;ij为随机误差;()T1,p=为未知的回归系数.令 11121T11121222T12,iii piiiiii piiiininininininpXXXYXXXXYXXXX|=|YX 则模型(1)可写为 iii=+YX (2)更进一步地,如果令 11111,NNpNmmmYXYX|=|YX 式中:N为总观测次数,且满足Nmn=,则模型可进一步写为=+YX (3)在纵向数据中,通常假定不同个体之间的观测是相互独立的,而同一个
12、体内部的不同观测是相关的,并且满足()()2,Var(1,)iiiiEim=YXYV 则Y的均值和协方差矩阵分别为()()2,VarE=YXYV 式中:V为分块对角矩阵,共包含有m个分块对角元 32 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 1.2 加权最小二乘估计 设W是一个对称正定矩阵,最小化随机误差的加权平方和()()()TS=-WYXW YX 将()SW 关于 求导,可以得到估计方程TT=X WXX WY,求解估计方程可得到加权最小二乘估计()1TT-=WX WXX WY 并且容易得到加权最小二乘估计W 的均值和协方差矩阵分别为()()1TTE-=WX WXX WX()()()()11TT
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