波利亚解题思想下GeoGebra辅助数学解题教学——以三角函数题为例.pdf
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1、数学之友2023年第10 期波利亚解题思想下 GeoGebra辅助数学解题教学CAI专题以三角函数题为例宁绍鹏,罗李平(衡阳师范学院数学与统计学院,湖南衡阳,42 10 0 2)摘要:学生能在解题过程中,获得数学基本知识、基本技能、基本活动经验以及基本思想,并提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.本文聚焦数学核心素养,尝试在波利亚“怎样解题表”的指引下,借助GeoGebra解决一道三角函数试题,以期为数学教师优化解题教学以及将GeoGebra融入高中数学课堂提供实践参考.关键词:解题教学;GeoGebra;波利亚解题思想;数学核心素养解题教学是数学课堂重要的组成部分,同时数学问题可
2、为学生巩固、深化数学内容提供思维的材料.在解题教学中要聚焦数学核心素养,引导学生积极联想已学数学基础知识,掌握基本技能,积累数学基本活动经验,体会数学基本思想.只有具备了“四基”,数学核心素养才能得以发展 .学生数学核心素养的形成并不能一而就,需要在数学知识学习与运用过程中逐步养成.高中数学题目难度大,复杂度高,难于理解,且解答步骤较长.教师选择典型性数学问题进行讲解,能够减轻学生的学习负担,有利于学生举一反三地学习数学知识,避免陷人“题海战术”的困局。谈到解题教学,绕不开的便是数学教育家波利亚.波利亚将其解题思想提炼为“怎样解题表”,为解题提供了具体的思路.该表不仅包含数学解题的一般规律,而
3、且还蕴藏着数学学习中元认知的“味道”把数学解题的过程描述成四个阶段:理解题目、拟定方案、执行方案与回顾,并且在每个阶段设置了一连串的启发性问题以引导学生如何思考 2 教师在教学中要充分考虑高中生的理解接受能力,借助直观的方式帮助学生理解数学知识,感悟其中的逻辑关系.如今以板书为主要呈现方式的讲授方式在教学受到了一定的限制,但信息技术能帮助教学突破限制.普通高中数学课程标准(2 0 17 年版2020年修订)中也提到“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合,实现传统教学手段难以达到的效果.例如,利用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程”1 在一线教师接触的众多数学教育软件中,GeoGebra
4、脱颖而出.GeoGebra作为一款动态数学软件,适用学习阶段包括小学、初中、高中乃至大学,功能上也覆盖了函数、几何、代数、统计与概率且做到了联动.2 0 19 年人教A版高中数学教材也将其作为主要的信息技术工具进行演示,也推荐学生和教师使用它进行探索学习.由于GeoGebra具有适用范围广、功能强大、多平台免费使用等显著优势,数学教师们也开始积极主动将其融人到高中数学教学课堂 31问题呈现问题已知函数f(x)=cos(w x+=Tw0)在3TTT2C三角函数一直是高中数学的重要知识,内容安排在人教A版2 0 19 必修第一册第五章,知识难度不大,但是与其图象相关的问题非常费解,并且学生的直观想
5、象能力还不够,在解决有关三角函数图象问题时常常不知所措.上单调递减,则实数的取值范围是4213,32113,31521D.一一,63基金项目:衡阳市教育科学“十四五”规划课题(项目编号:XDJ2021104);湖南省研究生科研创新项目(项目编号:CX20221283).2023.10_79数学之友2023年第10 期2教学过程师:这个问题让人摸不着头脑,可以尝试利用波利亚“怎样解题表”来解决问题.“怎样解题表”的四个步骤依次为理解题意、拟定方案、执行方案与回顾.实际上这四步也是四条指示语,引导我们如何解题.2.1理解题意有效地审题能够快速找出问题的切入点,因此解决问题第一步便是要求认真挖掘题目
