一种新的无罚函数无滤子的SQP算法.pdf
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1、丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报
2、保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报
3、保山学院学报保山学院学报一种新的无罚函数无滤子的SQP算法王祥玲(宜春幼儿师范高等专科学校 初等教育学院,江西 宜春 336000)摘要 通过修正QP子问题和构造适当的线搜索方向,提出了一种新的无罚函数无滤子的方法来求解不等式约束优化问题。该方法有效地避免了罚函数选择的困难,避开了传统滤子法所需要的可行恢复阶段。最后在适当的假设条件下,给出了算法的有效性分析和全局收敛性分析。关键词 不等式约束优化;SQP;线搜索;全局收敛性中图分类号 O1文献标识码 Adoi:10.3969/j.issn.1674-9340.2023.02.006文章编号 1674-9340(2023)02-0033-05收
4、稿日期:2022-11-07基金项目:江西省教育厅科学技术研究项目“约束优化问题的无罚函数无滤子的SQP法研究”(项目编号:GJJ2209202)。作者简介:王祥玲(1986),女,汉族,山东临沂人,硕士,副教授,研究方向为最优化理论及其应用。引言本文研究如下的不等式约束优化问题:minx Rnf0(x)s.t.fi()x 0,i I=1,2,m(1)其中f0:Rn R,fi()i I:Rn R均是二次连续可微函数。记如下符号:X=x Rn|fi()x 0:i I,g0(x)=f0(x),gi(x)=fi(x),h(x)=max 0;f0(x):i I,I(x)=i I|fi()x=h(x).
5、目前对不等式约束优化问题的求解方法有非常多的研究,其中SQP法是一类经典有效的方法之一1-4。SQP法通常是通过求解以下QP子问题获得一个收敛于K-T点的序列 xk,minx Rng0()xTd+12dTHds.t.fi()x+gi()xTd 0,j I=1,2,m(2)其中H是一个正定对称矩阵。然后通过罚函数来确定迭代点能否进一步迭代,进而获取算法的全局收敛性。然而,在这个过程中如何选择合适的罚因子往往是个难题。此后,Fletcher和Leyffer等人提出了一种新的方法滤子法5,能很好地解决罚因子选择的难题,而且滤子法的数值结果也很令人满意。因此,此后很多学者都利用滤子法对不等式约束优化问
6、题进行了深入的研究6-8。但是当QP子问题出现不相容时,滤子法需要通过可行恢复阶段获取具有下降方向的迭代点,这无疑增加了计算量。针对这个新的问题,学者们纷纷通过引入分片NCP函数、借助模松弛QP子问题产生搜索方向等手段提出一系列无罚函数无滤子的算法9-14。本文通过构造新的搜索方向,对前面公式(2)所述的QP子问题进行修正,确保QP子问题的相容性,同时不需要引入滤子机制,提出了一种求解不等式约束优化问题的新的无罚函数无滤子的算法。第 42 卷第 2 期保山学院学报2023 年 4 月1 算法描述对当下的迭代序列 xk,取指标集Jk=J(xk),且满足I(xk)Jk I。令Ak=(gi(xk),
7、i Jk),由于Ak是列满秩矩阵,故可令Ak=(A1k;A2k)T,Hkdk0=(pk1;pk2)T,其中A1k是由Ak中|Jk行线性无关向量构成的矩阵,A2k是由Ak中剩下的行构成的矩阵。本文采用朱志斌等15提出的修正QP子问题来替代传统的QP子问题(2),ming0()xkTd+12dTHkds.t.fi()xk+gi()xkTd 0,i Jk(3)其中Hk是对称正定矩阵。当通过QP子问题(3)获得的解dk0不是问题(1)的可行下降方向时,采用朱志斌等15的思想获得可行下降方向dk。具体如下:dk=dk0+qk(4)qk=(mk;0)T(5)mk=-k(A1k)-1)Te(6)k=-dk0
8、2g0(xk)Tdk01+2|eT(k+(A1k)-1pk1)dk02(7)ek=(1,1)T R|Jk(8)假设1 函数f0(x),fi()x,h()x均是二次连续可微函数,可行集X非空,且对每个可行点x X,向量组gi()x(i I(x)线性无关。算法A步 0(初始化):选取一个初始点x0 X,初始化矩阵H0,令h0max=0,选定参数 (0,0.5),(0,1),0=(0i,i I)0。步1(转轴运算):步 1.1:记k=(xk)=(ki,i I)=0,0k=i(xk)=0,Ji(xk)=i I|-i(xk)ki fi(xk)0,Ai(xk)=(gi(xk),i Ji(xk)。步1.2:
9、若det(Ai(xk)TAi(xk)i(xk),则令Jk=Ji(xk),Ak=Ai(xk),i(xk)=i,停止。步1.3:令i=i+1,i(xk)=0.5i-1(xk),返回步1.2。步2(计算基础搜索方向dk0):通过求解问题(3)获取解(dk0,k),若dk0=0,则停止;否则转步3。步 3(计算可行下降方向dk):通过式(4)-(8)计算搜索方向dk。若dk=0,则停止;否则转步4。步4(线搜索):计算1,12,14,中满足f0(xk+tdk)-f0(xk)min tg0(xk)Tdk,-h(xk+tdk)h(xk+tdk)hkmax,若hkmax 0(9)或h(xk+tdk)-h(x
10、k)-tk(10)的最大值tk。步5(修正hkmax):若步长tk是由(10)式产生,tk-1是由(9)式产生,则令hk+1max=hk=h(xk),否则令hk+1max=hkmax。步6(更新):更新-34王祥玲:一种新的无罚函数无滤子的SQP算法k+1i=max ki,dk0,i Jk12ki,i Jk利用BFGS公式更新Hk为Hk+1。令xk+1=xk+tkdk,k=k+1,返回步1。2 算法的收敛性分析引理112对可行集X中任意一点xk,有如下两种情况:(1)若dk0=0,则xk是问题(1)的一个K-T点;(2)若dk0 0,则dk是问题(1)在点xk处的一个可行下降方向。证明参照朱志
11、斌等15中的引理2.2。引理2算法A是适定的。证明根据算法A的构造已知,只需证明当dk 0时,对于充分小的正数t都有线搜索(9)式或(10)式恒成立。由算法A和引理1知,g0(xk)Tdk 0,gi(xk)Tdk 0充分小时,有h(xk+tdk)=h(xk)+th(xk)Tdk+o(t)=O(t)所以,min tg0(xk)Tdk,-h(xk+tdk)=tg0(xk)Tdk。从而,f0(xk+tdk)-f0(xk)-min tg0(xk)Tdk,-h(xk+tdk)=f0(xk+tdk)-f0(xk)-tg0(xk)Tdk=tg0(xk)Tdk+o(t)-tg0(xk)Tdk=t(1-)g0(
12、xk)Tdk+o(t)0另外,当hkmax 0时,有h(xk)=0 0有h(xk+tdk)hkmax成立。即证明了线搜索(9)式对充分小的t 0恒成立。(2)当xk X时,h()xk 0。由h(x)的定义可知,h(xk)Tdk=max gi(xk)Tdk,i I(xk),再结合式(4)-(8)可得,gi(xk)Tdk=-k-fi(xk)-k 0恒成立。综上所述,本引理的结论成立。定理1 在假设1成立的条件下,算法A或有限步终止于问题(1)的一个K-T点或产生一个无穷迭代序列 xk,使得存在一个聚点x*是问题(1)的一个K-T点。证明 在假设1成立的条件下,算法A若有限步终止于点xk,则dk0=
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