关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记.pdf
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1、2023 年 6 月第 39 卷 第 2 期纯粹数学与应用数学Pure and Applied MathematicsJun.2023Vol.39 No.2关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记赵静1,刘合国2(1.湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉430062;2.海南大学理学院,海南 海口570228)摘要:给出Vandermonde矩阵及其行列式的若干应用,揭示它在高等代数和矩阵分析等方面的重要地位.具体来说,运用Vandermonde行列式来计算几个与之相关的行列式,运用线性方程组来证明组合恒等式,给出两个特殊的Vandermonde矩阵的应用,特别是用Schur矩阵给出了樊
2、畿不等式的一个证明,给出了Vandermonde矩阵与Cauchy矩阵的一个恒等式.关键词:Vandermonde矩阵;Cauchy矩阵;Vandermonde行列式;Lagrange插值公式中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:1008-5513(2023)02-0270-18DOI:10.3969/j.issn.1008-5513.2023.02.0071 引引引言言言为方便计,本文用 diag(a1,a2,an)表示对角线元素是 a1,a2,an的 n 阶对角阵,用 Cn表示基本的 n 阶循环置换矩阵,V(x1,x2,xn)表示关于 x1,x2,xn的 Vandermonde 矩阵
3、,即Cn=010.110,V(x1,x2,.,xn)=1x1x21xn111x2x22xn12.1xnx2nxn1n.收稿日期:2022-06-04.接收日期:2022-07-05.基金项目:国家自然科学基金(12171142).作者简介:赵静(1993-),博士生,研究方向:代数学.通讯作者:刘合国(1967-),博士,教授,研究方向:代数学.第 2 期刘合国 等:关于 Vandermonde 矩阵及其行列式的注记271不论是在高等代数和线性代数(例如文献 1-2),还是在矩阵分析和特殊矩阵(例如文献 3-4),Vandermonde 矩阵及其行列式都是最基本的内容之一,具有基本的重要性.俄
4、罗斯(包括苏联)具有培养数学人才的极其深厚的传统,编写了多部高水平的问题集(例如文献 5-9),久负盛名,其中文献 9 入选为纪念莫斯科大学 250 周年校庆出版的“大学经典系列教材”,这些专集里都包括不少有关 Vandermonde 矩阵及其行列式的内容.即使在分析学的经典著作 10 里,Vandermonde 矩阵及其行列式也常常发挥着基本作用.张远达先生在文献 11-12 里列举了 Vandermonde 行列式的 10 个应用,从中不难发现这个看似平常简单的行列式其实具有极其方便有效的实用价值,这也许是数学基础课里“大智若愚,大巧若拙”的一个范例.在数学研究和数学教学中,从特别到一般的
5、推广性思路是被广泛认同和接受的.本文将反其道而行之,把一般性结论加以特殊化,强调特例的研究和作用.本文处理的数学内容与文献 13-17 是一脉相承的.2 行行行列列列式式式计计计算算算设 A,B 是两个同阶方阵,则|A B|=|A|B|,这是行列式的根本性质,也是应用行列式来解决问题的一个基本出发点.设 x1,x2,xn是 n 个数,0(x),1(x),n1(x)是 n 个次数小于 n 的多项式,记 i(x)=ai0+ai1x+ai,n1xn1,0 6 i 6 n 1,则可验证0(x1)1(x1)n1(x1)0(x2)1(x2)n1(x1).0(xn)1(xn)n1(x1)=1x1x21xn1
6、11x2x22xn12.1xnx2nxn1na00a10an1,0a01a11an1,1.a0,n1a1,n1an1,n1,两边取行列式即可得到?0(x1)1(x1)n1(x1)0(x2)1(x2)n1(x2).0(xn)1(xn)n1(xn)?=?1x1x21xn111x2x22xn12.1xnx2nxn1n?a00a10an1,0a01a11an1,1.a0,n1a1,n1an1,n1?.上式当然是一般性结论.现在进行特殊化处理,取0(x)=1,1(x)=(x x1),2(x)=(x x1)(x x2),.n1(x)=(x x1)(x x2)(x xn1),272纯粹数学与应用数学第 39