6、中的条件.通过反复阅读题目,抓住问题中的关键字眼,将问题用数学符号语言表示出来,更能观察到条件某些等式的特征,才能建立起恰当的联想,发现解题的思路,使用数学方法与思想,锻炼学生的数学能力.也只有对问题有了透彻的认识,才能开始下一步拟定计划.需要注意的关键问题有:这是什么类型的题目?已知条件、结论是什么?隐藏信息有哪些?需不需要作图?师:这个问题的已知是什么?条件要求是什么?生:已知函数的解析式f()=cos30),条件是参数为负数和该函数图象在区间T上单调递减。(T)师:需要画图来理解题意吗?学生:需要.师:看来需要用到数形结合思想!2.2拟定方案拟定方案需要学生利用转化与化归思想,能够将问题
7、简化,即将复杂的问题转化为一个个可以解决的小问题,这是能够能否顺利解题的关键所在.在拟写方案时要考虑问题的条件与结论两方面,灵活结合分析法与综合法,使得问题的条件与结论有效链接.需要注意的关键问题:见过类似的问题吗?涉及什么数学知识点?涉及什么数学思想方法?充分利用条件了吗?师:联想一下有没有做过类似的问题?与已学的知识有什么什么联系?生:从函数解析式来看,与已学的函数y=Asin(x+)形式上相似,但是函数类别不一样.师:能不能将函数转化成形如y=Asin(w x+)的函数呢?注意解析中前的系数要为正数,同学们联想一下已学的知识来解决这个问题.T生;可以通过诱导公式cosx=sin2转变成f
8、(x)=sin(-wx+TT6师:这类型的函数图象我们学习过,同学们说说通过怎样的图形变换能从正弦函数y=sinx的图象得到f()=sin(-wx+-6生:先将正弦函数y=sinx向左平移晋个单位,得到y=sinTx+,再接着把曲线上的各点横坐标61变为原来的倍便可得到函数f()=sin-的图象6师:由于不知道的准确值是多少,只能画出大致图象,但知道函数f(x)=s i n(-w x+T的图象走6TT势与函数y=sinwx+-教师利用GeoGebra,建立的滑动条,并在代数区输人函数的解析式,即可生成函数图象,让学生观察回顾,如图1.5CQ=EV.(-2)+)教:由于条件是要求该函数在T(2T
9、减,那应该着重观察其在(0,+)上的图象.生:函数在轴右侧的图象先单调递增再单调递减,接着如此往复.教师:也就是说,函数在轴右侧的图象先单调递增遇到第一个最高点,再单调递减遇到第一个最低点,接着如此往复.教师利用GeoGebra展示函数的图象,并标上最值点,如图2.,将其TT这个函数啊?6-x+相同.6图1上单调递80_数学之友数学之友-201.(-2)*+2)极值点(e3.852,6.219)A=(-2.61,1)B(-1.047,-1)C(0.524,1)D (2.094,1)E=(3.65.1)F(5.236,-1)2023年第10 期DC&=ENW2Q23B12)=(-*+).*(-2
10、*2)极值点(g2.845,4.721)A=(-2.618.1)B=(-1.047,-1)C(0.524,1)D(2.094,-1)25eq2:xE (3.65 1)入EV8*2155C&=图2师:函数的大致走势是清楚了,可是当取何T值时,函数才会在2,T T上单调递减呢?教师在GeoGebra中的代数区输人x=TT2T,并右键点击生成的直线,在设置中修改“颜色”为红色,“样式”为虚线,拉动滑动条使函数的周期特别小,如图3.5CQEVH=(0.873,1)1(1.527,1)J(2.182.-1)K(2.836,1)(141-1)M (4.145.1)N=(4.8,1)0 (5.454,1)P
11、(6.109-1)eql:x=442:E=(-1.091,1)(-0.436,-1)图4EV41.1.(-1.1)*+)x=极信点(2 8 45,4.7 2 1)A(-1904,-1)1:xn2x=B(0.952.1)C=(3.008-1)R入848=-0.6-s(-*+)(-0.6)*+)-15板值点(s,2.845,4.721)-2-A (1.745 1)1eq2:x入81.1EV-0.6图51.303图3师:现在同学们观察,这样的函数符合题意吗?TT生:不符合,函数周期太小,在区间长度只有2的区间内,是不可能单调递减的.师:那该如何用数学符号表示呢?T生:一T2师:注意w0,所以-2 0
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