移位U型标准杨表计数公式.pdf
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1、南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年南通大学学报渊自然科学版冤允燥怎则灶葬造 燥枣 晕葬灶贼燥灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 渊晕葬贼怎则葬造 杂糟蚤藻灶糟藻 Edition冤灾燥造援 22晕燥援 2Jun援 圆园23第 22 卷 第 2 期圆园23 年 6 月收稿日期院 2022-11-27接受日期院 2023-02-27第一作者简介院 付尧渊1998要 冤袁 女袁 硕士研究生遥*通信联系人院 孙平渊1968要 冤袁 男袁 副教授袁 博士袁 主要研究方向为分布理论尧组合概率方法遥 E-mail院doi院 10.12194/j.ntu.20221127002引文格式院 付尧袁 孙平袁 姜淞水.移
2、位 U 型标准杨表计数公式J.南通大学学报渊自然科学版冤袁 2023袁 22渊2冤院86-94.杨表又称杨式矩阵袁是一种特殊的图袁用于整数划分问题遥 杨表在组合数学中是一个重要的组合结构袁它不仅是计数组合学中的研究热点袁还是表示论尧代数几何等其他数学分支中的常用工具遥 标准杨表渊standard Young tableaux袁SYT冤计数是计数组合学的一个重要内容遥文献1给出了著名的hook-length 公式袁用来计算给定形状尧不同的杨表的个数曰文献2给出了 hook-length 公式的一个简单证明曰文献3提出了 hook-length 公式的一些推论以及开放性问题遥 然而袁hook-le
3、ngth 公式只能对规则的标准杨表计数问题进行计算袁对于一些不规则的标准杨表并不适用遥 因此袁众多学者在此基础上探究了很多更为复杂情形下的标准杨表计数问题袁也提出了许多新的方法遥文献4-6讨论了截断型杨表曰移位 U 型标准杨表计数公式付尧袁 孙平*袁 姜淞水渊东北大学 理学院袁 辽宁 沈阳110819冤摘要院研究了移位 U 型半封闭模型标准杨表的计数问题袁该模型由 U 型半封闭模型在西南角的第一个单元格向东北角折叠得到遥 根据嵌套顺序统计量与标准杨表之间的对应关系袁将标准杨表计数问题转化为相应的嵌套单形计算问题袁运用多重积分的求解方法袁通过积分区域的划分得到标准杨表的数目曰再利用组合恒等式尧组
4、合求和公式和卡特兰数对计数结果进行化简整理袁得到该模型的标准杨表计数公式曰最后袁针对 m=1 时的情况袁给出了该类型标准杨表在特殊情况下的结论遥关键词院标准杨表曰嵌套顺序统计量曰组合数曰多重积分中图分类号院 O157文献标志码院 A文章编号院 员远苑猿原圆猿源园渊圆园23冤园2原园园86原园9Enumeration of shifting U-shaped standard Young tableauxFU Yao,SUN Ping*,JIANG Songshui(College of Sciences,Northeastern University,Shenyang 110819,China
5、)Abstract:This paper studies the enumeration problem of the standard Young tableaux in the shifted U-shaped semi-closed model,which is obtained by folding the first cell of the U-shaped in the southwest corner to the northeast cor鄄ner.Firstly,the SYT-type chart counting problem is transformed into t
6、he corresponding nested monomorphic compu鄄tational problem based on the correspondence between the nested order statistic and the standard Young tableaux.Thenumber of SYT-type charts is obtained by using the solution method of multiple integrals.Then,the counting resultsare simplified by using the c
