轴压-扭矩耦合载荷下功能梯度圆柱壳屈曲问题的辛方法.pdf
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1、第44卷第3期2023年6 月文章编号:16 7 3-9 5 9 0(2 0 2 3)0 3-0 0 5 2-0 7大连交通大学学报JOURNAL OF DALIAN JIAOTONG UNIVERSITYVol.44No.3Jun.2023轴压-扭矩耦合载荷下功能梯度圆柱壳屈曲问题的辛方法张宏宇1,,白海峰3,左忠义4(1.大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116 0 2 8;2.大连轨道交通设计院有限公司,辽宁大连116021;3.大连交通大学土木工程学院,辽宁大连116 0 2 8;4.大连交通大学交通运输工程学院,辽宁大连116 0 2 8)摘要:为了对功能梯度圆柱壳在轴压-扭矩耦合载
2、荷作用下的屈曲问题进行研究,基于Donnell薄壳理论,建立了屈曲问题的哈密顿求解体系,将问题从传统的欧几里得空间表述转变为辛对偶空间表述。采用分离变量法求解哈密顿正则方程,将原问题的求解归结为求解辛空间下的本征值和本征解,从而获得解析的临界载荷和屈曲模态。数值算例中通过与有限元结果对比,验证了该方法的准确性,并分析了载荷比例、尺寸参数、材料参数以及轴压/扭矩等关键参数对临界载荷和屈曲模态的影响。关键词:圆柱壳;屈曲;耦合载荷;功能梯度材料;辛方法文献标识码:A功能梯度材料是由两种或以上材料复合而成的先进非均质复合材料,通过控制不同材料的组分,其材料性质在空间上可以呈现连续变化而不存在材料性能
3、的突变,且具有较高的机械强度和耐高温性能,已经被广泛应用于航空航天、核反应堆、深潜器等领域。功能梯度圆柱壳正是这些设备中的关键部件,因此研究功能梯度圆柱壳的稳定性问题对其工程应用具有重要意义。目前,已经有许多研究者对功能梯度圆柱壳的屈曲问题进行研究。Nasirmanesh 等2 使用有限元法研究了含裂纹功能梯度圆柱壳在轴压-内压耦合载荷下的屈曲问题。黄怀纬等3 使用有限元法分析了轴压作用下功能梯度圆柱壳的弹塑性屈曲问题。Mehralian 等4 使用微分求积法研究了功能梯度纳米圆柱壳的扭转屈曲行为。Al-lahkarami等5 使用微分求积法对具有弹性地基的功能梯度圆柱壳在轴压-外压耦合载荷下
4、的屈曲问题展开研究。Li等6 得到了简支边界功能梯度圆柱壳轴压屈曲问题的解析解。Bagherizadeh等 给出了简支边界功能梯度圆柱壳在轴压-外压D0I:10.13291/ki.djdxac.2023.03.009耦合载荷下屈曲问题的解析解。Huang等8 使用里茨法研究了功能梯度圆柱壳的在组合载荷作用下的屈曲问题。Farahani9采用里茨法对加筋功能梯度圆柱壳的轴压屈曲问题进行研究。Sofiyev等10 使用伽辽金法研究了功能梯度圆柱壳的扭转屈曲。Huang等1 使用伽辽金法研究了功能梯度圆柱壳的轴压屈曲问题。Zhang等12 使用伽辽金法对功能梯度圆柱壳在轴压和外压共同作用下的屈曲问题
5、进行研究。从以上研究工作中可以发现,目前对于功能梯度圆柱壳屈曲行为的研究以单一载荷为主,考虑组合载荷的研究相对较少,而考虑轴压-扭转耦合载荷的研究则只有文献8 提及。研究方法上,目前大多数的解析方法都是针对简支边界条件的Navier解法或是采用能量法,这些方法都需要事先假设满足边界条件的试函数,对于不同的边界条件以及耦合载荷下的复杂变形模式,则很难选取试函数,因此呕需提出一种全新的解析求解方法。哈密顿体系辛方法是由钟万院士提出的一种弹性力学解析求解方法,该方法通过引人收稿日期:2 0 2 1-12-2 9基金项目:辽宁省科学技术计划项目(2 0 2 1JH4/10100061)第一作者:张宏宇
6、(198 3一),女,高级工程师。E-mail:hongyu_第3期对偶变量,将原问题的高阶偏微分方程转化为低阶常微分方程组,从而可以直接解析求解军13-14相较传统解析方法,哈密顿体系辛方法的主要优势为:传统的逆法或半逆法都需要假设满足边界条件的试函数,除了简支边界条件外,其他的边界条件都很难构造位移函数,并且解析解的精度高度依赖于所选取的位移函数,在耦合载荷的作用下,其变形模式通常较为复杂,假设的位移函数很难准确描述其屈曲变形,因此结果的误差通常较大。辛方法作为一种直接、理性的求解方法,不需要事先假设任何试函数,对于任意边界条件、任意组合载荷都可以直接求解并获得精确的临界载荷与屈曲模态。本