7、 卷代入上式,经过简单观察即可得到 Vandermonde 矩阵的行列式|V(x1,x2,xn)|=16ji6n(xi xj),其中V(x1,x2,xn)=1x1x21xn111x2x22xn12.1xnx2nxn1n.现在沿用文献 16 的思路,借用多项式理论和线性方程组理论来处理几个行列式问题,其具体操作与文献 16-17 有所不同.例例例1.1计算行列式?1x1xi11xi+11xn11x2xi12xi+12xn2.1xnxi1nxi+1nxnn?.解解解注意到恒等式(xx1)(xx2)(xxn)=xn1xn1+2xn2+(1)ninixi+(1)nn,这里 j是 x1,x2,xn上的第
8、 j 个初等对称多项式(1 6 j 6 n).以 x=xj代入上式可得xnj=1xn1j 2xn2j+(1)ni1nixij+(1)n1n,代入所求行列式的最后一列,则可验证?1x1xi11xi+11xn11x2xi12xi+12xn2.1xnxi1nxi+1nxnn?=ni|V(x1,x2,xn)|.第 2 期刘合国 等:关于 Vandermonde 矩阵及其行列式的注记273例例例1.2设 a1,a2,an,b 是 n+1 个给定的数,其中 a1,a2,an两两互异.何时下面关于 x1,x2,xn的线性方程组有解?当该方程组有解时,如何求解?x1+x2+xn=1,a1x1+a2x2+anx
9、n=b,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,.an11x1+an12x2+an1nxn=bn1,an+11x1+an+12x2+an+1nxn=bn+1.解解解(i)该线性方程组系数矩阵的秩为 n,它有解的充要条件是其增广矩阵的秩也是 n,于是根据例 1.1 可得?1111a1a2anba21a22a2nb2.an11an12an1nbn1an+11an+12an+1nbn+1?=(b+naii=1)ni=1(b ai)16ji6n(ai aj)=0,这样线性方程组有解当且仅当 b=ni=1ai,或 b=ai对某个 1 6 i 6 n.(ii)此时方程组有唯一解.对 0 6 k 6 n1
10、,考虑 xk在 a1,a2,an处的插值,有xk=ni=1akij=ix ajai aj.令 x=b,可得ak1j=1b aja1 aj+ak2j=2b aja2 aj+aknj=nb ajan aj=bk,于是得到 xi=j=ibajaiaj,其中 i=1,2,n.274纯粹数学与应用数学第 39 卷例例例1.3解关于 x1,x2,xn的线性方程组x1+a1x2+an11xn=b1,x1+a2x2+an12xn=b2,.x1+anx2+an1nxn=bn.解解解记 f(t)=x1+x2t+xntn1,此时 f(ai)=bi(1 6 i 6 n),根据 Langrage 插值公式可知f(t)=
11、x1+x2t+xntn1=ni=1bij=it ajai aj,通过比较 tk1(1 6 k 6 n)的系数可得xk=ni=1bij=i(1)nki(n k)ai aj,这里i(n k)表示 a1,ai1,ai+1,an上的第 n k 个初等对称多项式.例例例1.4计算行列式Di=?1x1xi11a1xi+11xn111x2xi12a2xi+12xn12.1xnxi1nanxi+1nxn1n?.解解解可以按第 i+1 列展开求解.考虑关于 t0,t1,tn1的线性方程组t0+x1t1+xi1ti+xn11tn1=a1,t0+x2t1+xi2ti+xn12tn1=a2,.t0+xnt1+xint
12、i+xn1ntn1=an.记 f(x)=t0+t1x+tixi+tn1xn1,则 f(xk)=ak(1 6 k 6 n),根据 Langrage 插值公式可知f(x)=t0+t1x+tixi+tn1xn1=nk=1akl=kx xlxk xl,第 2 期刘合国 等:关于 Vandermonde 矩阵及其行列式的注记275通过比较 xi(0 6 i 6 n 1)的系数可得 ti=nk=1akl=k(1)ni1k(ni1)xkxl,这里k(n i 1)表示 x1xk1,xk+1,xn上的第 n i 1 个初等对称多项式.另一方面,根据 Cramer 法则可得ti=?1x1xi11a1xi+11xn
13、111x2xi12a2xi+12xn12.1xnxi1nanxi+1nxn1n?|V(x1,x2,xn)|=Di|V(x1,x2,xn)|,因此,Di=|V(x1,x2,xn)|nk=1akl=k(1)ni1k(ni1)xkxl,这里k(n i 1)表示 x1xk1,xk+1,xn上的第 n i 1 个初等对称多项式.3 组组组合合合恒恒恒等等等式式式Vandermonde 矩阵及其行列式与 Langrage 插值公式之间存在天然的联系,能够运用 Langrage 插值公式求解的问题,常常也可借助 Vandermonde 矩阵及其行列式运用线性方程组来求解.例例例3.1证明ni=0(1)ni(