7、ombination identity,combination summation formula and Catalan number.The SYT-typechart counting formula for the model is obtained.Finally,for the case of m=1,the conclusion of the kind of SYT-type chart in the special case is given.Key words:standard Young tableaux;nested order statistics;combinator
8、ial number;multiple integrals文献7-12研究了中空型尧倾斜型尧移位型杨表遥 以上经过变化后的杨表计数统称为 SYT-型数渊SYT-type chart冤遥文献13-17讨论了杨表的对称结构尧Hopf 结构等曰文献18-20分别讨论了不同形状的标准杨表计数公式遥 本文运用文献21中提出的理论方法研究了渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤1袁2渊m-1冤 k袁3型杨表计数问题袁得到了SYT-型计数的一些理论成果遥1预备知识当变量为 U渊0袁1冤上的顺序统计量时袁这类形状的标准杨表计数问题可以转化为求对应的嵌套多重积分袁最后对积分结果利用组合数进行化简整理2
9、1遥证明过程中需要用到的定义尧引理及性质如下遥定义 1渊标准杨表冤22向 姿 型 Ferrers diagram的每一个单元格填入一个正整数袁这些正整数满足从上向下严格递增袁从左向右非严格递增袁这种表格称作 姿 型半标准杨表遥 如果将1袁2袁噎袁n这 n 个正整数一一映射到 Ferrers diagram 中袁 映射规则是单元格从上向下尧从左向右都严格递增袁以这种方式得到的表格称作标准杨表遥下面以 9 的分拆渊4袁3袁2冤来解释一个渊4袁3袁2冤型半标准杨表和一个渊4袁3袁2冤型标准杨表袁分别如图 1 所示遥定义 2渊SYT-型数冤22一个标准杨表在满足用 1-n 个互不相同的正整数以从上向下
10、尧从左向右都严格递增的方式下填满整个表的填法数称为SYT-型数遥引理 1渊SYT 计数公式冤21根据嵌套顺序统计量与多重积分之间的关系袁利用标准杨表的离散结构建立事件概率的模型袁可求出 姿 型标准杨表的计数公式院H姿=姿!Vol渊S姿冤=姿 浴乙噎S姿乙dx1袁姿1噎dz姿d袁姿d袁其中袁Vol渊S姿冤为 姿 型标准杨表所对应的嵌套单行的体积袁即积分区域遥引理 223在 n 维空间中袁f渊x1袁x2袁噎袁xn冤在赘=a1袁b1 伊 a2袁b2 伊 噎 伊 an袁bn闭区间上连续袁则乙噎赘乙f渊x1袁x2袁噎袁xn冤dx1dx2噎dxn=b1a1乙dx1b2a2乙dx2噎bnan乙f渊x1袁x2
11、袁噎袁xn冤dxn遥引理 323若一个行列式的第 i 行渊列冤为 x 的函数袁其余元素为常数袁则对 x 进行积分就等于该行列式的第 i 行渊列冤的元素关于 x 积分袁其余元素不变袁即ba乙D渊x冤=ba乙a11a12噎a13ai1渊x冤ai2渊x冤噎ain渊x冤an1an2噎anndx=a11a12噎a13ba乙ai1渊x冤dxba乙ai2渊x冤dx噎ba乙ain渊x冤dxan1an2噎ann引理 4渊组合数冤24x+1n蓘蓡=xn蓘 蓡+xn-1蓘蓡遥引理 5渊卡特兰数冤25称Bn袁p=pn2nn-p蓘蓡袁n袁p沂N袁p臆n为卡特兰三角袁当 p=1 时为著名的卡特兰数袁即Cn=1n+12nn
12、蓘蓡袁n逸1遥卡特兰数有多种显式表达式袁例如124435689124735689图 1半标准杨表渊左冤尧标准杨表渊右冤Fig.1Semi-standard Young tableaux 渊left冤尧standard Youngtableaux 渊right冤付尧袁 等院移位 U 型标准杨表计数公式87窑窑南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年Cn=1n2nn-1蓘蓡=2n渊2n-1冤!渊n+1冤!=1n+1移k=0nnk蓘 蓡2=2nn蓘蓡-2nn+1蓘蓡遥2主要结果及证明本节通过嵌套单形的划分尧行列式积分尧多重积分的计算等方法对渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-
