一法巧解2022年高考解析几何试题.pdf
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1、第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月数学教学研究63一法巧解2 0 2 2 年高考解析几何试题许如意(福建省晋江市紫峰中学3 6 2 2 11)摘要:本文以2 0 2 2 年新高考I卷、北京卷、浙江卷为例,进行了多题一解的深入探讨,总结“双斜率问题”的试题模型,形成一般的解题方法,并对提升解析几何试题解题能力阐释自己的见解。关键词:解析几何;多题一解;双斜率;试题模型总所周知,解析几何试题以“难”著称,是大部分学生无法逾越的“鸿沟”.有的学生受困于图形几何特征的翻译,有的学生受困于代数式的处理,有的学生受困于适当解法的块择,而受困于适当解法块择的学生往往只会一种解题思路:设线一联立曲线
2、与直线一消元得二次方程一韦达定理一题目条件转化.其实,解析几何试题往往有较多的解法,不同解法之间运算量的差异很大,有的是“可望而不可及”,有的是“廖若星辰”.著名数学家波利亚说:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾与反思”.解析几何在高考中占据了重要的地位,探究试题解法的多样性和一般性,有助于提升解题能力.本文以2 0 2 2 年新高考I卷、北京卷、浙江卷为例,阐释笔者对解析几何试题解法的研究与思考.1试题呈现(2022年新高考I卷2 2)已知点A(2,1)在双曲上,直线1交C于P,Q 两点,直线aa?-1AP,AQ的斜率之和为 0.(1)求 I 的斜率.(2)若tanPAQ
3、=2/2,求PAQ的面积.分析由直线AP,A Q 的斜率之和为0 可得yp-1+-1yp-11+Q-1=0,可将一看作是p-2Q-2韦达定理中的两根之和,对直线、椭圆方程进行变形,构造出关于兴二的一元二次方程,从而借助韦2达定理解题.收稿日期:2 0 2 3-0 3-0 7基金项目:福建省教育科学“十四五”规划2 0 2 1年度常规课题中学数学素养立意教学的测评导向推进策略研究(项目编号:FJJKZX21-576)。对于直线方程的设法,可借助直线的一般形式A+By+C=0,构造A(-2)+B(y1)=C-2A-B,即A-C-2A-B为计算方便可将直线1的方程设为m(-2)+n(y-1)=1.同
4、理可对椭圆方程也进行构造变形.解析(1)设直线1的方程为m(一2)+n(y一1)=1,22易得双曲线C的方程为2-y=1,可变形为(2)+22(y1)+1=2,整理得2(y1)(-2)4(-2)+4(y-1)=0,齐次化得2(y-1)-(-2)2-4(-2)m(-2)+n(y-1)+4(y-1)m(-2)+n(y-1)=0,整理得(2+2n)(2一2所以p一2Q-2B(一2)+一-C-2A-B(y-1)=1,)2+(4m 一4 n)(-(4m+1)=0,kAp+kA0=2+2m4n-4m=0,解得m=n,所以l的斜率为一1.(2)略.2模型总结64以上解法适用于涉及“斜率之和与斜率之积为定值”
5、的试题.比如:(2 0 17 年全国I卷文2 0)设AB为曲线C:y=一上两点,A与B的横坐标之和为4.4(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMIBM,求直线AB的方程.在本题第(2)小问中,M(2,1),由AMIBM可得k AM k BM=-1,yB-1A-1即A2B-2JA-1yB-1可将看作是韦达定理中的两根之A-2B-2积,对直线、抛物线方程进行变形,构造出关于y-1的一元二次方程,从而借助韦达定理解题.一2(2017年全国 1 理2 0 知辆周 C:+62=1(a0,b0),四点 P,(1,1),P,(0,1),P:(-1,33)中恰有
6、三个点在椭圆C上,P2(1)求 C 的方程;(2)设直线I不经过点P且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线P,B的斜率之和为一1.证明:1过定点.在本题第(2)小问中,由直线P,A与直线P,B的斜率之和为一1得yA-1+B-1AB可将JA-1B-1看作是韦达定理中的两根之AB和,对直线、椭圆方程进行变形,构造出关于兴二1的的一元二次方程,从而借助韦达定理解题.此外,2 0 12 年重庆理2 0,2 0 13 年陕西理2 0,2018年全国卷I理19,2 0 2 0 年新课标I卷理,2 0 2 0年山东卷理2 2 等试题也都可以利用以上解法解题,具体过程笔者不再赘述.综合以上各题,我们可以总结
7、出“若圆锥曲线上数学教学研究的定点A(p,q)与动点M(1,y),N(2,y2)满足斜率之和kMA+kNA与斜率之积kMAkNA为定值”模型的一个解题方法:构造直线方程m(一p)十n(y一q)=l.对圆锥曲线方程进行相应的变形.例如,将椭圆方程2(ab0)变形为+62b(-)+a(y-q)+q=a b,化简得6(p)+a(y-q)+2pb(-p)+2pa(y-q)=0.齐次化.例如,将上式进一步变形为-1,b(-p)+a(y-q)2+2pb(-p)+2pa(y-q)Xm(-p)+n(y-q)=0.化简得(1+2ng)a(-1一力)+2(pn6+qma)二%一力+(1+2mp)2=0.a将斜率之
8、和1-q.y2-q积=d中的两个斜率21-p2-py2-q看作中的二次方程的两根,由韦达定理得2-p到斜率之和、斜率之积,建立等量关系;转化题目相关条件进行解题.3模型拓展其实上述解法并不局限于“斜率之和与斜率之积为定值”的模型,还可拓展到“双斜率问题”当试一1,题涉及两个斜率的问题,都可将两个斜率看作二次方程的两根进一步解决问题,不一定要具备和积为定值.以下以2 0 2 2 北京卷第19题,2 0 2 2 年浙江卷第21题的为例展示具体解题过程.(2 0 2 2 年北京卷19)已知椭圆E:0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2/3.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(一2,0)作斜率为k的直
9、线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,A C 分别与轴交于点M,N,当IMNI=2时,求k的值.第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月y1-q2-q=d或斜率之2-p2622ab第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月解析(1)椭圆E的方程为4+y=1.(过程略)(2)设直线BC为m十n(y一1)=1.又因为点P(一2,1)在BC 上,所以m=,则直线BC为一212+(y-1)=1.精圆 E 的方程”4+=1可变形为+4(y-1)+1=4,整理得4(y-1)+8(y-1)=0,齐次化得4(y1)+8(y-1)2*+(y-1)-0,1整理得(4+8n)(y-1)-4(y-1)+=0
10、,即(4+8 n)(设直线AB,A C 的斜率为k1,k,所以1ki+k2=2n+12则/ki-k2l=/(ki+kz)-4kikz依题意得1aMNk2所以11IMNI=kk2ki-k2=4/-2n=2,kik21解得n所以直线BC 的斜率为一4.8评注本题已知条件中呈现出了上文解题模型中的“椭圆上定点A(O,1)与动点B,C”的特征,没有“直线AB,A C 的斜率和或积为定值”的特征,但是已知条件的IMNI=2可以用直线AB,A C 的斜率表示出来,因此同样可以借助上述解题模型进行解题.(2 0 2 2 年浙江卷2 1)如图,已知椭圆12数学教学研究1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点
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