14、ni)ik=0,0 6 k 6 n 1,n!,k=n.证证证法法法一一一对 0 6 k 6 n,考虑 xk在 0,1,n 处的插值,可得xk=ni=0ikj=ix ji j.比较 xn的系数,化简可得ni=0(1)ni(ni)ik=0,0 6 k 6 n 1,n!,k=n.276纯粹数学与应用数学第 39 卷证证证法法法二二二考虑下面的线性方程组1111012n01222n2.01n2nnnx0 x1x2.xn=000.n!,它的系数矩阵的行列式等于 1!2!3!n!,应用 Cramer 法则,可得方程组唯一的解xj=(1)nj(nj),0 6 j 6 n,这表明ni=0(1)ni(ni)ik
15、=0,0 6 k 6 n 1,n!,k=n.例例例3.2证明ni=0(1)i(ni)(n 2i)k=0,0 6 k 6 n 1,2n n!,k=n.证证证法法法一一一对 0 6 k 6 n,考虑(n 2x)k在 0,1,2,n 处插值,可得(n 2x)k=ni=0(n 2i)kj=ix ji j.比较 xn的系数,化简可得ni=0(1)i(ni)(n 2i)k=0,0 6 k 6 n 1,2n n!,k=n.证证证法法法二二二考虑下面的线性方程组1111nn 2n 4nn2(n 2)2(n 4)2(n)2.nn(n 2)n(n 4)n(n)nx0 x1x2.xn=000.2n n!,第 2 期
16、刘合国 等:关于 Vandermonde 矩阵及其行列式的注记277它的系数矩阵的行列式等于(2)n(n+1)2 1!2!n!,应用 Cramer 法则,可得方程组的唯一解为 xi=(1)i(ni),这里 1 6 i 6 n.这表明ni=0(1)i(ni)(n 2i)k=0,0 6 k 6 n 1,2n n!,k=n.在一般情况下,有如下的定理:定定定理理理3.1设 a0,a1,an是公差为 d 的等差数列,则ni=0(1)ni(ni)aki=0,0 6 k 6 n 1,dn n!,k=n.当 d=0 时,结论是明显的,以下在 d=0 时进行证明.证证证法法法一一一对 0 6 k 6 n,考虑
17、(a0+dx)k在 0,1,2,n 处插值,可得(a0+dx)k=ni=0(a0+di)kj=ix ji j.比较 xn的系数,化简可得ni=0(1)ni(ni)aki=0,0 6 k 6 n 1,dn n!,k=n.证证证法法法二二二考虑下面的线性方程组1111a0a0+da0+2da0+nd(a0)2(a0+d)2(a0+2d)2(a0+nd)2.an0(a0+d)n(a0+2d)n(a0+nd)nx0 x1x2.xn=000.dn n!.它的系数矩阵的行列式等于 dn(n+1)2 1!2!n!,应用 Cramer 法则,可得方程组的唯一解为 xi=(1)ni(ni),这里 1 6 i 6
18、 n.这表明ni=0(1)ni(ni)aki=0,0 6 k 6 n 1,dn n!,k=n.278纯粹数学与应用数学第 39 卷4 Schur 矩矩矩阵阵阵在 Vandermonde 矩阵中,Schur 矩阵具有非常重要的地位.设 =e2in是 n 次本原单位根,称 n 个单位根 1,2,n1上的 Vandermonde 矩阵S=111112n112(2)2(2)n1.1n1(n1)2(n1)n1为 n 阶 Schur 矩阵.1805 年,Gauss 完全确定了下面的 Gauss 和,这是数学史上的著名事件:n1i=0i2=n(1+i),当 n 0(mod 4)时,n,当 n 1(mod 4
19、)时,0,当 n 2(mod 4)时,in,当 n 3(mod 4)时.显然这个和就是 n 阶 Schur 矩阵 S 的迹,Schur 注意到可以通过计算 S 的特征值来求 Gauss 和,由此在矩阵论与数论之间建立了一个重要桥梁.Schur 矩阵在快速 Fourier 变换里是基本的工具,矩阵论大家 Taussky 在文献 18里就 Schur 矩阵的一些标志性事件写下了几点评注.现在给出它在不等式理论里的一个简单应用.定定定理理理4.1(樊畿不等式)设实数 x1,x2,xn满足 x1+x2+xn=0,以及 x21+x22+x2n=1,则 x1x2+x2x3+xn1xn+xnx16 cos2
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