《数学教学》问题1106的简证及拓展.pdf
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1、9422023年第9期数学教学数学教学问题110 6 的简证及拓展付宏祥(甘肃省定西市安定区东方红中学,甘肃定西743000)1问题呈现本刊2 0 2 0 年第12 期问题110 6 11为:如图1,在平面直角坐标系xOy中,M是椭圆+=1(b0)上异于长轴端点的2262a动点,FI、F2 分别是椭圆的左右焦点,A1、A,分别是椭圆的左右顶点,E是线段A,M的中点,直线OE交椭圆的左准线l:x=-(其中=CV-b)于点P,过点0 作A,M的平行线交l于点Q.求证:ZOPF,=ZOQFfMAFA2P图1该问题简洁明了,证明思路清晰,有利于培养学生的思维品质及运算能力.下面笔者将给出简明证明,并将
2、问题作适当拓展2问题简证我们将上述问题分两部分加以证明,即求证:(1)PF,1OQ,QF,1OP;(2)OPF,=ZOQF1.证明:(1)依题意,设M(xo,y o)(0+ayoa),则E22Y因为kop,所以直线OE的方程为:xo+ayoa?yo2ax,即pP,故有Xo+ac(x+a)C2kipF,=bb(xo+a)yo又OQ/A,M,所以koo=kA,E,则直ayo线OQ的方程为:y=aa?yoayo22),故有 hor,B(xo-a)c(x-a),22V由点M在椭圆=1上,得622a6(a2-)2Yo三2a因为ayo2krr koo=b(xo+a)ab(?-x)2a2a=-1,b(x-a
3、)b2(x-a2)ayo2kor,kopp=b(x0-a)x+a2.2ayb2(x-a)所以,PF,1 OQ,QF,1OP.(2)如图2,延长直线PF交OQ于点C,延长直线QF,交OP于点D,则由(1)知ZOCP=ZODQ=90QMEAF2DP么图2OSFOPFSO F2,则有ZPOFLSOF2,得POF证明:由OP=OS,4392023年第9 期数学教学在RtPO C 和RtQ O D 中,因为ZPOC=ZQOD,所以 POC Q O D.所以ZOPF,=ZOQFr.评注:从几何作图过程中意识到PF1工OQ,Q F1工OP并得到证明,是利用几何法证明ZOPF,=LOQF,的关键.3问题拓展3
4、.1椭圆中拓展结论1如图3,在平面直角坐标系x0y中,M是椭圆+=1(b 0)上异于长62a轴端点的动点,F1、F2 分别是椭圆的左右焦点aA1、A z 分别是椭圆的左右顶点,l1、l 2:x=C(其中c=V-b)分别是椭圆的左右准线,E是线段A,M的中点,直线OE交椭圆的右准线l2于点S,过点O作A,M的平行线交椭圆的左准线1于点Q.则ZOQF,=ZOSF2.QMSAoFJA2121图3该结论可仿照上述问题的证明过程加以证明,详细证明过程这里不再述,利用椭圆的对称性质容易得到如下结论:结论2如图4,在平面直角坐标系x0y2X中,M是椭圆B=1(ab0)上异于长+a轴端点的动点,F1、F2 分
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