一类具有早期筛查的丙型肝炎传染病模型分析.pdf
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1、依据丙型肝炎的传播机理,建立了一类具有早期筛查的丙型肝炎传染病模型。计算了系统的控制再生数,证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性,进行了敏感性分析和数值模拟,并运用优化控制理论分析模型存在最优解。结果表明早期筛查并进行及时治疗可以很好地控制丙型肝炎的传播。关键词:早期筛查;急慢性丙型肝炎;稳定性;优化控制;敏感性分析中图分类号:O175郾 14文献标志码:ADOI:10.19740/j.2096鄄9872.2023.03.12摇 摇 收稿日期:2023-02-13基金项目:国家自然科学基金项目(11901027);北京市教育委员会科研计划项目(SZ202110016008);北京建筑
2、大学研究生创新项目(PG2022142、PG2023145)。第一作者简介:陈靖宜(1995),女,硕士研究生,研究方向:传染病建模与控制。Analysis of a Class of Hepatitis C Infectious DiseaseModel with Early ScreeningCHEN Jingyi,摇 WANG Xiaojing,摇 GUO Songbai,摇 LI Jiahui,摇 GUO Deyu(School of Science,Beijing University of Civil Engineering and Architecture,Beijing 100
3、044)Abstract:Based on the transmission mechanism of hepatitis C infectious disease,a kind of infectiousdisease model of hepatitis C with early screening is established.The control reproduction number iscalculated.Then,the global asymptotic stability of the disease free equilibrium and the endemicequ
4、ilibrium is proved.Moreover,sensitivity analyses and numerical simulations are carried out.Finally,the optimal solution of the model is obtained by optimal control theory.The results show that earlyscreening and timely treatment can control the spread of hepatitis C effectively.Keywords:early screen
5、ing;acute and chronic hepatitis C;stability;optimal control;sensitivity analyses摇 摇 丙型病毒性肝炎简称为丙型肝炎,是一种由丙型肝炎病毒引起的传染性疾病1。由于感染初期患者并无显著症状,所以很容易被忽视,极易由急性转变为慢性,并由肝炎转变为肝硬化,继而发展为肝癌2。丙型肝炎主要通过血液传播,例如输入未经筛查的血液或血液制品、使用未经消毒的注射器具、母婴分娩和有血液暴露的性行为等3。大约有 30%的急性感染者在未采取任何治疗措施的情况下能够自我清除丙型肝炎病毒4。全球约有1郾 3 1郾 7 亿人口感染慢性丙型肝炎,
