1、数学之友2023年第10 期波利亚解题思想下 GeoGebra辅助数学解题教学CAI专题以三角函数题为例宁绍鹏,罗李平(衡阳师范学院数学与统计学院,湖南衡阳,42 10 0 2)摘要:学生能在解题过程中,获得数学基本知识、基本技能、基本活动经验以及基本思想,并提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.本文聚焦数学核心素养,尝试在波利亚“怎样解题表”的指引下,借助GeoGebra解决一道三角函数试题,以期为数学教师优化解题教学以及将GeoGebra融入高中数学课堂提供实践参考.关键词:解题教学;GeoGebra;波利亚解题思想;数学核心素养解题教学是数学课堂重要的组成部分,同时数学问题可
2、为学生巩固、深化数学内容提供思维的材料.在解题教学中要聚焦数学核心素养,引导学生积极联想已学数学基础知识,掌握基本技能,积累数学基本活动经验,体会数学基本思想.只有具备了“四基”,数学核心素养才能得以发展 .学生数学核心素养的形成并不能一而就,需要在数学知识学习与运用过程中逐步养成.高中数学题目难度大,复杂度高,难于理解,且解答步骤较长.教师选择典型性数学问题进行讲解,能够减轻学生的学习负担,有利于学生举一反三地学习数学知识,避免陷人“题海战术”的困局。谈到解题教学,绕不开的便是数学教育家波利亚.波利亚将其解题思想提炼为“怎样解题表”,为解题提供了具体的思路.该表不仅包含数学解题的一般规律,而
3、且还蕴藏着数学学习中元认知的“味道”把数学解题的过程描述成四个阶段:理解题目、拟定方案、执行方案与回顾,并且在每个阶段设置了一连串的启发性问题以引导学生如何思考 2 教师在教学中要充分考虑高中生的理解接受能力,借助直观的方式帮助学生理解数学知识,感悟其中的逻辑关系.如今以板书为主要呈现方式的讲授方式在教学受到了一定的限制,但信息技术能帮助教学突破限制.普通高中数学课程标准(2 0 17 年版2020年修订)中也提到“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合,实现传统教学手段难以达到的效果.例如,利用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程”1 在一线教师接触的众多数学教育软件中,GeoGebra
4、脱颖而出.GeoGebra作为一款动态数学软件,适用学习阶段包括小学、初中、高中乃至大学,功能上也覆盖了函数、几何、代数、统计与概率且做到了联动.2 0 19 年人教A版高中数学教材也将其作为主要的信息技术工具进行演示,也推荐学生和教师使用它进行探索学习.由于GeoGebra具有适用范围广、功能强大、多平台免费使用等显著优势,数学教师们也开始积极主动将其融人到高中数学教学课堂 31问题呈现问题已知函数f(x)=cos(w x+=Tw0)在3TTT2C三角函数一直是高中数学的重要知识,内容安排在人教A版2 0 19 必修第一册第五章,知识难度不大,但是与其图象相关的问题非常费解,并且学生的直观想
5、象能力还不够,在解决有关三角函数图象问题时常常不知所措.上单调递减,则实数的取值范围是4213,32113,31521D.一一,63基金项目:衡阳市教育科学“十四五”规划课题(项目编号:XDJ2021104);湖南省研究生科研创新项目(项目编号:CX20221283).2023.10_79数学之友2023年第10 期2教学过程师:这个问题让人摸不着头脑,可以尝试利用波利亚“怎样解题表”来解决问题.“怎样解题表”的四个步骤依次为理解题意、拟定方案、执行方案与回顾.实际上这四步也是四条指示语,引导我们如何解题.2.1理解题意有效地审题能够快速找出问题的切入点,因此解决问题第一步便是要求认真挖掘题目
6、中的条件.通过反复阅读题目,抓住问题中的关键字眼,将问题用数学符号语言表示出来,更能观察到条件某些等式的特征,才能建立起恰当的联想,发现解题的思路,使用数学方法与思想,锻炼学生的数学能力.也只有对问题有了透彻的认识,才能开始下一步拟定计划.需要注意的关键问题有:这是什么类型的题目?已知条件、结论是什么?隐藏信息有哪些?需不需要作图?师:这个问题的已知是什么?条件要求是什么?生:已知函数的解析式f()=cos30),条件是参数为负数和该函数图象在区间T上单调递减。(T)师:需要画图来理解题意吗?学生:需要.师:看来需要用到数形结合思想!2.2拟定方案拟定方案需要学生利用转化与化归思想,能够将问题