13、1冤 k袁3型的标准杨表计数问题进行求解袁通过积分区域的划分袁简化了多重积分的计算袁最后利用组合公式和卡特兰数进行化简袁从而得到标准杨表计数定理及推论遥定理 1渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤1袁2渊m-1冤 k袁3型标准杨表的计数公式为H渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤 k袁3=m+2m+2k+2m+2k+2k蓘蓡-Ck遥证明院由引理 1 可知袁该形状的标准杨表计数公式为H渊m+2冤k+1渊11冤k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤 k袁3=姿!Vol渊S姿冤=渊m+2k+2冤!乙噎S姿乙dS姿=渊m+2k+2冤!I袁因此袁标准杨表计数问
14、题转化为对该嵌套单形的多重积分遥渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤 k袁3型标准杨表如图 2 所示遥S姿对应的嵌套单形袁即积分区域为S姿=0 zkxkzk-1xk-1z2x2z1 yx1y0 y1 y2 噎 ym-1 ym 1扇墒设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设伤赏设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设商设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设设遥对于积分的求解袁进行如下划分院先对 y0袁y1袁噎袁ym-1积分袁积分区域为 赘1=y y0 噎 ym-1ym袁 积分结果记为 Ia=乙噎赘1乙1dy0
15、噎 dym-1=渊ym-y冤mm!渊运用引理 2冤遥再对 z1袁噎袁zk袁x1袁噎袁xk袁y袁ym积分袁积分区域为赘2=0 zk zk-1 噎 z1y0 xk xk-1 噎 x1 ym 1扇墒设设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设设伤赏设设设设设设设设设设商设设设设设设设设设设袁积分结果记为Ib=乙噎赘2乙1dzk噎dz1dxk噎dx1dydym遥由于这一部分的积分区域较为复杂袁因此采用行列式积分的方法进行计算遥 由于 Ia的结果中包含y袁ym袁所以在计算积分 Ib时袁把 y袁ym两个变量的积分放到最后来计算遥先对 xk积分袁利用 zk xk xk-1袁则被积函数变为渊xk-1-zk冤袁改写
16、成行列式的形式为渊xk-1-zk冤=1zk1xk-1袁故 Ib=乙噎乙1zk1xk-1dzk噎dz1dxk-1噎dx1dydym遥接下来对 zk袁xk-1积分袁 利用 0 zk zk-1图 2渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤k袁3型标准杨表Fig.2Type 渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤 k袁3 standard Young tableauxzkzk-1xkxk-1z2x2z1yx1y0y1y2噎ym-1ym88窑窑xk-1 zk-2袁再由行列式积分性质渊运用引理3冤可得Ib=xk-2zk-1乙dxk-1zk-10乙1zk
17、1xk-1dzk窑乙噎乙dzk-1噎dz1dxk-2噎dx1dydym=乙噎乙zk-10乙1dzkzk-10乙zkdzkxk-2zk-1乙1dxk-1xk-2zk-1乙xk-1dxk-1dzk-1噎dz1dxk-2噎dx1dydym=乙噎乙zk-1zk-122xk-2xk-222dzk-1噎dz1dxk-2噎dx1dydym遥以此类推袁最后对 z3袁x2积分袁行列式积分结果为Ib=乙噎乙z2k-2渊k-2冤!z2k-1渊k-1冤!x1k-2渊k-2冤!x1k-1渊k-1冤!dz2dz1dx1dydym遥剩下 z1袁z2袁x1袁y袁ym还未积分袁它们之间的关系为 0 z2 z1 y x1 ym
18、1遥 先对 z2积分袁则Ib=乙噎乙z2k-2渊k-2冤!z2k-1渊k-1冤!x1k-2渊k-2冤!x1k-1渊k-1冤!dz2dz1dx1dydym=乙噎乙dz1dx1dydymz2k-2渊k-2冤!z2k-1渊k-1冤!x1k-2渊k-2冤!x1k-1渊k-1冤!dz2=乙噎乙z1k-1渊k-1冤!z1kk!x1k-2渊k-2冤!x1k-1渊k-1冤!dz1dx1dydym遥再对 x1积分袁则Ib=乙噎乙z1k-1渊k-1冤!z1kk!x1k-2渊k-2冤!x1k-1渊k-1冤!dx1dz1dydym=蓓dz1dydymymy乙z1k-1渊k-1冤!z1kk!x1k-2渊k-2冤!x1k