6、并且每年约有35 万人因丙型肝炎感染导致的相关肝脏疾病而死亡5。2021 年,我国丙型肝炎感染人数为 202 771例,死亡人数为 89 例,发病率约为 0郾 014 4%6。目前抗病毒疗法是唯一的治疗方法,并且口服抗病北 京 建 筑 大 学 学 报第 39 卷毒药物就可以达到 95%的病毒清除率。但是由于丙型肝炎早期症状不明显,其诊断和治疗的可及性较低7。丙型肝炎对公共健康安全产生了较大的威胁,众多学者基于丙型肝炎的传播机理建立了相应的传染病模型。文献8、9根据丙型肝炎的传播特点建立了微分方程模型,从微观角度分析丙型肝炎的传播。STONE 等10模拟了丙型肝炎在兼具监禁和既往吸毒史人群中的传
7、播,得到加强对其丙型肝炎的治疗可以有效地降低该人群释放后对丙型肝炎的传播。XIONG 等11加入了年龄结构以更好地模拟丙型肝炎在人群中的传播。MAYANJA 等12研究了在没有治疗情况下艾滋病与丙型肝炎混合感染的模型,结果表明感染艾滋病会增加感染丙型肝炎的概率,并且早期检查和治疗对于混合感染有积极作用。崔景安等13考虑了具有标准发生率的急慢性丙型肝炎模型,证明了平衡点的全局稳定性。STOCKS 等14建立了多维度分类的网络动态模型,来刻画丙型肝炎在吸毒人群中的传播。王晓静等15构建了带有控制措施的急慢性丙型肝炎传染病模型,进行了动力学分析和数值模拟,并给出相应的防控策略。1摇 模型的建立基于以
8、上文献的研究成果并结合丙型肝炎早期治疗治愈率较高的特点,建立具有早期筛查的丙型肝炎传染病模型。设总人数为 N,S 表示易感者仓室,I 表示急性感染者仓室,C 表示慢性感染者仓室,T 表示治疗者仓室,R 表示恢复者仓室。丙型肝炎的传播流程如图 1 所示。图 1摇 丙型肝炎模型流程Fig.1摇 Flow chart diagram of hepatitis C model摇根据丙型肝炎模型的流程建立如下模型,各参数的生物意义见表 1。S=撰-(1-f)茁S(I+C)-bSI=(1-f)茁S(I+C)-酌I-bIC=p1酌I-棕C-滋C-bCT=p3酌I+棕C-孜T-滋T-bTR=p2酌I+孜T-b
9、R(1)式中,S表示 S(t)在 t 处的导数,其余仓室 I,C,T,R均为类似含义。表 1摇 参数生物意义Tab.1摇 Biological significance of parameters参数生物意义撰人口输入率f控制措施的强度b自然死亡率酌移出急性阶段的比率p1急性感染者转至慢性感染者的比例棕慢性感染者的治疗率滋感染者的因病死亡率p3急性感染者治疗的比例孜治疗成功的比率p2急性感染者自愈的比例茁传染率系数摇 摇 表 1 中,p1+p2+p3=1。记总人数 N=S+I+C+T+R。对于任意的准 颐=(S,I,C,T,R)沂R R5+,式(1)的解 u(t)=u(t)(准)颐=(S(t)
10、,I(t),C(t),T(t),R(t)在 t沂0,肄)是非负有界的。设 棕(准)是式(1)的解半流 U(t)颐=u(t)颐 R R5+寅R R5+(t逸0)关于 准 的 棕 极限集,由式(1)可得dNdt=撰-bN-滋C-滋T臆撰-bN。根据常微分方程的基本定理16可知式(1)的可行域 D=(S,I,C,T,R)沂R R5+,S+I+C+T+R臆撰b。2摇 平衡点和控制再生数再生数17是刻画传染病的一个重要指标。随着传染病的传播,人们往往会采取一些控制措施。控制再生数 Rc表示存在外界干预措施的条件下,一个感染者在其感染期内所能导致的新增染病者的平均人数。当 Rc1 时,表示会形成地方病。8
11、9摇 第 3 期陈靖宜,等:一类具有早期筛查的丙型肝炎传染病模型分析令式(1)的右端为 0,即:撰-(1-f)茁S(I+C)-bS=0(1-f)茁S(I+C)-酌I-bI=0p1酌I-棕C-滋C-bC=0p3酌I+棕C-孜T-滋T-bT=0p2酌I+孜T-bR=0(2)并且令 I=0,得到无病平衡点 E0=(S0,0,0,0,0)(=撰b,0,0,0,)0。其中 S0表示易感者仓室的初始人数。运用下一代矩阵方法计算式(1)的控制再生数:F(E0)=(1-f)茁撰b(1-f)茁撰b00(3)V(E0)=b+酌0-p1酌b+滋+棕(4)V(E0)-1=1b+酌0p1酌(b+酌)(b+滋+棕)1b+