7、简化,即将复杂的问题转化为一个个可以解决的小问题,这是能够能否顺利解题的关键所在.在拟写方案时要考虑问题的条件与结论两方面,灵活结合分析法与综合法,使得问题的条件与结论有效链接.需要注意的关键问题:见过类似的问题吗?涉及什么数学知识点?涉及什么数学思想方法?充分利用条件了吗?师:联想一下有没有做过类似的问题?与已学的知识有什么什么联系?生:从函数解析式来看,与已学的函数y=Asin(x+)形式上相似,但是函数类别不一样.师:能不能将函数转化成形如y=Asin(w x+)的函数呢?注意解析中前的系数要为正数,同学们联想一下已学的知识来解决这个问题.T生;可以通过诱导公式cosx=sin2转变成f
8、(x)=sin(-wx+TT6师:这类型的函数图象我们学习过,同学们说说通过怎样的图形变换能从正弦函数y=sinx的图象得到f()=sin(-wx+-6生:先将正弦函数y=sinx向左平移晋个单位,得到y=sinTx+,再接着把曲线上的各点横坐标61变为原来的倍便可得到函数f()=sin-的图象6师:由于不知道的准确值是多少,只能画出大致图象,但知道函数f(x)=s i n(-w x+T的图象走6TT势与函数y=sinwx+-教师利用GeoGebra,建立的滑动条,并在代数区输人函数的解析式,即可生成函数图象,让学生观察回顾,如图1.5CQ=EV.(-2)+)教:由于条件是要求该函数在T(2T
9、减,那应该着重观察其在(0,+)上的图象.生:函数在轴右侧的图象先单调递增再单调递减,接着如此往复.教师:也就是说,函数在轴右侧的图象先单调递增遇到第一个最高点,再单调递减遇到第一个最低点,接着如此往复.教师利用GeoGebra展示函数的图象,并标上最值点,如图2.,将其TT这个函数啊?6-x+相同.6图1上单调递80_数学之友数学之友-201.(-2)*+2)极值点(e3.852,6.219)A=(-2.61,1)B(-1.047,-1)C(0.524,1)D (2.094,1)E=(3.65.1)F(5.236,-1)2023年第10 期DC&=ENW2Q23B12)=(-*+).*(-2
10、*2)极值点(g2.845,4.721)A=(-2.618.1)B=(-1.047,-1)C(0.524,1)D(2.094,-1)25eq2:xE (3.65 1)入EV8*2155C&=图2师:函数的大致走势是清楚了,可是当取何T值时,函数才会在2,T T上单调递减呢?教师在GeoGebra中的代数区输人x=TT2T,并右键点击生成的直线,在设置中修改“颜色”为红色,“样式”为虚线,拉动滑动条使函数的周期特别小,如图3.5CQEVH=(0.873,1)1(1.527,1)J(2.182.-1)K(2.836,1)(141-1)M (4.145.1)N=(4.8,1)0 (5.454,1)P
11、(6.109-1)eql:x=442:E=(-1.091,1)(-0.436,-1)图4EV41.1.(-1.1)*+)x=极信点(2 8 45,4.7 2 1)A(-1904,-1)1:xn2x=B(0.952.1)C=(3.008-1)R入848=-0.6-s(-*+)(-0.6)*+)-15板值点(s,2.845,4.721)-2-A (1.745 1)1eq2:x入81.1EV-0.6图51.303图3师:现在同学们观察,这样的函数符合题意吗?TT生:不符合,函数周期太小,在区间长度只有2的区间内,是不可能单调递减的.师:那该如何用数学符号表示呢?T生:一T2师:注意w0,所以-2 0
