论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理.pdf
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1、第 32 卷第 2 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023 年 6 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Jun.2023收稿日期:2022-09-14基金项目:河南省科技攻关项目(212102210599)作者简介:李宜和(1976),男,安徽阜阳人,河南财政金融学院计算机与人工智能学院讲师,博士,主要研究方向为量子力学与相对论。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.007论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理李宜和(河南财政金融学院 计算机
2、与人工智能学院,河南 郑州 450046)摘要:根据哈密顿原理,利用等时变分法推导出四维弯曲时空中的测地线方程拉格朗日方程哈密顿正则方程以及拉格朗日函数与哈密顿函数。这些推论与广义相对论相对应的结论一致;过渡到非相对论时,其结论与经典力学一致。同时,根据哈密顿正则方程及相对论性矩阵力学,推导出四维弯曲时空中的矩阵力学方程。关键词:等时变分;四维弯曲时空;测地线方程;正则方程;哈密顿函数;矩阵力学中图分类号:O412;O413文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0034-040引言在分析力学中,既可以从变分原理的微分形式即虚功原理出发,推导出拉格朗日方程及哈密顿原理,也可
3、以从积分形式的哈密顿原理出发推导出拉格朗日方程及正则方程,而用泊松括号表示的正则方程又与量子力学中的海森堡方程有密切关系1。上述理论在经典力学及电动力学中都是成立的2。于是,一个新的问题自然而然地产生了:在四维弯曲时空中,这些原理是否成立?既然牛顿运动定律及带电粒子在电磁场中的运动定律都可以由哈密顿原理推导出来,那么弯曲时空的测地线方程也可能会从哈密顿原理推导出来。根据广义相对论,牛顿引力论只是广义相对论在弱场低速极限下的一种近似理论3,若是把弯曲时空中的度规张量 g变成,=0,1,2,3(),则四维弯曲时空就变成了四维闵氏平直时空。无论是引力场中的牛顿运动定律,还是四维闵氏平直时空的带电粒子
4、,在电磁场中的运动定律都可以由哈密顿等时变分原理得出,我们完全相信,从哈密顿等时变分原理出发一定会得到四维弯曲时空的测地线方程拉格朗日方程及哈密顿正则方程。当然弯曲时空的测地线方程已经由爱因斯坦利用哈密顿原理推导出来4,但在推导过程中他没有采用等时变分原理,而是把三维变量推广到四维变量,然后将作用量对任意变分参数进行变分。虽然得到了测地线方程,但没有给出弯曲时空中的拉格朗日方程及正则方程。本文首先根据等时变分原理,推导出四维弯曲时空的 3 个测地线方程,这 3 个方程只是测地线方程的一部分,同时证明它与推导得到的测地线方程是一致的,并给出弯曲时空的哈密顿函数及正则方程。定义广义四维动量并给出完
5、整的测地线方程,此方程与广义相对论中的测地线方程是一样的。最后,给出弯曲时空中一般形式的矩阵力学方程,并将它应用到静态球对称时空中,最后进行了总结与展望。1等时变分原理与测地线方程在经典力学中,作用量 S=BALdt,其中 L=T-V;在狭义相对论中,对于自由粒子,有L=-mc c2-dx/dt()2-dy/dt()2-dz/dt()2()12。在电动力学中同样可以通过变分原理得到带电粒子在电磁场运动的运动方程2。由于采用了等时变分,即 t=0,则 S=BALdt。在四维弯曲时空中,ds2=c2d2=-gdxdx,参照电动力学作用量的形式,则S=BA-mc2d=BA-mc2d/dt()dt=B
6、ALdt,第 2 期李宜和:论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理35 故L=-mc2ddt=-mc-g00c2-2g0icdxidt-gijdxidtdx jdt()12,(1)其中 x0=ct,i,j,k,=1,2,3。根据等时变分原理,S=-mcBA-gdxdtdxdt()-12-12gxdxdtdxdtx-gdxdtdxdt()dt,(2)为计算方便,将 L 展开,则S=-m2BAdtd-g00c2-2g0icdxidt-gijdxidtdxjdt()dt=m2BAdtdg00 xkc2xk+2g0ixkcdxidtxk+gijxkdxidtdxjdtxk()dt+m2BAdtd2g
7、0icdxidt+2gijdxidtdxjdt()dt,(3)在 A,B 处,xi=0。经过整理得S=m2BAdtdgxkdxdtdxdtxkdt-mBAddtgkdtddxdt()xkdt。(4)变分原理要求(4)式为零,则gxidx dtdxdtdtd=2ddtgidtddxdt(),(5)即ddgidx d()=12gxidx ddxd,(6)此为四维时空测地线方程,但公式(6)只是测地线方程的一部分,下面将继续推导其完整的表达式。2拉格朗日方程由于 L=-mc2d/dt()=-mc-gdx/dt dv/dt()12,g是 xi,t 的函数,则 L=L xi,dxi/dt,t(),故S=
8、BALdt=BALxi xi+L dxi/dt()dxidt()dt=BALxi-ddtL dxi/dt()()xidt=0,即Lxi-ddtL dxi/dt()=0,(7)而L dxi/dt()=-mc dxi/dt()-gdxdtdxdt()-12=mdtdgi0c+gijdxjdt()=mgidxd,(8)Lxi=-mcxi-gdx dtdxdt()-12=m2dtdgxidxdtdxdt,(9)将式(8)和式(9)代入式(7)就得到方程(6)。3正则方程1定义广义动量 pi=Lxi=mgidxd,它不同于机械动量 pi,pi=mdxid,则测地线方程(6)可写为dpid=m2gxidx
9、ddxd。(10)H=pidxidt-L=mgidtddxdtdxidt+mc2ddt=mdtdgidxdtdxidt+c2ddtddt()=mdtdgidxidtdxdt-gdxdtdxdt()=-mcg0dxd,(11)36 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年则dHdt=Hxidxidt+Hpidpidt+Ht=pidxidt+xidpidt-Lxidxidt-Lxidxidt-Lt=-pidxidt+xidpidt-Lt,(12)故xi=Hpi;pi=-Hxi;Ht=-Lt。(13)根据式(11)式(13),得dHdt=Ht=-Lt,即-mcddtg0dxd()=mctgdxdt
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