19、-1渊k-1冤!dx1=蓓z1k-1渊k-1冤!z1kk!ymk-1-yk-1渊k-1冤!ymk-ykk!dz1dydym遥最后只剩下 z1袁y袁ym还未积分袁这时加上 Ia的积分结果来计算积分 I袁因此有I=0 z1 y ym 1蓓渊ym-y冤mm!窑z1k-1渊k-1冤!z1kk!ymk-1-yk-1渊k-1冤!ymk-ykk!dz1dydym=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!窑y0乙z1k-1渊k-1冤!y0乙z1kk!ymk-1-yk-1渊k-1冤!ymk-ykk!dydym=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!窑ykk!yk+1渊k+1冤!ymk-1-yk-1渊k-1冤!ymk-
20、ykk!dydym遥利用二阶行列式计算法则将积分拆成 4 个积分袁即 I=I1-I2-I3+I4袁其中院I1=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!ykymk渊k!冤2dydym=付尧袁 等院移位 U 型标准杨表计数公式89窑窑南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年10乙ymm+2k+1k!渊m+k+1冤!dym=1k!渊m+k+1冤!渊m+2k+2冤袁I2=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!y2k渊k!冤2dydym=10乙2kk蓘蓡ymm+2k+1渊m+2k+1冤!dym=2kk蓘蓡渊m+2k+2冤!袁I3=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!yk+1ymk-1渊k+1冤!渊k-1冤!dy
21、dym=10乙ymm+2k+1渊k-1冤!渊m+k+2冤!dym=1渊k-1冤!渊m+k+2冤!渊m+2k+2冤袁I4=0 y ym 1蓦渊ym-y冤mm!y2k渊k+1冤!渊k-1冤!dydym=10乙2kk+1蓘蓡ymm+2k+1渊m+2k+1冤!dym=2kk+1蓘蓡1渊m+2k+2冤!袁故I=I1-I2-I3+I4=m+2渊m+2k+2冤渊m+k+2冤!k!+2kk+1蓘蓡-2kk蓘蓡渊m+2k+2冤!遥下面利用卡特兰数进行化简袁由引理 5 可知袁2kk+1蓘蓡-2kk蓘蓡=渊2k冤!渊k+1冤!渊k-1冤!-渊2k冤!k!k!=1k+1渊2k冤!k!渊k-1冤!-渊2k冤!渊k+1冤
22、k!k!=1k+1-渊2k冤!k!k!=-1k+12kk蓘蓡袁由此可知I=m+2m+2k+2m+2k+2k蓘蓡-Ck渊m+2k+2冤!遥特别地袁当 m 为偶数尧k沂N 且 m袁k逸0 时袁由引理 5 有袁令n=m2+1+kp=m2+1扇墒设设设设设设缮设设设设设设袁则m+2m+2k+2m+2k+2k蓘蓡=Bm2+1+k袁m2+1袁因此袁I=Bm2+1+k袁m2+1-Ck渊m+2k+2冤浴袁其中 Ck=1k+12kk蓘蓡遥下面举例说明袁不妨令 m=1袁k=2袁此时杨表如图 3 所示遥利用定理 1 的公式求得H=m+2m+2k+2m+2k+2k蓘蓡-Ck=1+21+4+21+4+22蓘蓡-42蓘
23、蓡+43蓘 蓡=3772蓘 蓡-42蓘 蓡+43蓘 蓡=7遥根据杨表的定义将1袁2袁3袁4袁5袁6袁7填入该图形袁一共有如下 7 种情形院与定理 1 的计算公式结果相同遥当 m=1 时袁可以得到渊m+2冤k+1渊11冤 k+1袁1渊mk-1冤 1袁2渊m-1冤 k袁3型标准杨表的计z2x2z1yx1y0y1图 3m=1袁k=2 时的杨表图形Fig.3Standard Young tableaux drawing at m=1袁k=2123456712346571324567132465714235671423657152364790窑窑数推论遥定理 23k+1渊11冤 k+1袁1渊1k-1冤
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