7、文基于哈密顿体系辛方法,提出了一种求解功能梯度圆柱壳在轴压-扭矩耦合载荷作用下屈曲问题的解析求解方法,得到了解析的临界载荷和屈曲模态,并分析了载荷比例、尺寸参数、材料参数以及轴压/扭矩对功能梯度圆柱壳屈曲行为的影响。1功能梯度圆柱壳基本方程考虑一个功能梯度圆柱壳(如图1),长度为L,厚度为h,中面半径为R,受到轴压扭矩耦合载荷的作用。、Q、z 轴分别沿着壳体的轴向、环向和径向,对应的中面位移分别为u、u 和w。XR文图1受轴压-扭矩耦合载荷的功能梯度圆柱壳功能梯度材料的材料属性遵循幂律指数分布:P=(P。-P,)(0.5 +2/h)*+P,(1)式中:k为幂律指数;P可以为杨氏模量E或泊松比;
8、下标“”和“i”分别表示外层和内层材料组分。基于Donnell薄壳理论,壳体的几何方程为:张宏宇,等:轴压-扭矩耦合载荷下功能梯度圆柱壳屈曲问题的辛方法C12=C12C22Tx0JL00C66J将应力沿着厚度方向进行积分,可以得到壳体中面上的内力和弯矩表达式:h/2(N.,No,N.o)T=(gx,e,Txo Tdz(4)-h/2ch/2(M,Mo,M.o)T=,(gx,0o,Txo1 Tzdz(5)-h/2功能梯度圆柱壳的应变能密度表达式为:ch/21I=-h/22(o,8,+g8+Trox)dz=1(N2MX+MX。+M X o)轴压-扭矩耦合载荷作用下的外力功密度为:12Iw=+No2a
9、x Ra0式中:N=F/(2R),N=T/(2R)。2哈密顿体系建立与求解接下来建立屈曲问题的哈密顿体系。将屈曲问题从欧几里得空间表述转变为辛对偶空间表述。将环向坐标模拟时间坐标,记f=af/ao,引人环向的转角=W,拉格朗日函数可以写为:L(u,U,w,)=II,+IIw(8)定义原变量q=u,U,w,对偶变量p=Pi,P2,P,PA T。L式中:Pi=一A66一RSu8LP一=A122xRB/22B.2253功能梯度圆柱壳的弹性本构关系为:c11810SL+2Bu+A22十+W)0(3)(6)(7)(9)x(10)r8x(0)(0)80(0)dWXRa0R十(Ra0P33SwRaoSLP2
10、Raxdo(2)P12+B2+xB22U+w)R(11)(12)54通过勒让德变换,可得到问题的哈密顿函数:H(q,p)=pq-L(q,p)(13)通过对哈密顿函数进行变分,可得到哈密顿正则方程组:SH(q,p)9=P8p令=iq,pT=u,v,w,P,P,P,P4 T大连交通大学学报为全状态向量,哈密顿正则方程组可以写成如下矩阵形式:(15)其中:H为只包含关于导数项哈密顿算子矩SH(q,p)阵。(14)第44卷TABH:C-AT(16)2RB660RK1A0RK3B=00RKs0.20RK6300矩阵中的系数为:=Aa,Da-BaKi=(B12B22-D2A12)/入K2=(D2B12-D
11、izB2)/K3=(A12B22-A2Bi2)/K4=(D12A22-Bi2B2)/入Aa.B,-2Ai,B,Ba2+A1aiK5一A12B2D12-A22B12D12-A12B12D2222+B12B22K6=入2Bi,Ba,Di2-A2D i2-Br2*D.a22K7=入R0RK20020RK4R0A66RD2200入0RB220入RK63d3000RK7RVoxxD入000RA22入3+Ro.2+DA660-R00RB2入0RNox0 x4RD6622(17)(18)00(19)(20)第3期哈密顿正则方程(15)为线性微分方程组,可采用分离变量法求解,对全状态向量进行分离:4(x,0)
12、=(x)eno上述解满足环向周期性边界条件(x,0)=(x,2),其中n=0,1,2 为环向波数;i=V-1。将式(17)代人哈密顿正则方程(15)中,可以得到一个8 次的特征方程:入8 +,入+2入5 +3入4+4入3+s2+o入+,=0沿方向的通解为:8u(x)=Zu,ei=1通解中的待定系数只有一组是独立的,选择径向位移的系数为独立系数,由哈密顿正则方程中任意7 个方程求得系数之间的关系,将系数关系代人如下边界条件中(这里考虑固支边界):u=0,v=0,w=0,=0(=0,L)(24)x可以得到关于独立系数的线性齐次方程组:c =0(25)系数具有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0,即:
13、1/=0求解该超越方程即可得到给定环向波数n下的临界载荷。3楼数值结果与讨论3.1 对比算例首先将本文结果与有限元结果进行对比来验证本文方法的准确性。考虑一个各向同性均质圆柱壳,其杨氏模量E=200GPa,泊松比v=0.3。表1中给出了扭矩和轴压的载荷比例T/F=0.1时,不同长径比和厚径比的临界载荷,边界条件为两端固支。从表1中可以看到本文方法的计算结果与有限元结果吻合良好,最大误差不超过4%,产生误差的主要为:Donnell薄壳理论主要适用于厚度半径比非常小的圆柱壳,随着厚度半径比的增大,其结果的误差也会随之增大;有限元分析中需要将一端的位移约束放松,因此有限元分析中的边界条件与理论分析不