12、.教师修改的范围,并且缓慢拉动滑动条,让学生们观察图象,哪些情况下是不满足题目要求,那些情况满足题目要求,并说明为什么,如图4、图5、图6.生:如果此时轴右侧第一个最高点在T区间内,那么就不符合题意;轴右侧第一个,T最低点在TTTT区间内,也不符合题意.因此本题的-45图6重点是轴右侧第一个最高点的横坐标要小于T2,同时轴右侧第一个最低点的横坐标要大于.T师:但是同学们要思考另外一个问题,为什么这个单调递减区间不会是在轴右侧第二个最高点到第二个最低点呢?结合函数图象思考一下,并用数学符号表示证明。生.师:要求第二个最高点在x=2要满足T 0,w 0)的形式;第三,再画出函数图象在直角坐标系大致
13、走势;第四,仔细分析什么情况下的函数图象才会符合题意;第五,将其用数学符号表示出来,构建不等式或等式,再执行计算;第六,验证符号表达是否正确,计算步骤是否都有依据,以及结果正确性.师:虽然是得到了问题的答案,可学习还未停止.确定函数图象只有这一个方法吗?生:应该不止。师:形如y=Acos(w+)(A 0,w 0)的函数,它的图象可以由y=cos的图象变换得到吗?可类比学习从正弦函数y=sinx图象出发,通过图象变换得到y=Asin(w x+)图象的办法.生:可以,通过函数图象平移和伸缩变换得到.师:那如何从y=cosx的图象出发得到y=cos(+)的图象呢?师生共同类比得到:如果F(,y)是函
14、数y=cosx(0)或向右(0)的图象呢?生:如果F(x,y)是函数y=cos(+)图象上的一点,那么Q(便是y=cos(w x+)(0)上的点,这说明把y=cos(x+)上所有点的横坐标变为原TTT4与来的一倍,纵坐标保持不变便能得到y=cos(w x+)3024213,3 130(0)的图象.师:下一步该怎么变换得到y=Acos(w x+)(A 数学之友0,00)呢?如果F(x,y)是函数y=cos(w+)图象上的一点,那么Q(x,A y)便是y=Acos(w x+)上的点,这说明把y=cos(w x+p)上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标保持不变,便能得到y=Acos(w x+)的图
15、象.师;说说如何通过y=cos x的图象出发得到y=TT2cos2x3生:从余弦函数y=cosx图象出发,图象向右平移个单位,再图象上各点的横坐标变为原来的一半,纵坐标变为原来的2 倍,便可得到.师:现在能从y=cos 的图象出发得到f(x)=COSwx+)(w 0)的图象会有什么关联呢?生:对称嘛师观察发现h()=g(-),也就是说图象可以由g()图象关于y轴对称得到.教师在代数区输人函数解析式F(x)=sinT缓慢拖动滑动条,让学生观察函数f(x)与F()6的图象.图象予以验证,如图7.EV1(-+)1-*(-2.1)+)e42*F一(ox)-(-21*+)E(3.491,1)wx+三21
16、15生:表达式里的为负数,而刚才学的都是正数.图7师:通过诱导公式可以变成y=Acos(w x+)(A 0,w0)的形式嘛?生:借助cos(-)=cos,函数解析式变为TTf()=cos3直角坐标系的大致走势相同,且y=cos象可由余弦函数y=cos图象向右平移-3得到.师:看来又学习了一个新的方法.师:那现在知道如何能得到h(x)=Asin(w x+)(A 0,0,w 0)或向右(-0,0).师:非常不错,已经能够触类旁通了!师:思索一下,h()=sin(w x+)(0 或 0,都能够画出函数图象在直T角坐标系中的大致走势了.遇到与之相关的问题,可(w0).它与 y=cos 在3以通过画出图
17、象来帮助解决问题了.TT3的图3GeoGebra操作过程移个单位第一步,建立滑动条(需要通过GeoGebra自带软键盘输入),并设置范围为-5,-0.1)(这样滑动条便取不到0);第二步,在代数区直接输入函数解析式f()=sin-wx+6第三步,利用导航栏中“点”的“极值点”工具标注最值点(正弦型函数的极值点与最值点重合,极大指点对应最大值点,极小值点对应最小值点);第四步,在代数区输入x=T与x=T(用以描述2区间TT改“颜色”为红色,“样式”为虚线;第五步,修改滑动条的范围为-2,-0.1);第六步,在代数区直接输人函数解析式g(x)=TTsinox+6,并右键点击生成的直线,在设置中修(
