面积与几何证明.pdf
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1、面积与几何证明 华东师范大学数学系周青摘要:面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理本文对这个方法也做了简单的介绍关键词:面积法;出入相补原理;共边比例定理粗略地讲,一个平面区域的面积就是它的大小这里所讲的大小是有所指的古埃及的尼罗河每年夏天都会泛滥,到
2、秋天尼罗河水退去,给两岸留下了肥沃的淤泥,也正是这一层淤泥使得精耕农业得以实现,支撑起古埃及的繁荣泛滥的洪水也冲毁了原有土地上所有的分界标记,所以水退了之后,人们就得重新规划田地这就要求计算土地的大小,它表明了在这块土地上能够种多少庄稼最自然的想法就是把一个区域剪开成若干小块,将这些小块重新组合之后恰好可以用来铺满另一个区域,我们就说这两个区域的面积相等这就形成了面积的概念当然,从逻辑上完全讲清楚面积的概念还是需要花费一番功夫的,但我们并不准备在这个方面做更多的纠缠我们知道的最基本的图形的面积是矩形的面积,它等于矩形的长和宽的乘积三角形的面积是通过转化为矩形面积得来的而所有直线形都可以剖开成为
3、若干三角形,所以我们就可以得到所有直线形的面积我们在这里感兴趣的是如何将面积作为工具来进行数学证明在这个方面,最熟悉的莫过于刘徽注 九章算术 时证明勾股定理所用的“青朱出入图”(如图所示)按说,当年刘徽注 九章算术 时也应该有一图,不幸的是原图早已失传现在我们所讲的青朱出入图是后人根据刘徽的注记“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也合成弦方之幂,开方除之,即弦也”而补上的在图上做适当的标注之后,我们无需说过多的话,整个证明一目了然刘徽发明的这个方法也被称为“出入相补法”图青朱出入图证明勾股定理我们对 周髀算经 中证明勾股定理的弦图也很熟悉,它也可以被解释成一个出入
4、相补法的证明(如图所示)从图()可以看出,大正方形中留白部分的面积是弦的平方,重新摆放此图中的两个阴影三角形之后得到图(),而图()中留白部分的面积是勾的平方加上股的平方当然,也可以将它理解成另一个版本的青朱出入图(如图所示)图弦图证明勾股定理图青朱出入图的另一个版本上海中学数学 年第期实际上,无论是利用 周髀算经 中的弦图还是赵爽注 周髀算经 时所作的赵爽弦图,对勾股定理的原始证明都还要稍微复杂一些 对于下面的图我们也并不陌生图几何与代数的关系假设A BADa,如果记B CD Eb,那么这个图可以读作(ab)aba b根据这个公式和上面的弦图(如图所示),也可以得到勾股定理c(ab)a ba
5、b赵爽弦图也叫做内弦图(如图所示),它给出勾股定理的另一个证明如果在图中我们记A CA Eb,那么图也可以解释为(ba)aba b而赵爽弦图告诉我们c(ba)a bab,即勾股定理也成立图赵爽弦图或许出入相补的概念出现得更早,无疑这个方法应该是刘徽的拿手好戏吴文俊先生在他的一篇文章 中用出入相补法证明了下面的简单比例关系在矩形A B C D的对角线A C上取一点O,过点O分别作A B和B C的平行线P Q和R S(如图所示)这两条平行线和对角线将矩形分割成六块:,由于SA B CSC D A,SS,SS,所 以SSC DASSSA B CSSS,也就是说A RC QP OS OSSO QO R
6、R BQ B,这样一来,我们就有C QQ BR BA R()按照吴文俊先生的说法,尽管这个简单的结果并没有明确地写在 九章算术 中,但 九章算术 中多次用了这个结果想来那时候就应该知道这个结果,况且这个证明对刘徽来讲应该是毫无困难的图简单的比例关系刘徽注 九章算术 实际上写了十章,最后一章讲的是如何测量海岛的高度这一章后来被独立出来,也叫做 海岛算经 其中的一个典型问题如图所示:海岛上一座山的山顶在A处,在C,E两处分别垂直竖立两根长度一样的杆子C DE Fl,分别在G,H两处趴在地上看,可以观察到D或者F分别与山顶A重合这里的C,E,G,H四点之间的距离和l是可以测量的,要求山的高度A B图
7、测量海岛上山的高度根据上面所讲的比例关系(),我们就有A OlB CG C,A OlB CC EEH这是一个关于A O和B C的二元一次方程解这个方程,我们得到A BA OllGHEHG C,这也叫做“海岛公式”我们也可以将比例关系()重写成A RR OO QQ C根 据 勾 股 定 理,我 们 就 有A OR OA RR OR OA RR OO QQ CO QQ CQ CO CQ C,所以A OO CR OQ CB QQ C这个比例关系告诉我们“一条直线被一组平行线所截,截得的线段与平行线之间的距离对应成比例”显然,这个事实的一个直接推论就是我们初中平面几何中的一条基本事实“两条直线被一组平
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