一法巧解2022年高考解析几何试题.pdf

第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月数学教学研究63一法巧解2 0 2 2 年高考解析几何试题许如意（福建省晋江市紫峰中学3 6 2 2 11）摘要：本文以2 0 2 2 年新高考I卷、北京卷、浙江卷为例，进行了多题一解的深入探讨，总结“双斜率问题”的试题模型，形成一般的解题方法，并对提升解析几何试题解题能力阐释自己的见解。关键词：解析几何；多题一解；双斜率；试题模型总所周知，解析几何试题以“难”著称，是大部分学生无法逾越的“鸿沟”.有的学生受困于图形几何特征的翻译，有的学生受困于代数式的处理，有的学生受困于适当解法的块择，而受困于适当解法块择的学生往往只会一种解题思路：设线一联立曲线与直线一消元得二次方程一韦达定理一题目条件转化.其实，解析几何试题往往有较多的解法，不同解法之间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”，有的是“廖若星辰”.著名数学家波利亚说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思”.解析几何在高考中占据了重要的地位，探究试题解法的多样性和一般性，有助于提升解题能力.本文以2 0 2 2 年新高考I卷、北京卷、浙江卷为例,阐释笔者对解析几何试题解法的研究与思考.1试题呈现(2022年新高考I卷2 2)已知点A（2,1)在双曲上，直线1交C于P，Q 两点，直线aa?-1AP,AQ的斜率之和为 0.(1)求 I 的斜率.(2)若tanPAQ=2/2,求PAQ的面积.分析由直线AP，A Q 的斜率之和为0 可得yp-1+-1yp-11+Q-1=0，可将一看作是p-2Q-2韦达定理中的两根之和，对直线、椭圆方程进行变形，构造出关于兴二的一元二次方程，从而借助韦2达定理解题.收稿日期：2 0 2 3-0 3-0 7基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2 0 2 1年度常规课题中学数学素养立意教学的测评导向推进策略研究（项目编号：FJJKZX21-576)。对于直线方程的设法，可借助直线的一般形式A+By+C=0,构造A(-2)+B(y1)=C-2A-B,即A-C-2A-B为计算方便可将直线1的方程设为m(-2)+n(y-1)=1.同理可对椭圆方程也进行构造变形.解析（1)设直线1的方程为m(一2)+n(y一1)=1,22易得双曲线C的方程为2-y=1,可变形为(2)+22(y1)+1=2,整理得2(y1)(-2)4(-2)+4(y-1)=0,齐次化得2(y-1)-(-2)2-4(-2)m(-2)+n(y-1)+4(y-1)m(-2)+n(y-1)=0,整理得(2+2n)(2一2所以p一2Q-2B(一2)+一-C-2A-B(y-1)=1,)2+(4m 一4 n)(-(4m+1)=0,kAp+kA0=2+2m4n-4m=0，解得m=n,所以l的斜率为一1.(2)略.2模型总结64以上解法适用于涉及“斜率之和与斜率之积为定值”的试题.比如：（2 0 17 年全国I卷文2 0)设AB为曲线C：y=一上两点，A与B的横坐标之和为4.4(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行，且AMIBM,求直线AB的方程.在本题第（2)小问中，M（2,1），由AMIBM可得k AM k BM=-1,yB-1A-1即A2B-2JA-1yB-1可将看作是韦达定理中的两根之A-2B-2积，对直线、抛物线方程进行变形，构造出关于y-1的一元二次方程，从而借助韦达定理解题.一2(2017年全国 1 理2 0 知辆周 C:+62=1(a0,b0),四点 P,(1,1),P,(0,1),P:(-1,33)中恰有三个点在椭圆C上，P2(1)求 C 的方程;(2)设直线I不经过点P且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线P,B的斜率之和为一1.证明：1过定点.在本题第（2)小问中，由直线P,A与直线P,B的斜率之和为一1得yA-1+B-1AB可将JA-1B-1看作是韦达定理中的两根之AB和，对直线、椭圆方程进行变形，构造出关于兴二1的的一元二次方程，从而借助韦达定理解题.此外，2 0 12 年重庆理2 0，2 0 13 年陕西理2 0，2018年全国卷I理19，2 0 2 0 年新课标I卷理，2 0 2 0年山东卷理2 2 等试题也都可以利用以上解法解题，具体过程笔者不再赘述.综合以上各题，我们可以总结出“若圆锥曲线上数学教学研究的定点A(p,q)与动点M(1,y),N(2,y2)满足斜率之和kMA+kNA与斜率之积kMAkNA为定值”模型的一个解题方法：构造直线方程m(一p)十n(y一q)=l.对圆锥曲线方程进行相应的变形.例如，将椭圆方程2(ab0)变形为+62b(-)+a(y-q)+q=a b,化简得6(p)+a(y-q)+2pb(-p)+2pa(y-q)=0.齐次化.例如，将上式进一步变形为-1，b(-p)+a(y-q)2+2pb（-p)+2pa(y-q)Xm(-p)+n(y-q)=0.化简得(1+2ng)a(-1一力)+2(pn6+qma)二%一力+(1+2mp)2=0.a将斜率之和1-q.y2-q积=d中的两个斜率21-p2-py2-q看作中的二次方程的两根，由韦达定理得2-p到斜率之和、斜率之积，建立等量关系；转化题目相关条件进行解题.3模型拓展其实上述解法并不局限于“斜率之和与斜率之积为定值”的模型，还可拓展到“双斜率问题”当试一1，题涉及两个斜率的问题，都可将两个斜率看作二次方程的两根进一步解决问题，不一定要具备和积为定值.