带线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性_刘生清.pdf
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1、第 卷 第 期 年 月江西师范大学学报(自然科学版)()收稿日期:基金项目:陕西省自然科学基础研究计划课题()和 年校级大学生创新训练课题()资助项目通信作者:姜金平(),男,陕西延安人,教授,博士,主要从事无穷维动力系统的研究:刘生清,姜金平,任丽宇,等 带线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性 江西师范大学学报(自然科学版),():,(),():文章编号:()带线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性刘生清,姜金平,任丽宇,李梦娇(延安大学数学与计算机科学学院,陕西 延安)摘要:该文考虑带线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性,应用先验估计和算子分解的方法获得了过程的渐近紧性,得
2、到了时间依赖全局吸引子的存在性和正则性关键词:梁方程;线性记忆;先验估计;算子分解;时间依赖全局吸引子中图分类号:文献标志码:引言本文考虑如下非线性梁方程:()()()()(),(,),(,),(,)(,),(,)(,),|()其中()是黏性阻尼系数,是 上带有光滑边界 的有界域,()是常数,为非线性项,()(),()是关于 的函数 方程()起源于工程应用中铰链端的梁振动方程 关于该类模型的研究目前已有很多成果 文献 运用先验估计和算子分解的方法证明了在非线性项 满足临界增长条件时梁方程的时间依赖全局吸引子的存在性 文献 研究了带有时间依赖系数的振荡方程和波方程,并给出了在有界域上证明耗散偏微
3、分方程时间依赖全局吸引子存在性的方法 基于时间依赖吸引子的概念,文献 研究了 方程时间依赖全局吸引子的存在性 文献 讨论了记忆型无阻尼抽象发展方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性 文献 用压缩函数和尾部估计的方法研究了在无界域上带有线性记忆的波方程的时间依赖吸引子 文献 研究了带有记忆项的梁方程的全局吸引子的存在性 文献 证明了带线性记忆的基尔霍夫型梁方程的全局吸引子 然而带有线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性还鲜有讨论 受文献,启发,本文运用先验估计和算子分解方法验证了方程的渐近紧性,证明了带有线性记忆的梁方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性 由于方程包含记忆项,所以需要引入新变
4、量和扩展的相空间来解决记忆项引起的紧性问题本文引入变量:(,)(,)(,),(,),则(,)(,)(,),(,),令 ()且 (),则方程()可化为()()()(),(,),(,)|()对应边界条件为 ,(,),(,)初值条件为(,)(,),(,)(,),(,)(,),其中(,)(,),(,),(,)(,),(,)()(,),(,)|()假设()、()和记忆项分别满足下列条件:)()()是单调递减的正函数,且满足(),()特别地,使得(()())()函数 (),()并且满足如下个条件()增长性条件()(),()(),()这里的()是 的第 特征值,()()()(),常数 ,其中表示嵌入是紧的(
5、)耗散性条件()(),()()(),()其中()(),()是常数)在该方程中记忆项的作用通过函数()和记忆核()的线性时间卷积起作用,且 ()(),()(),(),()()(),()其中 是一个正常数,显然由式()得,()有 ()()()()预备知识记 (),记内积和范数分别为,和,对于,定义由生成的空间族 (),并赋予如下内积与范数:,特别地,有紧嵌入对于 及 引入时间依赖空间 (;)并赋予范数:(,)(),当 时,通常记 (;)对应的范数为(,)(),由紧嵌入 知,当 时,有紧嵌入 定义 设 为一族赋范线性空间,对于双参数算子族(,):,若满足如下性质:),(,)是 上的恒等映射;)(),
6、有(,)(,)(,),则称(,)是一个过程定义若对每个,都存在常数 ,使得(),则称有界集的集合族 是一致有界的定义 若一个集族 是一致有界的,且对每个 ,都存在常数(,),使得(,)(),则称 是拉回吸引的定义 若 ,都存在常数 (),使得 (,),(),则称一致有界集族 是过程(,)的时间依赖吸收集定义 过程(,)的时间依赖吸引子是满足如下性质的最小集族 :)在 中的每个 都是紧的;)是拉回吸引的,即对每个一致有界集族,(,),),其中(,)为中任意 个非空集合 和 的 半距离为了方便估计,首先给出下面的结论引理()和常数,则有不等式江西师范大学学报(自然科学版)年(),)(),()(),
7、)(),其中()()引理 ,若记忆核函数()满足式()(),则 (,);(;),存在一个常数 ,使得,主要结论与证明 先验估计由标准的 方法可知方程()的解 是存在的,并且它的解满足在任意区间(,)上有 (,),(,),(,;(;),(,;(;)(,;(;)因此,可以定义下面的过程族:(,):,(,)()(),(),(),其中(),是方程()的唯一解本部分将研究过程的耗散性,证明时间依赖吸收集的存在性引理 设条件()()成立,对(),记(,)()是问题()对于初始时刻 和初始值()的解,则存在常数 ,使得()(,)(),()证 用()与方程()在中作内积有(),()(),(),()对于记忆项,
8、有()(),()()(),()由方程(),并利用 不等式和 不等式有()(),()(),()由式()()结合条件()得()()()(,),(),)(,)()()()(,),(),)(,)()()()()(,)(),()对于合适的常数 ,定义泛函 ()()()()(,),(),)(,)()由条件()知,()(,)(),(,)(,)()由条件()知,(),()()()由条件()知,存在足够小的常数(),使得(),)(),从而,对足够小的 存在常数、和,使得()()()()由条件()知,结合 不等式、不等式和 不等式,有()()(,)()()将式()和式()代入式()得()()()()()(),取
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