具有阶段结构和同类相食的时滞捕食模型.pdf
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1、 第4 4卷 第4期 吉首大学学报(自然科学版)V o l.4 4 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i s h o u U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e s E d i t i o n)J u l.2 0 2 3 文章编号:1 0 0 7 2 9 8 5(2 0 2 3)0 4 0 0 0 1 0 8具有阶段结构和同类相食的时滞捕食模型*张子振,张伟诗(安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽 蚌埠 2 3 3 0 3 0)摘 要:研究了一类食饵种群具有阶段结构、捕食者种群具有同类相食的时滞捕食模
2、型.以捕食者种群的妊娠时滞为分岔参数,利用特征值法讨论了模型局部渐近稳定性和局部H o p f分岔存在性,推导出模型产生局部H o p f分岔的时滞临界点,并借助中心流形法分析了H o p f分岔的性质.关键词:阶段结构;同类相食;时滞;H o p f分岔中图分类号:O 1 7 5.1 2 文献标志码:AD O I:1 0.1 3 4 3 8/j.c n k i.j d z k.2 0 2 3.0 4.0 0 11 问题的提出捕食模型一直是种群动力学领域中的研究主题.一方面,由于自然界中任何一个种群都要经历幼年和成年2个阶段,因此具有阶段结构的捕食模型受到国内外学者广泛关注14.另一方面,同类
3、相食是自然界中普遍存在的现象,并且这种现象对种群的生存具有稳定调节的潜力56.鉴于此,B e a y等7提出如下食饵种群具有阶段结构、捕食者种群具有同类相食的捕食模型:dx1(t)dt=r x2(t)(1-x1(t)k)-x1(t)-x1(t)x3(t)x1(t)+n1-h1x1(t),dx2(t)dt=x1(t)-1x2(t)-h2x2(t),dx3(t)dt=x1(t)x3(t)x1(t)+n1-2x3(t)-x23(t)x3(t)+w.(1)其中:x1(t),x2(t),x3(t)分别为幼年食饵种群、成年食饵种群及捕食者种群在t时刻的密度;r为幼年食饵种群的内在增长率;k为环境对幼年食饵
4、种群的承载能力;为幼年食饵种群自然死亡率;为捕食者种群对幼年食饵种群的最大捕食率;n1为半饱和常数;h1,h2分别为幼年食饵种群和成年食饵种群的线性收获率;1,2分别为成年食饵种群和捕食者种群的自然死亡率;为幼年食饵种群向捕食者种群的转化率;x23(t)x3(t)+w为捕食种群的同类相食反应,这里为同类相食的比率.B e a y等对模型(1)中存在的平衡点的局部稳定性进行了研究,并讨论了模型(1)产生H o p f分岔的可能.考虑到现实环境下,捕食者对食饵种群进行捕食后不会立刻繁衍出后代,而是需要经历一定时间的妊娠后才能进行繁衍,因此笔者在模型(1)的基础上,进一步考虑捕食者种群的妊娠时滞,构
5、建如下时滞捕食系统:*收稿日期:2 0 2 2 1 1 1 2基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 0 0 1 0 0 1);安徽省高校自然科学研究重点项目(K J 2 0 2 1 A 0 4 8 6)作者简介:张子振(1 9 8 2),男,山东聊城人,安徽财经大学管理科学与工程学院教授,博士,主要从事动力系统稳定性、分岔等研究.dx1(t)dt=r x2(t)(1-x1(t)k)-x1(t)-x1(t)x3(t)x1(t)+n1-h1x1(t),dx2(t)dt=x1(t)-1x2(t)-h2x2(t),dx3(t)dt=x1(t-)x3(t-)x1(t-)+n1-2x3(t)-x23
6、(t)x3(t)+w,(2)其中为捕食者种群的妊娠时滞.2 正平衡点的存在性及局部渐近稳定性分析鉴于模型(2)的生物学意义,本研究只讨论模型(2)的正平衡点的存在性.假设模型(2)存在唯一正平衡点E*=(x*1,x*2,x*3).经过计算可得x*2=1+h2x*1,x*3=-r x*21+(r(k-n1)-k(1+h2)(+h1)x*1+r k n1-k n1(1+h2)(+h1)k(1+h2).x*1为方程3(x*1)3+2(x*1)2+1x*1+0=0(3)的正根.其中:0=-n1(2+)(r k n1-k n1(1+h2)(+h1)k(1+h2)-2n1w;1=(r k n1-k n1(
