平面几何常见极值问题的解法探究.pdf
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1、平面几何常见极值问题的解法探究黄发长(海南省洋浦中学 5 7 8 1 0 1)【摘要】在动态几何题中,求满足条件的某个几何量在运动(变化)过程中达到最大(或小)值的问题,称为几何极值问题.这类题通常作为压轴题出现在中考选择题、填空题中.本文从三个“基本事实”出发,观察、探究、归纳常见平面几何极值问题的解法.【关键词】几何;极值;解题技巧1 两点之间,线段最短这类题的解答关键点在于利用轴对称构建对称点(有时只需在图中寻找现成的点),把所求问题转化为两点之间距离大小的问题.“将军饮马问题”是此类题中最经典的模型.例1 如图1,正方形A B C D的边长为8,点M在D C上且DM=2,N是A C上的
2、一动点,则DN+MN的最小值是 .图1 图2解析 本题解题关键点在于构建点D(或M)关于直线A C的对称点,相比较而言,构建点D的对称点(即为点B)更为容易.这样连接MB,即可得最小值是1 0.2 垂线段最短2.1 直接考查这里所说的“直接考查”是指要求的结论(即使存在转化而间接求解),直接用到基本事实,是相对下述“2.2”复合考查而言的.例2 如图2,在四边形A B C D中,点P是A B上一动点,点E、F分别 在C D、P D上,且D E=13DP,D F=13D C,若s i n C B A=34,B C=8,则E F的最小值为 .分析 易证D E FD P C,且相似比为13,则当P
3、C最小时,E F取得最小值.显然当s i n C B A=34,B C=8时,C PB A是P C取最小值的前提.则易求得E F的最小值为2.2.2 复合考查所谓复合考查,指要求的结论在形式上不是一条“整”线段,而是几部分的和.其解法通常是把结论中的部分整合为“整体”来求解.此类题型中典型的例子是“胡不归模型”.例3 如图3,在A B C中,A B=A C=1 0,t a nA=2,B EA C于点E,D是线段B E上的一个动点,那么:(1)A E=;(2)C D+55B D的最小值是.图3 图4分析(1)A E=2 5;(2)解题时把“55B D”先转化是关键,不妨设55B D=m,则有mB
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