18、下转第8 6 页)2023.10_83数学之友培养一直以来就是数学教学难点.通过大数据信息技术与数学课程融合,能有效降低学生学习三维立体图形的难度.教师可以把三维立体图形通过多媒体技术直观地演示给学生观看,让抽象的空间几何知识具象化,降低了学习的难度,促进学生空间想象能力的发展.例如,在六年级上册第一单元“长方体和正方体”和六年级下册第二单元“圆柱和圆锥”这两章节内容教学中,教师就可以通过多媒体进行教学演示,通过信息化技术将长方形以及正方形的长宽高和圆柱、圆锥的底面积和高在多媒体中直观呈现出来,促进学生掌握三维立体图形的体积算法,提高数学思维,激发学生的想象能力 6 .3.4运用信息技术创新教
19、学理念教师应该正确看待大数据信息技术与小学数学学科融合,既不能过分依赖现代信息技术,也不能一成不变、故步自封、过分贬低.教师应该根据学生具体学情以及教学任务,科学地对信息化技术加以利用,制订具有针对性的教学方案,明确学科中的难点和重点,提高教学效率.教师在使用信息化技术教学的时候,一定要注意教学时间的安排,在学生注意力比较集中地时候进行科目的重点教学,使用大数据信息技术时间不能过长,一旦学生的注意力分散以后,便不能取得良好的教学效果.此外,教师应重视培养学生的创新思维、自主学习能力、数学思维逻辑能2023年第10 期力等 7 4结束语小学数学学科的学习对于学生的发展、成长具有重要的作用,数学本
20、身具备抽象性、逻辑性,对于学生的思维能力培养具有重要的作用.信息技术与学科相融合有助于提高思维能力,拓宽思维空间.信息化技术教学能强化学生对于数学知识的体验感,降低学生学习数学的难度,树立学习数学的自信心。参考文献:1 马慧.基于教学信息化背景小学数学微课教学方式应用分析 J】.文渊(小学版),2 0 19(8):6 7 4.【2 巫榕萍.剖析怎样利用信息化技术优化小学数学教学 J.教育信息化论坛,2 0 19,3(6):3 9-40.3 张爱平.信息化条件下小学数学教学策略研究 J.考试周刊,2 0 19(6 8):9 8.4 奇秀珍.浅析小学数学教学中的信息化教学 J.数码世界,2 0 1
21、9(9):13 4.【5于琳.信息化背景下小学数学兴趣培养及学习方法的建立 J.教育信息化论坛,2 0 19,3(7:2 2 2.【6 张雪松.利用信息技术实现学生数学学习的个性化 J.小学科学(教师版),2 0 19(9):40.【7 徐开忠.浅析通过信息网络提高小学数学教学效果的策略 J】.名师在线,2 0 19(3 5):9 2-9 3.(上接第8 3 页)考虑使用GeoGebra软件.纵观整个过程,GeoGebra的4结语操作没有很复杂,通过动态形象的方式,使学生清楚在解题教学中,教师可以大致按照波利亚“怎样地看到某些参数对函数图象的影响,帮助学生突破解题表”的四个步骤开展教学活动.教
22、师将“怎样解了想象的限制,进而帮助学生更高效地进行数学思题表”与数学问题连接起来,对培养学生的数学运维活动,这对培养学生直观想象有极大帮助.同时,算、逻辑推理有着重要作用.教师在依照“怎样解题GeoGebra融人数学解题教学弥补传统板书教学的不表”教学时,要注意设置合理的问题串,展现不同知足,优化了教学过程,活跃了课堂氛围.教师可以考虑识的逻辑关系.通过设置循序渐进的问题串,将复杂将GeoGebra融人高中数学解题教学中去,并与传统的过程分解成一个个小问题,有助于学生从已有知解题教学对比,取长补短,为课堂增效.识经验中找到与之关联的知识点,并运用到问题解答当中去,为学生拟定方案降低了难度“怎样
23、解题表”最后一步回顾是对解题活动的反思,是解题活动的元认知.回顾是更高级的思维活动,在这个阶段学生经历一题多变、一题多解的过程,不断完善数学知识技能与方法,积累数学活动经验,体会数学思想的指引作用,有助于培养学生的数学核心素养.在解题教学中,当遇到难以突破的障碍时,不妨参考文献:1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 M.北京:人民教育出版社,2 0 2 0.2李渊.基于波利亚解题表的解题研究一以一道导数极值偏移题为例 J.数学之友,2 0 2 2,3 6(2 4):6 4-6 6.3杨林,刘梅.简单易学的开源动态数学软件GeoGebraJ.中国信息技术教育,2 0 18(10):56-59.86_数学之友