“数”“形”和谐统一%2C问题巧妙破解--以2021年数学新高考Ⅱ卷第15题为例.pdf
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1、“数”“形”和谐统一,问题巧妙破解 以 年数学新高考卷第 题为例甘肃省武山县第一高级中学田娟平面向量具有独特的“数”与“形”的“两面性”,既可以从“数”的因素加以抽象或运算,又可以从“形”的思维加以设置或切入,一直是高考数学的常见题型之一,常考常新,创新新颖,变化多端实际破解此类问题时,要全 面 提 高 用“数”、解“数”思 维,拓 展 识“形(图)”、用“形(图)”能力,充分强化与实现代数运算、直观想象等核心素养在平面向量及其他相关问题中的巧妙应用真题呈现高考真题(年数学新高考卷第 题)已知向量abc,|a|,|b|c|,则abbcca真题剖析该题条件简洁明了,以平面向量为问题背景,已知三个
2、平面向量的模,以及三者之和为零向量,进而确定三个向量两两之间的数量积之和试题中平面向量b与c之间具有对称性,二者可以轮换处理,与向量a三者之间的和为零向量,为问题中三个向量两两之间的数量积之和的求解指明了方向具体破解时,可以直接利用平面向量的代数运算,结合平面向量的线性关系式的平方处理,或整体处理,或同级别局部处理,或差级别局部处理;结合平面向量的几何直观性,结合平面向量的投影加以数形结合处理;结合平面直角坐标系的建立,利用条件确定对应向量的坐标,利用数量积的坐标公式处理等不同思维视角,破解方法不同,都可以达到巧妙转化,正确破解的目的真题破解思维视角一:代数思维方法:整体思维解析:由abc,两
3、边平 方 可 得(abc)展开得|a|b|c|(abbcca),将条件代入,可得(abbcca)解得abbcca故填答案:点评:将所求的式子看作一个整体,结合条件中三个向量之和为零向量加以两边平方处理,去括号展开并利用向量的模加以代入,整理即可求解对应的结论整体思维处理,高观点切入,巧妙简捷方法:局部思维解析:由abc,可得abc两边平方,可得(ab)c展开得|a|b|ab|c|,条件代入可得ab解得ab同理可得ac,bc所以abbcca故填答案:点评:将条件中三个向量之和为零向量加以移项处理,将其中两个向量之和作为一个局部看待,两边进行平方处理,去括号展开并利用向量的模加以代入,求得其中两个
4、向量数量积的值,同理求解另外两个相应向量数量积的值,相加即可求解对应的结论局部思维处理,逐一求解数量积,局部分析,逐个击破方法:局部加强思维解析:由abc,可得abc,两边平方,可得(ab)c展开得|a|b|ab|c|条件代入可得ab,解得ab又由ab c,可得(ab)c cc|c|,即acbc所以abbcca 年 月上半月 新颖试题命题考试 基金项目:本文系甘肃省天水市教育科学“十三五”规划 年度中小学教学研究一般课题“高中数学 问题互动 教学”(课题编号:T S()GH )的研究成果故填答案:点评:结合局部思维确定其中两个向量数量积的值,再利用移项后的结果两边同时与第三个向量的数量积运算,
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