RN中一类非局部问题基态解的存在性.pdf
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1、文章编号:1007 6735(2023)03 0253 07DOI:10.13255/ki.jusst.20211117004RN中一类非局部问题基态解的存在性董安祺,魏公明(上海理工大学理学院,上海200093)RN(PS)c(PS)c摘要:利用变分方法研究了一类上带有非局部项的分数阶椭圆型偏微分方程基态解的存在性。首先证明了对应泛函在 Nehari 流形上强制且下有界,因而得到有界极小化序列的存在性,其次应用 Ekeland 变分原理证明该序列是序列,并且结合假设条件证明泛函满足条件,最终得到该类方程基态解的存在性。关键词:Kirchhoff 方程;分数阶算子;基态解中图分类号:O175.
2、29文献标志码:ARNExistence of ground state solutions for a class ofnonlocal problem in DONG Anqi,WEI Gongming(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)(PS)c(PS)cAbstract:Theexistenceofgroundstatesolutionsforaclassoffractionalellipticpartialdifferentialequa
3、tionswithnonlocaltermsbyvariationalmethodswasinvestigated.Firstly,itwasshownthatthefunctionalwascoerciveandboundedfrombelowNeharimanifold,andthusthereexistedasequenceofboundedminiaturization.Secondly,itwasprovedthatthesequencewasasequencebyEkelandsprinciple.Inaddition,thefunctionalwasprovedtosatisfy
4、theconditionincombinationwiththeassumptions.Finally,theexistenceofthebasestatesolutionofthisclassofproblemswasobtained.Keywords:Kirchhoff equation;fractional operator;ground state solution1 问题的提出考虑如下非局部问题基态解的存在性:(axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)()su+V(x)u=K(x)|u|p2u,x RNu Hs(RN)(1)a 0,0 s 1,2s N,V(x)=1
5、+f(x),2 p 0式中,且 充分小。()su=2 lim0+wRNBr(x)u(x)u(y)|xy|N+2sdy,x RNu C0(RN),Br(x):=y RN:|xy|0,2 p 0,0基态解的存在性和集中性,其中,且充分小。近几年,分数阶 Kirchhoff 类型方程M(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)()su+V(x)u=f(x,u),xRNM,V,f也被广泛研究,如文献 15-16。其中,满足一些合适的假设。例如,文献 17 讨论了非线性分数阶 Kirchhoff方程(a+brR3?()s2u?2dx)()su+V(x)u=|u|p2u,x R3u Hs(
6、R3)s(34,1);a,b,V(x)式中:为正常数;为非负连续函数,证明了正解的存在性和渐近性。文献 18 考虑了如下非线性分数阶 Kirchhoff方程:(2sa+4s3bwR3?()s2u?2dx)()su+V(x)u=f(u),x R3 0,s(14,1),a,bV(x)0f(u)(,0)f(t)t3(0,)式中,为正常数,并且,在上为 0,在递增,利用Ljusternik-Schnirelmann 理论证明了正解的存在性。文献 19 讨论了如下非线性分数阶 Kirchhoff方程:(a+brR3?()s2u?2dx)()su+V(x)u=f(x)|u|p2u,xR3u Hs(R3),
7、a,b 0,s 34,1),2 p 0,V(x)0式中,是非负的连续函数,且存在有非 0 的有限测度,并且,应用变分法证明了正解的存在性。RNf(x)K(x)受文献 14,20 启发,本文在中研究方程(1)基态解的存在性,其中函数和满足以下假设:a.f(x)C(RN,R),f(x)0;b.M00,s.t.measxRN:f(x)M00|x|K(x)0,且 当时,。如上假设最开始被 Bartsch 等14用于研究非线性 Schrdinger 方程的多重正解。令H:=u Hs(RN):wRNf(x)u2dx +并且赋予范数u2=xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)
8、u2dx,V(x)=1+f(x)H Lq(RN)2 q 2sq 2,2s显然,由假设 a 和 b,以及 Poincare 不等式得到嵌入对于是连续的。这保证了如下定义,对,有Sq=infuHxR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)u2dx:wRNK(x)|u|qdx=1(4)H通过假设 a 和 b,以及上面的嵌入结果,可以在上定义如下泛函:254上海理工大学学报2023年第45卷I(u)=a2xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+12wRNV(x)u2dx4(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)21pwRNK(x)|u|pdx
9、I C1(H,R)u Hv H并且。众所周知,I 临界点和方程(1)弱解之间一一对应。如果,使得对,有(axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)xR2N(u(x)u(y)(v(x)v(y)|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)uvdxwRNK(x)|u|p2uvdx=0u则称 是方程(1)的弱解。本文的主要结果如下:f(x)a,bK(x)c2 p 2sHs(RN)u定定理理 1假设满足假设,且满足假设,则方程(1)在中至少有一个非负的基态解。2 符号和预备知识n CCiCLq(RN)1 quqq=wRN|u|qdxq=u=essupxRN|u(x)|H:=uHs(RN):w