7、1+h2)(+h1)(-2-)k(1+h2)+w(-2)-n1(2+)(r(k-n1)-k(1+h2)(+h1)k(1+h2);2=(r(k-n1)-k(1+h2)(+h1)(-2-)+r n1(2+)k(1+h2);3=-r(-2-)k(1+h2).根据计算可知,当r k n1-k n1(1+h2)(+h1)k(1+h2)和r(k-n1)k(1+h2)(+h1)且方程(3)有正实数根时,模型(2)存在唯一正平衡点E*=(x*1,x*2,x*3).令u1(t)=x1(t)-x*1,u2(t)=x2(t)-x*2,u3(t)=x3(t)-x*3,模型(2)在正平衡点E*=(x*1,x*2,x*3
8、)处的线性化部分为du1(t)dt=1 1u1(t)+1 2u2(t)+1 3u3(t),du2(t)dt=u1(t)+2 2u2(t),du3(t)dt=3 1u1(t-)+3 3u3(t)+3 3u3(t-).(4)其中:1 1=-(r x*2k+h1);1 2=r-r x*1k;1 3=-x*1x*1+n1;2 2=-(1+h2);3 1=n1 x*3(x*1+n1)2;3 3=-2-x*23+2 w x*3(x*3+w)2;3 3=x*1x*1+n1.系统(4)对应的特征方程为2吉首大学学报(自然科学版)第4 4卷3+R22+R1+R0+(T22+T1+T0)e-=0.(5)其中:R0
9、=-1 12 23 3+1 23 3;R1=1 12 2+(1 1+2 2)3 3-1 2;R2=-(1 1+2 2+3 3);T0=1 23 3+1 32 23 1-1 12 23 3;T1=(1 1+2 2)3 3-1 33 1;T2=-3 3.当=0时,方程(5)变为3+(R2+T2)2+(R1+T1)+R0+T0=0.根据R o u t h-H u r w i t z判据可知,当R2+T20,(R2+T2)(R1+T1)R0+T00时,模型(2)的正平衡点E*=(x*1,x*2,x*3)是局部渐近稳定的.当0时,令=i(0)为方程(5)的根,分离实部虚部,可得T1s i n+(T0-T
10、22)c o s=R22-R0,T1c o s-(T0-T22)s i n=3-R1.(6)通过计算,可得代数方程6+(R22-T22-2R1)4+(R21-T21-2R0R2+2T0T2)2+R20-T20=0.(7)令2=,方程(7)变为3+(R22-T22-2R1)2+(R21-T21-2R0R2+2T0T2)+R20-T20=0.(8)给定模型(2)中所有参数,通过M a t l a b软件可以计算得到方程(8)的所有根.在此,假设方程(8)存在至少1个正根0,则由方程(7)有0=0.对于0,根据方程(6),可得0=10a r c c o s(T1-R2T2)40+(R0T2-R1T1
11、+R2T0)20-R0T0T2240+(T1-2T0T2)20+T20.对方程(5)中的关于进行求导,可得(dd)-1=32+2R2+R1+(2T2+T1)e-(T22+T1+T0)e-,于是R e(dd)-1=i0=11+2221+22.其中:1=T00s i n 00-T120c o s 00-T230s i n 00;2=T00c o s 00-T120s i n 00-T230c o s 00;1=-320+R1+2T20s i n 00+T1c o s 00;2=2R20+2T20c o s 00-T1s i n 00.显然,当11+220时,R e(dd1)-1=i00恒成立.根据
12、文献8中关于动力系统H o p f分岔存在性的描述,得到如下结果:定理1 当0,0)时,模型(2)局部渐近稳定;当=0时,模型(2)在唯一正平衡点E*=(x*1,x*2,x*3)处产生H o p f分岔并产生分岔周期解;当0时,模型(2)失去稳定性.3 H o p f分岔的性质假设=0+,R.定义t(t/),连续实数空间C=C(-1,0,R3).同时,令1(t)=x1(t)-x*1,2(t)=x2(t)-x*2,3(t)=x3(t)-x*3,则模型(2)转化为如下泛函微分方程:(t)=L(t)+F(,t).(9)其中:(t)=(1(t),2(t),3(t)TC(-1,0,R3);3第4期 张子
13、振,等:具有阶段结构和同类相食的时滞捕食模型L()=(0+)(G1(0)+G2(-1);F(,)=(0+)(F1,0,F3)T.这里:G1=1 11 21 32 20003 3 ;G2=0000003 103 3 ;F1=1 41(0)2(0)+1 51(0)3(0)+1 621(0)+1 721(0)3(0)+1 831(0)+h.o.t.,F3=3 423(0)+3 533(0)+3 41(-1)3(-1)+3 521(-1)+3 621(-1)3(-1)+3 731(-1)+h.o.t.其中:1 4=-rk;1 5=-(1+x*1)2;1 6=x*3(1+x*1)3;1 7=(1+x*1
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