追根溯源 揭露本质——以“圆的方程的常见形式”的复习教学为例.pdf
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1、投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月(下旬)教学实践追根溯源 揭露本质以“圆的方程的常见形式”的复习教学为例林晓清福建省石狮市石光中学362700咱摘要暂 深度学习是当前数学教育领域的热门话题.随着新课改的不断深入袁究竟该如何追根溯源袁揭露知识的本质袁促使学生深度学习的真实发生呢钥研究者以野圆的方程的常见形式冶的复习教学为例袁分别从野深入挖掘袁探索知识本质冶野问题驱动袁发展数学思维冶野积极互动袁实现教学相长冶三方面谈一些感悟与思考.关键词深度学习曰圆曰本质作者简介院林晓清(1983),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学工作.新课标明确提出数学教学以发展学生的思维品质与核心素养为主
2、要目标.因此袁高中数学课堂应将野四基冶与野四能冶落到实处袁在课堂的每个环节都要想方设法揭露知识本质袁关注对学生数学思维能力的培养.在教学中袁笔者发现师生互动尧问题驱动尧数学文化的渗透等都是提高教学效率尧发展学生数学核心素养积极有效的措施.教学实录1.教学分析本节课为复习课袁复习的是野圆的方程的常见形式冶袁学生之前对圆的一般方程和标准方程的产生原理尧应用特点等有一定的了解袁且能用它们来解决一些程序性问题.本节课基于轨迹方程实施教学拓展袁以进一步巩固学生的知识基础袁发展学生反思尧类比与创新的能力.2.教学过程借助多媒体展示以下问题院若平面内有两点分别为A渊2袁0冤袁B渊4袁0冤.问题1 已知点C渊
3、1袁2冤袁则吟ABC的外接圆方程是什么钥师院思考问题1袁请大家说说求解思路.生1院已知点A袁B袁C都位于吟ABC的外接圆上袁假设x2+Dx+y2+Ey+F=0为该圆的方程袁将已知的三点坐标分别代入该方程袁解得D=原6袁E=原72袁F=8袁由此可得该圆的方程为2x2-12x+2y2-7y+16=0.师院这位同学应用的是最常规的方法袁整个过程思路清晰袁计算准确.大家还有其他办法吗钥生2院根据题设条件不难获得线段AB的中垂线为x=3袁由此设圆心的坐标为E渊3袁b冤袁半径为r袁且r跃0.根据圆上任意点到圆心的距离均为半径袁可知b2+1 姨=渊b原2冤2+4 姨袁计算得b=74袁r2=6516袁则吟AB
4、C外接圆的标准方程为渊x原3冤2+y原742=6516.生3院还可以借助圆心位于弦AC的中垂线y原1=12x原32上袁通过连列x=3获解.师院不错袁也就是说本题不仅可以用代数法确定待定圆方程中的各个参数获得圆的方程袁还可以用几何法确定半径与圆心来获得圆的方程.从大家的求解思路来看袁大部分同学对圆的方程有较深刻的认识袁接下来我们继续探究.问题2 以AB为直径的圆的方程是什么钥生4院以AB为直径的圆的圆心为线段AB的中点袁那么待求圆的圆心E为渊3袁0冤袁半径r为AE=1袁由此可确定待求圆的方程为渊x原3冤2+y2=1.生5院结合圆的几何性质袁即圆的26投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月(下
5、旬)教学实践直径所对的圆周角为仔2袁可知待求圆上的任意点P均满足AP窑BP=0.借助求轨迹方程的方法袁假设点P渊x袁y冤为待求圆上的任意一点袁将它代入向量数量积运算后化简袁可得x2原6x+y2+8=0.师院你的结论与之前那位同学的结论是一样的.请问袁 你将题目条件转换为野待求圆上的任意点P均满足AP窑BP=0冶袁为什么不将题目条件转换为野待求圆上的任意点P满足蚁APB=仔2冶或野待求圆上的任意点P均满足kAP窑kBP=原1冶呢钥生5院假设将题目条件转换为蚁APB=仔2袁则将待求圆上A袁B袁P三点共线的情况剔除了曰假设将题目条件转换为kAP窑kBP=原1袁 同样将待求圆上A袁B袁P三点共线的情况
6、剔除了.因此袁只有将题目条件转换为AP窑BP=0袁才能获得完整的圆.师院很好浴 正如波利亚所言院当你在执行解题方案时袁要注重对每一个步骤的检查袁要对解题的每个步骤有清晰明确的认识袁由此才能确定它是否正确.这位同学的解题思路非常清晰且全面袁显然已经做到了这一点袁值得赞扬.接下来我们一起探索以下两道变式题.变式题1院如果平面内的一个动点P满足AP窑BP=4袁则动点P的轨迹方程是怎样的钥生6院结合问题2可知AP窑BP=x2原6x+y2+8=4袁也就是渊x原3冤2+y2=5.师院很好袁直接通过向量数量积运算并化简袁可得动点P的轨迹为一个圆.现在我们再一起来看接下来的变式题.变式题2院假设平面内的动点P
7、满足蚁APB=仔3袁那么动点P的轨迹方程是什么钥生7院结合生5的求解思路袁根据题意可知此问需要A袁B袁P三点构成角袁因此所求的动点P的轨迹须将A袁B袁P三点共线的情况剔除掉.假设点P渊x袁y冤袁且y屹0袁结合向量数量积建立等式袁可得cos仔3=AP窑BPAPBP袁即渊x原4冤渊x原2冤+y2渊x原4冤2+y2姨渊x原2冤2+y2姨=12袁考虑到化简过程存在正负两种情况袁因此解题时需要分类讨论.师院不错袁考虑得比较周全袁计算也很准确袁值得赞扬.生8院之前我还在纠结袁当听完生7的求解思路后袁我豁然开朗.本题也可以用几何法去求解袁鉴于动点P在优弧AB上袁且不含点A与B袁因此需要分别讨论圆心位于x轴两
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