12、滋+棕(5)摇 摇 由式(3)式(5)可得控制再生数 Rc为:Rc=籽(FV-1)=(1-f)茁撰b(b+酌)+p1酌(1-f)茁撰b(b+酌)(b+滋+棕)(6)式 中,(1-f)茁撰b(b+酌)中 的1b+酌表 示 急 性 感 染 期,(1-f)茁撰b表示单位时间内一个急性感染者可以感染 的 易 感 者 人 数;p1酌(1-f)茁撰b(b+酌)(b+滋+棕)中 的1b+滋+棕表示慢性感染期,(1-f)茁撰b表示单位时间内一个慢性感染者引发的新增感染人数,p1酌b+酌表示一个急性感染者进入慢性感染者仓室的比例。定理 1摇 当 Rc1 时,存在唯一的地方病平衡点 E*=(S*,I*,C*,T*
13、,R*)。证明摇 由式(2)可知:C*=p1酌b+滋+棕I*(7)T*=p3酌b+滋+孜I*+棕p1酌(b+滋+孜)(b+滋+棕)I*(8)摇 摇 将 I*,C*代入式(2)的第二个方程,有:(1-f)茁S*I(*1+p1酌b+滋+)棕=(b+酌)I*(9)摇 摇 得到:S*=撰b1Rc=S0Rc(10)再将 S*,I*,C*代入式(3)的第一个方程中,得到:撰-bS0Rc-(1-f)茁S0R(cI*+p1酌I*b+滋+)棕=0(11)摇 摇 故:I*=b(b+滋+棕)(Rc-1)(1-f)茁(b+滋+棕+p1酌)(12)摇 摇 由式(2)的最后一个方程得:R*=p2酌bI*+孜bT*(13)
14、综上,当 Rc1 时,存在唯一的地方病平衡点E*=(S*,I*,C*,T*,R*)。3摇 平衡点的稳定性分析定理 2摇 当 Rc 1 时,无病平衡点 E0局部渐近稳定。证明摇 式(1)在无病平衡点 E0处线性化系统的系数矩阵为:J(E0)=-b-(1-f)茁撰b-(1-f)茁撰b000(1-f)茁撰b-(b+酌)(1-f)茁撰b000p1酌-(b+滋+棕)000p3酌棕-(b+滋+孜)00p2酌0孜-b(14)摇 摇 对应的特征方程为:(姿+b)2(姿+b+滋+孜)M(姿)=0(15)摇 摇 其中:M(姿)=姿-(1-f)茁撰b-(1-f)茁撰b-p1酌姿+b+滋+棕(16)99北 京 建 筑
15、 大 学 学 报第 39 卷从式(15)可以看出 姿1=姿2-b,姿3=-b+滋+孜,均为负根,其余 2 个特征值满足M(姿)=0。令M(姿)=姿2+a1姿+a2=0,其中:a1=b+滋+棕+b+酌-(1-f)茁撰b(17)a2=-(1-f)茁撰b(b+滋+棕+p1酌)+(b+酌)(b+滋+棕)=(b+酌)(b+滋+棕)(Rc-1)(18)当 Rc 0,a2 0,a1a2 0,由Routh鄄Hurwitz判据可知 M(姿)=0 的 2 个特征值均具有负实部。综上无病平衡点 E0是局部渐近稳定的。定理 3摇 当 Rc 1 时,无病平衡点 E0全局渐近稳定。证明摇由定理 2 可知 E0是局部渐近稳
16、定的,所以只需证明 E0全局吸引,即只需证 w(准)=E0。在可行域 D=(S,I,C,T,R)沂R R5+,S+I+C+T+R臆撰b上定义如下函数:V(准)=S-S0-S0lnSS0+RcI+(1-f)茁撰bCb+滋+棕(19)摇 摇 则 V(准)沿着式(1)的解 u(t)的导数为:V(准)=S(t)-S(t)S0S(t)+RcI(t)+(1-f)茁撰b(b+滋+棕)C(t)=(Rc-1)(1-f)茁S(t)(I(t)+C(t)+2撰-bS(t)-S0撰S(t)臆0(20)式中,V表示对 V 求导。由式(19)、式(20)可知 棕(准)哿D。由文献18的推论可知,坌鬃沂棕(准),有 V(鬃)
17、=0,其中棕(准)为 准 在式(1)的 棕 极限集。对任一鬃沂棕(准),设 U(t)是式(1)过 鬃 的解,由 棕(准)的不变性可知,对所 有 的 t 沂 R,U(t)沂 棕(准)。又 由 于V(U(t)=0,t 沂 R,并 结 合 式(17),设 S肄=limn寅肄supS(t),S肄=limn寅肄infS(t),由文献19中的引理5郾 1 可知存在一个序列 tn,使得 S(tn)寅 S肄,S(tn)寅0,tn寅肄(n寅肄)。由式(1)第一个方程中S的表达式,及此时 I=0 可知,当 n寅肄 时,将 tn代入式(1)S的表达式中可得到:S(tn)=撰-bS(tn)-(1-f)茁S(tn)I(
