移动机器人动力学方程的约束违约稳定方法 (1).pdf
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1、第8 期2023年8 月机械设计与制造Machinery Design&Manufacture233移动机器人动力学方程的约束违约稳定方法刘佳,杨凯,杨蓓,杨伟超(石家庄学院机电学院,河北石家庄0 50 0 3 5)摘要:约束违约是创建多体系统动力学方程的常见问题。Baumgarte稳定方法是处理约束违约问题的经典方法,但选择合适的Baumgarte参数并不容易。这里基于经典的四阶Runge-Kutta法,通过系统的稳定性分析方法探讨了稳定参数的选择问题,缩小了参数的选择范围。对基于Udwadia-Kalaba方程创建的移动机器人解析动力学模型的仿真结果表明:基于稳定区域参数的修正动力学方程的
2、约束误差明显优于未做修正和基于非稳定区域参数的修正动力学方程的约束误差。因此,证明了所提方法的有效性。关键词:移动机器人;动力学方程;Udwadia-Kalaba方程;约束违约;Baumgarte稳定方法中图分类号:TH16;TH113Constraint Violation Stabilization Method of Mobile Robot Dynamical Equation(College of Mechanical and Electrical Engineering,Shijiazhuang University,Hebei Shijiazhuang 050035,China)
3、Abstract:Constraint violation is a common problem in establishing dynamic equations of multi-body system.Baumgartes stabi-lization method is a classical method to deal with constraint violation problem.However,It is difficult to choose properBaumgartes parameter.Based on the classical fourth order R
4、unge-Kutta method,the parameter selection method is proposed tomodify the dynamic equation through system stability analysis method.The simulation results of mobile robot dynamical equa-tion based on the Udwadia-Kalaba equation show that:the constraint errors which was obtained by the modified dynam
5、ical equation based on the stability region parameter were obviously btterthan the constraint errors which was obtained by the modified dy-namical equation based on the unstability region parameter and the unmodified dynamical equation.Therefore,the availabilityof the proposed method is proved.Key W
6、ords:Mobile Robot;Dynamical Equation;Udwadia-Kalaba Equation;Constraint Violation;BaumgartesStabilization Method文献标识码:ALIU Jia,YANG Kai,YANG Bei,YANG Wei-chao文章编号:10 0 1-3 997(2 0 2 3)0 8-0 2 3 3-0 41引言约束多体系统的动力学模型常被处理为若干微分方程与约束方程组成的方程组进行求解处理。理论上讲,如果存在解析解,此解在满足加速度层面约束方程的同时,也应该满足速度层面约束方程和位置层面约束方程。然而,
7、在数值求解时,由于数值近似和截断误差等的影响,数值解将仅仅能满足加速度层面约束方程,而严重偏离位置约束方程和速度约束方程,出现约束违约现象。对于移动机器人来讲,由于其存在的非完整约束,使得建立其解析形式的动力学方程具有一定的困难。而基于分析力学界经典的Udwadia-Kalaba方程建立的解析形式的动力学方程依然存在约束违约。其原因除数值近似和截断误差等因素外,将移动机器人本身来稿日期:2 0 2 2-0 6-3 0基金项目:河北省教育厅高等学校科学研究项目(QN2020510);河北省教育厅高等学校科学研究项目(Z2020106);石家庄学院博士科研启动基金(18 BS014);石家庄学院科
8、研启动基金(18 QN002)作者简介:刘佳,(198 2-),男,河北南宫人,博士研究生,讲师,主要研究方向:机器人机构学固有的非完整约束方程融入到质量矩阵而导致的矩阵奇异也应该是不可忽略的因素。当前,处理约束违约的方法主要有两种:1)约束违约消除方法2 ;(2)约束违约稳定性方法3 。约束违约消除方法是将满足约束方程的解视为约束流形上的映射,通过将由动力学方程积分得到的广义坐标和广义速度投影到约束流形上,使广义坐标和广义速度满足约束方程从而实现违约校正。其中代表性的应用是:文献4-5 分别采用几何投影法对空间曲柄滑块机构和牛头刨床机构做了分析研究,并取得满意效果。文献6 基于改进Udwad