以下以2 0 2 2 北京卷第19题，2 0 2 2 年浙江卷第21题的为例展示具体解题过程.（2 0 2 2 年北京卷19）已知椭圆E：0)的一个顶点为A（0,1)，焦距为2/3.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P（一2,0)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB，A C 分别与轴交于点M,N，当IMNI=2时,求k的值.第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月y1-q2-q=d或斜率之2-p2622ab第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月解析(1)椭圆E的方程为4+y=1.（过程略）(2)设直线BC为m十n(y一1)=1.又因为点P(一2,1)在BC 上,所以m=，则直线BC为一212+(y-1)=1.精圆 E 的方程”4+=1可变形为+4(y-1)+1=4，整理得4(y-1)+8(y-1)=0,齐次化得4(y1)+8(y-1)2*+(y-1)-0,1整理得(4+8n)(y-1)-4(y-1)+=0,即（4+8 n)(设直线AB，A C 的斜率为k1，k，所以1ki+k2=2n+12则/ki-k2l=/(ki+kz)-4kikz依题意得1aMNk2所以11IMNI=kk2ki-k2=4/-2n=2,kik21解得n所以直线BC 的斜率为一4.8评注本题已知条件中呈现出了上文解题模型中的“椭圆上定点A（O,1)与动点B，C”的特征，没有“直线AB，A C 的斜率和或积为定值”的特征，但是已知条件的IMNI=2可以用直线AB，A C 的斜率表示出来，因此同样可以借助上述解题模型进行解题.（2 0 2 2 年浙江卷2 1）如图，已知椭圆12数学教学研究1.设A,B是椭圆上异于P（0,1)的两点，且点Q（0，1)在线段AB上，直线PA，P B分别交直线y=一21*+3 于 C,D 两点1(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2)求ICDI的最小值.12/11解析（1)最大值为(过程略）11(2)设直线AB为ma十n（y 一1)=1,又点Q（O)在线段AB上，所以n=一2,则直线AB为.2m-2(y-1)=1.椭圆十y2=1可变形为12+12(y-1)+1=12,整理得12(y-1)+24(y-1)=0,+1=0.齐次化得12(y-1)+24(y-1)m-2(y-1)=0,整理得14+8n一2 n12n+1T16536(-24m(设直线PA,PB的斜率为k1，k，所以2mki+k2=kik23则lki-k2l=/(ki+k,)-4kikz=12+3由得c2k1+1，同理y=ki+14D2k，+1所以ICDI2V5422k1+12k2+1ki-k24/54kik2+2(k,+k2)+14m+1=3/513m+2/令t=|3m+21,则-1=0.1364c一D4/4m+1366ICD/=/5831805当一t6/55.评注本题已知条件中呈现出了上文解题模型中的“椭圆上定点P（O，1）与动点A，B”的特征，没有“直线PA，P B的斜率和或积为定值”的特征，但是要求的ICD|可以用直线PA，P B的斜率表示出来，因此同样可以借助上述解题模型进行解题.4反思著名数学教育家波利亚认为解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾等四个阶段，并据此给出了颇具启发性的“怎样解题”表.波利亚把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用.学生对于解析几何试题通常都是望而生畏，没有勇气进行解题，导致大量的空白卷.如何提高学生解答解析几何试题的能力，笔者认为可以从以下几个方面入手4.1基本知识解析几何的基石是平面直角坐标系，借助平面直角坐标系将几何问题代数化，通过平面直角坐标系来描述几何图形的性质和关系，因此需要熟悉平面直角坐标系下几何元素的基本概念和性质，例如点、直线、距离、斜率、角、椭圆、双曲线、抛物线、平面图形的对称中心、三角形的重心、外心、垂心等等.此外，向量和解析几何密不可分，平面中的点、线、角、几何图形的关系等都可以用向量表示.例如，向量的模长可以表示线段的长度，向量的夹角可以表示直线的夹角等等.因此还需要掌握平面向量的基础知识，例如平面向量的基本运算、向量的模长、向量的夹角、向量的共线、垂直、平行等.4.2转化能力数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言三种形式.一般解析几何试题都会充分考查了学生对数学教学研究58t5，即m=或m524第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月36文字语言、符号语言、图形语言转化的能力.文字语25，741时，ICD|有最小值言包含了题目的逻辑关系，理清逻辑关系是解决问题的关键.在阅读文字语言时需要分析问题的前提条件、中间过程和结论，理清它们之间的逻辑关系，避免在解题过程中出现漏洞和错误.