14、完全一致,从而使有限元结果略小于理论值。以上结果说明本文的方法可以准确分析圆柱壳在轴压-扭矩耦合载荷下的屈曲行为。张宏宇,等:轴压-扭矩耦合载荷下功能梯度圆柱壳屈曲问题的辛方法有限元结果本文结果相对误差/%(21)0.00510.0100.0200.00520.0100.0200.005(22)5(23)3.2参数分析本节分析载荷比例、尺寸参数、材料参数以及轴压/扭矩对功能梯度圆柱壳在轴压-扭矩耦合载荷下的屈曲行为的影响与作用规律。功能梯度材料圆柱壳内层为不锈钢金属,杨氏模量为201.04GPa,外层为氮化硅陶瓷,杨氏模量为348.43GPa,两种材料的泊松比均为0.3。表2 中给出了不同载荷
15、比例、厚径比和长径比下的临界载荷(给出值为轴压,乘以载荷比例即可得到扭矩),计算参数R=0.1m,k=1。从表中可以看出临界载荷随载荷比例的增大而减(26)小,随厚径比的增大而增大,随长径比的增大而减小。图2 中给出了临界载荷随载荷比例的变化曲线,可以观察到功能梯度圆柱壳的厚径比越大,临界载荷随着载荷比例的变化就越明显。当载荷比例在较小的范围内变化时,圆柱壳的长径比越大,临界载荷随着载荷比例的变化就越快,而当载荷比例大于某个值(T/F约为0.4)后,不同长径比的临界载荷随着载荷比例的变化趋于一致。表2 不同载荷比例、厚径比和长径比下的临界载荷T/Fh/R0.005208.100177.4381
16、54.692123.4020.20.010955.298760.896662.4382.838.620.0204.801.623.356.992.838.622.352.180.005148.912 113.78990.163 964.842 60.50.010726.338 515.222405.266296.5670.0203.880.822.379.011 820.121348.000.00599.293 470.497 552.816636.053 01.00.010510.774331.206243.317168.0440.0202.905.9881588.6771 127.8878
17、1.96355表1本文结果与有限元结果对比L/Rh/R0.0100.02052.3604238.4101 127.9639.094 1177.526801.10826.660 9121.128555.6490.51.051.874 1243.5991 169.3038.930 7179.260829.38226.609 4124.030577.426L/R2.00.928 82.176 93.665 30.417 90.976 93.529 40.193 32.396 53.9193kN5.056大连交通大学学报第44卷500040003 000200010000+0.0图2临界载荷随载荷比例
18、变化曲线图3给出了不同载荷比例的临界屈曲模态,尺寸参数L/R=2,h/R=0.01,比值为0 和无穷,分别对应纯轴压和纯扭矩。可以看出一旦施加了扭矩,即使载荷比例很小也是以扭转屈曲的模态作为主导,当载荷比例非常小时,会类似于轴压屈曲的模态沿轴向出现多个褶皱,并且褶皱受扭矩的影响呈交错分布。当载荷比例大于某个值(0.05)时,屈曲模态随着载荷比例的增大基本不发生变化,而是与纯扭转下的模态非常相近。T/F-0T/F=0.01T/F=0.1T/F=0.2图3不同载荷比例下的屈曲模态接下来分析扭矩/轴压对于临界轴压/扭矩的影响。其中由于厚径比对临界载荷的影响非常大,所施加的载荷以及临界载荷都进行无量纲
19、处理,同时除以Fu=2Eh/3(1-)来消除厚径比的影响。图4和图5 中分别给出了不同厚径比和长径比下临界轴压随给定扭矩的变化曲线,可以发现临界轴压随给定扭矩的增大而减小,并且厚径比越小、长径比越大,临界轴压随扭矩的变化就越快。图6 和图7 中分别给出了不同厚径比和长径比下临界扭矩随给定轴压的变化曲线,可以看出临界扭矩也随给定轴压的增大而减小,而与图4和图5 中的现象相反的是,厚径比越小、长径比越大,临界扭矩随给定轴压的变化就越慢。1.2L/R=1,h/R=0.011.0L/R-1,h/R=0.02L/R-2,h/R=0.01-L/R-2,h/R=0.020.20.4T/FT/F-0.02T/
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