18、tn)+C(tn)=撰-bS(tn)=撰-bS肄(21)摇 摇 可得 S肄=撰b。类似地,存在一个序列 子n,使得S(子n)寅S肄,S(子n)寅0,子n寅肄(n寅肄),有 S肄=撰b。因此 S肄=S肄=撰b=S0。同理,I(t),C(t),T(t),R(t)均趋于 0,即U(t)沂w(准)=E0。因此当 Rc1 时,地方病平衡点 E*局部渐近稳定。证明摇式(1)在 E*处线性化系统的系数矩阵为:J(E*)=-(1-f)茁(I*+C*)-b-(1-f)茁S*-(1-f)茁S*00(1-f)茁(I*+C*)(1-f)茁S*-(b+酌)(1-f)茁S*000p1酌-(b+滋+棕)000p3酌棕-(b
19、+滋+孜)00p2酌0孜-b(22)摇 摇 对应的特征方程为:(姿+b)(姿+b+滋+孜)N(姿)=0(23)摇 摇 其中:N(姿)=姿+(1-f)茁(I*+C*)+b(1-f)茁S*(1-f)茁S*-(1-f)茁(I*+C*)姿-(1-f)茁S*+(b+酌)-(1-f)茁S*0p1酌姿+b+滋+棕(24)摇 摇 从式(23)可以看出 姿1=-b,姿2=-b+滋+孜,均为负根,其余3 个特征值满足 N(姿)=0。为方便计算,令:(1-f)茁S*=m(25)(1-f)茁(I*+C*)=n(26)b+滋+棕b+滋+棕+p1酌=q1(27)p1酌b+滋+棕+p1酌=q2(28)将 S*,I*,C*的
20、表达式代入,并且令 N(姿)=姿3+d1姿2+d2姿+d3,其中:d1=b+b+酌+b+滋+棕+(1-f)茁(I*+001摇 第 3 期陈靖宜,等:一类具有早期筛查的丙型肝炎传染病模型分析C*-S*)=b+滋+棕+bRc+(b+酌)q2(29)d2=(b+酌)-m(b+滋+棕)-p1酌m+n+b(b+酌)-m+(b+滋+棕)+m2(I*+C*)=b(b+酌)Rc+b(b+滋+棕)Rc-(b+酌)b+滋+棕+p1酌(30)d3=(n+b)(b+酌)(b+滋+棕)-m(b+滋+棕)-p1酌m+m2(I*+C*)(b+滋+棕)=b(b+酌)(b+滋+棕)(Rc-1)(31)d1d2-d3=b+滋+棕
21、+bRc+(b+酌)q2b(b+酌)Rc+b(b+滋+棕()Rc-b+酌b+滋+棕+p1)酌-b(b+酌)(b+滋+棕)(Rc-1)=b(b+滋+棕)2Rc+b2(b+滋+棕)Rc+b2(b+酌)Rc(Rc-q1)+b(b+酌)(b+滋+棕)Rcq2+b(b+酌)2q2(Rc-q1)+b(b+酌)(b+滋+棕)q2(32)当 Rc 1 时,d1 0,d3 0,d1d2-d3 0,由Routh鄄Hurwitz 判据可知 N(姿)=0 的 3 个特征值均具有负实部。综上地方病平衡点 E*是局部渐近稳定的。定理 5摇当 Rc1 时,地方病平衡点 E*全局渐近稳定。证明摇由定理 4 可知 E*是局部渐
22、近稳定的,只需再证 E*是全局吸引即可证得 E*为全局渐近稳定。构造如下函数:V(渍)=S-S*-S*lnSS*+I-I*-I*lnII*+茁(1-f)S*C*p1酌I(*C-C*-C*lnCC)*(33)利用类似于文献20中定理 4 的方法,易证E*是全局吸引的。故当 Rc1 时,结合定理 4 可得地方病平衡点 E*是全局渐近稳定的。4摇 优化控制最优控制21在解决实际问题中起着非常重要的作用。本文将治疗所需资源作为控制措施,寻求最优解使得减少使用医疗资源的同时也能够降低急慢性患者的总人数。选择如下的控制目标函数:F(孜(t)=乙T(0e1I(t)+e2C(t)+12e3孜2(t)dt(34
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