符号语言往往代表着具体的几何意义，需要深人理解符号和公式所表示的几何意义，从而更好地把握问题的本质和思路.图形语言是一个非常重要的辅助工具.借助图形语言可以帮助我们更好地理解问题，找到解题思路，同时也可以避免一些笔误和计算错误.在解析几何的解题过程中，文字语言、符号语言、图形语言转化的准确性非常重要，不同的问题需要采用不同的方法和思路，图形也要根据问题的不同进行调整.因此，在解题之前，应该认真审题，理解试题的背景、问题的要求和限制条件，画出准确的图形，以便更好地解决问题.4.3模型识别费里德曼在怎么学会解数学题中提出：“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型.”所以，识别试题背景模型相当重要.在解析几何中，很多问题是可以通过联想和迁移，转化到按一定的程序化方法来解决的.联想是指将已知的问题和方法与新问题进行比较，找到相似之处，从而引导思路.迁移是指将已知的方法和思路迁移到新问题中，寻找新的解决方法.例如，在遇到上文的“双斜率问题”时如果可以联想或迁移到总结的解题方法，则可以轻松入题.4.4总结反思在解析几何的解题过程中，应该多角度思考问题，不断尝试不同的方法和思路，从多个角度分析问题，以便找到最优的解法，培养灵活的思维能力.通过不断地练习和总结，发现自已薄弱的知识点或技能，记录试题背景、解题方法、技巧和思路，形成自己的解题经验。参考文献1王寅，李兆庆，陶闺秀.新旧课标下高考圆锥曲线定点定值问题探究一一以近5 年全国卷试题为例.数学教学研究，2 0 2 2，4 1（0 6）：6 0-6 4.2 李守明.另类代入解圆锥曲线中的两类问题 J.中学第4 2 卷第4 期2 0 2 3 年7 月数学教学，2 0 18(1)：4 5-4 8.3许如意，陈清华。关于数学教学有效使用信息技术的思数学教学研究67考J.数学通报，2 0 15，5 4（0 5）：3 5-3 6 十4 1.(上接第 17 页）（5)从知识范围上看，函数、几何与代数、概率与统计领域占比均大于2 0%，预备知识、数学建模活动与数学探究活动领域占比都低于10%.跨学科内容在知识范围的各领域分布不均衡。3.2建议教材是教学的重要依据，研读教材对教师而言尤为重要，教师对教材的熟悉程度不仅会对教学过程产生影响，更会直接决定教学效果的好坏.本文通过对苏教版必修教材中跨学科内容的分析，为教材编写和教师教学提出三点建议：（1)改善跨学科内容的比例在数学教材编写中要多涉猎学科来源中医药科学类、呈现位置中章前言等、呈现方式中图表形式等占比较少的跨学科知识，目的是使教材中的跨学科内容在结构上更合理。（2)提高跨学科内容的深度加强数学教师与其他学科教师在教材编写和教学设计过程中的沟通与交流，打破学科壁垒，促进学科之间的深度融合.此外，要多重视不同学科间思维方法的交叉应用.（3)拓宽跨学科内容的广度增加学科来源中一级学科门类，如人工智能、大数据技术等，目的是使教材中跨学科内容的范围更广.此外，在教材编写中需增加专栏的种类，如数学活动设计、举一反三、数学建模与探究等，既体现了跨学科内容的实践性，又增加了多样性.参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 2 0年修订版)S.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2张维忠，赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容 J.浙江师范大学学报（自然科学版），2 0 2 2，4 5(02):234240.3朱树金.中美高中数学教材跨学科内容比较研究 J.中学数学月刊，2 0 2 0（0 8）：4 7 一5 0.4 包智慧，杨新荣，初中数学教科书跨学科内容的变迁分析一一基于四套人教版教科书的纵向比较研究 J.中学数学杂志，2 0 2 1(10）：8 一12.5宋燕伶，彭刚.北师大版高中数学教材跨学科内容研究J .中学数学杂志，2 0 2 2（0 1：6 一10.6潘小勤，张维忠.高中数学教材中跨学科内容的呈现一以新人教A版高中数学必修教材为例 J.中学数学教学参考，2 0 2 0（13）：3 1-3 4.(上接第 2 3 页）要明确提出客观题也需要写出必要的解题步骤，否则只看客观题的结果是无法准确评价学生素养是否达成以及达成的水平。3结语新修订的课程方案要求“坚持素养导向”，课程建设以培养学生的核心素养为方向、为目标.作业是保证课程改革成功的关键领域，是促进核心素养发展的重要手段.作为一线的高中数学教师，应深入作业设计研究，把作业设计能力作为教师的基本功，在学习、实践、反思中设计出高质量的作业，让作业真正发挥其育人的功能.参考文献张永超.基于核心素养落实的作业设计及其价值辨析J.中学数学教学，2 0 2 2,1：4-8.2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17年版2 0 2 0 年修订)MI.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.3喻平.核心素养指向的数学作业设计 J.数学通报，2022,61(5):1-7,12.4 章建跃。为什么说“三维目标”已经“过时”.中小学数学（高中版），2 0 2 1,Z1：封底，12 4.5刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题 J.数学通报，2 0 17，5 6（5）：1-5.