10、RNf(x)u2dx 0n on(1)0本 文 中,除 非 特 别 说 明,所 有 极 限 都 是。此外,还应用下列符号:,和为正常数;表示标准的 Lebesgue 空间,范数定义为当时,时,;定义,其 范 数 定 义 为,其 中,;记;表示 Hilbert 空间的对偶空间;表示在球心 处半径的开球;当时,;和分别表示强收敛和弱收敛。为了求解方程(1)的基态解,定义 Nehari 流形M=u H0:G(u)=0其中,G(u):=I(u),u=axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)u2dx(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2wRNK(x)
11、|u|pdx令c=infuMI(u)(5)u M,0u 引理 1对,使得且G(u),u 。u M证明对,由式(4)中 Sq的定义,当p=q 时0=I(u),u=G(u)=axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)u2dx(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2wRNK(x)|u|pdx mina,1u2u4|u|ppmina,1u2u4Sp2pup2 p 0u 因为,所以存在某个,使得。接下来,分两种情况讨论。2 p 4u MI(u),u=0当时,由和有G(u),u=2axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+2wRNV(x)u
12、2dx4(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2 pwRNK(x)|u|pdx=(2 p)axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+(2p)wRNV(x)u2dx(4 p)(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2(2p)axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+(2 p)wRNV(x)u2dx(2 p)mina,1u2(2 p)mina,12 04 p 2su M当,对有G(u),u=2axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+2wRNV(x)u2dx4(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxd
13、y)2 pwRNK(x)|u|pdx=2axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy2wRNV(x)u2dx(p4)wRNK(x)|u|pdx 2axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy2wRNV(x)u2dx 2mina,1u22mina,12 02 p 2sG(u),u ,u M综上可得,使得当时,。2 p 44 p 2s从引理 1 的证明过程可以看出,对的论证稍加修改,对也是成立的。因此,为了简单起见,只讨论前面一种情形,对后面一第3期RN董安祺,等:中一类非局部问题基态解的存在性255种的情形也适用。引理 2泛函 I 在 M 上是强制的并且下有界。2 0u
14、(121p)mina,12I(u)I(u)所以,当时,得到。此外,由引理 1 可知,对,使得,那么可以作为在 M 上的下界,所以在 M 下有界。u Mu 0gu:Bu(0)R+w H,w Bu(0)gu(0)=1,gu(w)(uw)M引理 3对任意给定的,存在和连续函数,对,使得,并且gu(0),=2axR2N(u(x)u(y)(x)(y)|xy|N+2sdxdy+2wRNV(x)udx pwRNK(x)|u|p2udxQ4xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdyxR2N(u(x)u(y)(x)(y)|xy|N+2sdxdyQ其中,Q=axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+
15、2sdxdy+wRNV(x)u2dx3(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2(p1)wRNK(x)|u|pdxu MF:R+H R证明证明令,并且定义如下:F(t,w)=atxR2N|(uw)(x)(uw)(y)|2|xy|N+2sdxdy+twRNV(x)|uw|2dxt3(xR2N|(uw)(x)(uw)(y)|2|xy|N+2sdxdy)2tp1wRNK(x)|uw|pdxu MF(1,0)=02p4因为,有。通过引理1,当时,有Ft(1,0)=axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+wRNV(x)u2dx3(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|
16、N+2sdxdy)2(p1)wRNK(x)|u|pdx=(2p)axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+(2p)wRNV(x)u2dx(4 p)(xR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy)2(2p)axR2N|u(x)u(y)|2|xy|N+2sdxdy+(2p)wRNV(x)u2dx(2 p)mina,1u2(2 p)mina,120w H,w 0,gu(0)=1w Hw uF(gu(w),w)=0对 F 在点处用隐函数定理,可以推断出,满足对,方程有一个唯一的连续解。因为对,有,所以,0=agu(w)xR2N|(uw)(x)(uw)(y)|2|xy|N+2s
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