强VW-Gorenstein复形_贾宏慧.pdf
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1、山东大学学报(理学版)年 月 第 卷 第 期:(),:山东大学科技期刊社版权所有:收稿日期:;网络出版时间:网络出版地址:基金项目:国家自然科学基金资助项目(,)第一作者简介:贾宏慧(),女,硕士研究生,研究方向为环的同调理论:通信作者简介:赵仁育(),男,教授,研究方向为环的同调理论:文章编号:():强 复形贾宏慧,赵仁育(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州)摘要:设,是两个 模类。引入了强 复形的概念,证明了如果,关于扩张和有限直和封闭,并且 ,(),那么复形 是强 的当且仅当 是正合复形,并且对任意的,()是 模。此外,我们得到了一些有意义的推论,这些结果统一和推广了一些已知的结论。
2、关键词:模;强 复形;-复形;复形中图分类号:文献标志码:引用格式:贾宏慧,赵仁育强 复形 山东大学学报(理学版),():,(,):,(),(),:;引言设,是两个模类。作为 投射、内射模,模,投射、内射模等的统一推广,和 在文献中引入并研究了 模。年,和 在文献中将 模的概念拓展到了复形范畴中,引入了 复形的概念,在,满足一些基本条件的情况下,证明了 复形就是 复形,即每个层次上的模都是 模的复形,该结论统一推广了关于 投射、内射复形、复形和 投射、内射复形的研究结果。众所周知,复形 是投射(内射)的当且仅当 是正合复形,并且 的每个循环都是投射(内射)模。和 在文献中研究了与投射复形相对应
3、的 复形,证明了 是 投射复形并且对任意的 投射复形,复形(,),(,)都是正合复形当且仅当 是正合复形并且 的每个循环都是 投射模。进一步,在文献中引入了强 复形的概念,其中 是一个模类,证明了如果 是自正交的,那么 是强 复形当且仅当 是 复形,并 山 东 大 学 学 报(理 学 版)第 卷且对任意的 复形,(,)和(,)都是正合复形。作为应用,他证明了 是强 内射(投射)复形当且仅当 是正合复形,并且 的每个循环都是 内射(投射)模,命题。受文献和研究的启发,本文引入并研究强 复形。预备知识本文中,是有单位元的结合环,除特别申明外,所涉及的模是左 模。左 模的复形记为(,)或。用 表示
4、模的复形范畴。设,的平移复形 定义为:()且()。复形 第 层次的循环,边缘和同调模分别记为(),()和()。对任意的模,用 表示复形:,其中 在第 和第 层次;用 表示复形:,其中 在第 层次。设,。复形(,)定义为(,)(,),(,)()()。用(,)表示 到 的所有复形态射构成的 群。对任意的,用(,)表示(,)的第 个右导出函子。特别地,(,)是由短正合列 的等价类关于 和构成的群。用(,)表示(,)中的层次可裂的短正合列构成的 子群。下面的结论建立了(,)与 复形(,)之间的联系。引理,引理 设 和 是两个 复形,则对任意的,(,)(,)(,),其中是链同伦。特别地,(,)正合当且仅
5、当对任意的 和任意的复形态射:,同伦于。设 是一个 模类,令 正合且,(),(),(),(),(),和()中的复形分别称为 复形,复形和 复形,。设 是一个 范畴,是 的两个全子范畴。用 表示对任意的 和,(,)。特别地,如果,那么称 是自正交的。设 是 中的一个正合序列,如果对任意的(),序列(,)(,)正合,那么称 是(,)(,)正合的。定义,定义设,是两个 模类,是一个 模,如果存在(,)正合并且(,)正合的正合序列:,其中,使得(),那么称 是 模。记 模的类为 ()。定义 ,定义设,是两个 模类,是一个复形,如果存在(,)正合并且 第 期贾宏慧,等:强 复形 (,)正合的正合序列:,
6、其中,使得(),那么称 是 复形。定义 设 是交换环,是一个 模,称 是半对偶模,如果()有有限生成投射分解;()(,);()(,)。设 是交换环,是一个半对偶 模,用 和 分别表示投射 模类和内射 模类。令,(,),称()中的模为 投射(内射)模。定义 相对于半对偶模 的 类()是由满足下列条件的所有 模 构成的类:()(,);()(,);()自然赋值同态:(,)是同构。对偶地,相对于半对偶模 的 类()是由满足下列条件的所有 模 构成的类:()(,);()(,(,);()自然赋值同态:(,)是同构。强 复形下文中,是两个任意取定的 模类。定义 设 是一个复形,如果存在(),)正合并且(,(
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