9、ia-Kalaba方程建立了双臂协调机械手的动力学方程,约束违约得到一定程度的抑制。但由于仅考虑了忽视速度层面约束方程对约束违约的影响,因此结果仍有待改善。234约束违约稳定性方法通过引入包含约束方程的修正项以达到减小甚至消除约束漂移的目的。这其中最著名的是Baumgarte稳定方法。然而,Baumgarte稳定性方法需要合理选择修正项中涉及到的参数,这是一件比较困难的事情7。尤其当系统具有多个约束方程时,稳定参数的选择就成为一个单调、繁琐的试错过程。基于此,这里利用Baumgarte稳定方法,基于求解常微分方程常用的四阶Runge-Kutta法探讨稳定参数的选择问题,并将其应用到基于Udwa
10、dia-Kalaba方程建立的移动机器人解析动力学方程上以验证其有效性。2 Baumgarte稳定方法系统的约束方程可表示为以下形式::(q,9,t)=0,i=1,2,:p式中:一系统的广义变量;t一时间变量;p一系统约束方程的个数。进一步可表示为:=$2$,=0根据Baumgarte稳定方法,将加速度层面约束方程改写为:(q,t)+(g,t)+(q,t)=0(3)式中:=diag1,2,),=diag(B1,)稳定参数。基于Udwadia-Kalaba方程的8-10 机器人解析动力学方程可表示为:M(q)g=Q(q,9,t)+Q.(q,9,t)式中:Q一不考虑约束时系统所受的约束力(矩);Q
11、。一考虑约束时机器人所需的约束力(矩)。Q.(q,j,t)=M(q)2B(q,t)(b(q,j,t)-式中:B(q,t)=A(q,9,t)M(g);+矩阵的广义逆。=A(q,j,t)i-b(q,j,t)。基于Baumgarte稳定方法修正的UdwadiaKalaba方程,可得:(1-A(g,j,t)(g,t)M(a)=Q(q,g,t)b(q,j,t)-d(q,t)-d(q,t)3 Baumgarte参数的估计针对一阶方程的初值问题12 :y=f(x,y)(y(x0)=yo所谓数值解法,就是寻求解(x)在一系列离散节点xxz.0,2 0);=diag(,2)(,0,0)。为验证所提方法的有效性,
12、根据图1选择的三组数据,如表1(17)所示。Tab.1 The Table of Different Stability Parameters步长未修正,=0,=0;=0.01 =200h=0.12=0,=02=0,=0仿真结果,如图3 图7 所示。图3 和图5分别表示移动机器人在x方向和y方向的位移示意图。未修正和Y未正分别表示没有采用Baumgarte参数时的位移。柔修正和y修正分别表示采用稳定区域Baumgarte参数时的位移。非稳迄和y非稳宠分别表示采用非稳定区域Baumgarte参数时的位移。理论和y论分别表示理论位移曲线。三种情况下x方向位移偏差不是很大,如图3 所示。而没有采用B
13、aumgarte参数时的位移存在明显的约束违约,如图5所示。移动机器人在x方向和方向的位移误差示意图,如图4、图-m;asing006所示。其中,error,=x3 s i n t 表示x方向的位移误差;errorz=H0002d02d(19)(20)表1不同稳定参数表稳定区域,=0.001,=2;=0.01,=2002=0.1,=3,=1,=300y+4cost表示y方向的位移误差。下标文字含义与上述相同。图4、图6 均表明没有采用Baumgarte参数时的位移误差随时间逐渐增大,采用非稳定区域Baumgarte参数时的位移误差则得到了较好的控制,而采用稳定区域Baumgarte参数时的位移
14、误差则得非稳定区域,=1,=1,=10,=100&2=1,=1,=10,=100No.8236机械设计与制造到了很好的改善,x方向误差数量级为10-4,y方向误差数量级为仿真结果表明违约现象也得到了较好的改善,尽管达不到选择稳10-3。移动机器人运动轨迹示意图,如图7 所示。定区域时的Baumgarte参数的数量级,但也从另一个角度说明Baumgarte违约稳定方法的有效性。在此基础上获得稳定参数的x未修正选择范围对创建精确的动力学模型具有重要意义。20.50-0.50-11.5-2-22.53-30246810 121416 1820时间/s图3 方向位移示意图Fig.3 The Displ
15、acement Diagram of x Direction0.02errori未稳定0.0100.010.020.03-0.04-0.05-0.060246810121416 1820时间/s图4方向位移误差示意图Fig.4 The Displacement Error Diagram of x Direction一y未修正二6420-20Fig.5 The Displacement Diagram of y Direction5结论这里针对移动机器人动力学方程存在的约束违约问题,基于常微分方程常见的四阶Runge-Kutta法,探讨了Baumgarte稳定性方法的参数选择问题,主要结论有:
16、(1)基于四阶Runge-Kutta法获得了Baumgarte稳定参数的存在区域,为快速选择合适的Baumgarte稳定参数提供了一种方法。这种方法也可用于其他求解动力学方程的方法。(2)当选择非稳定区域时的Baumgarte参数时,移动机器人的Aug.2023-error2未修正-error2修正-eorz2 稳定10-3010时间/s0.040.0203.50.020.04-410-4.50246810 1214161820时间/serrori未修-error,x10-4505102468101214161820时间/s图5y方向的位移示意图151520时间/s图6 y方向位移误差示意图F
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