基于浸入与不变自适应的机械臂轨迹跟踪控制方法.pdf
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1、西 安 工 程 大 学 学 报J o u r n a l o f X ia n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y 第3 7卷第4期(总1 8 2期)2 0 2 3年8月V o l.3 7,N o.4(S u m.N o.1 8 2)引文格式:汤元会,张璐.基于浸入与不变自适应的机械臂轨迹跟踪控制方法J.西安工程大学学报,2 0 2 3,3 7(4):1 0 2-1 0 9.TANG Y u a n h u i,Z HAN G L u.T r a j e c t o r y t r a c k i n g c o n t r o l m e t
2、h o d o f m a n i p u l a t o r b a s e d o n i mm e r s i o n a n d i n v a r-i a n t a d a p t a t i o nJ.J o u r n a l o f X ia n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y,2 0 2 3,3 7(4):1 0 2-1 0 9.收稿日期:2 0 2 3-0 2-0 3 修回日期:2 0 2 3-0 5-1 0 基金项目:陕西省重点研发计划项目(2 0 2 3-Y B G Y-4 1 5);国家市场监督管理总局科技计划项目
3、(2 0 2 1 MK 1 0 4);市场监督管理局科技计划项目(2 0 2 0 KY 0 2)通信作者:汤元会(1 9 8 4),女,高级工程师,研究方向为电磁计量和精密测量。E-m a i l:7 9 8 5 9 4 5q q.c o m基于浸入与不变自适应的机械臂轨迹跟踪控制方法汤元会,张 璐(陕西省计量科学研究院 电子与电磁计量研究所,陕西 西安 7 1 0 1 0 0)摘要 针对双关节机械臂在运动过程中因系统不稳定所产生的跟踪精度较低问题,设计了基于浸入与不变(I mm e r s i o n a n d I n v a r i a n c e,I&I)的机械臂运动轨迹自适应控制系统
4、,采用I&I自适应控制方法作为惯性矩阵设计参数估计器。为了解决设计过程中偏微分方程求解困难,选用状态滤波器求出其近似解。通过引用动态缩放因子消除近似解和真实解之间的误差。将I&I自适应参数估计器与反步控制器相结合,使其对不确定参数具有自适应特征。仿真结果表明,本方案对机器人机械臂运行轨迹的控制精度有显著提高,具有一定的应用价值。关键词 机械臂;轨迹跟踪;浸入与不变;自适应控制开放科学(资源服务)标识码(O S I D)中图分类号:T P 2 4 2 文献标志码:AD O I:1 0.1 3 3 3 8/j.i s s n.1 6 7 4-6 4 9 x.2 0 2 3.0 4.0 1 3T r
5、 a j e c t o r y t r a c k i n g c o n t r o l m e t h o d o f m a n i p u l a t o r b a s e d o n i mm e r s i o n a n d i n v a r i a n t a d a p t a t i o nT ANG Y u a n h u i,ZHANG L u(I n s t i t u t e o f E l e c t r o n i c a n d E l e c t r o m a g n e t i c M e t r o l o g y,S h a a n x i I
6、 n s t i t u t e o f M e t r o l o g y S c i e n c e,X ia n 7 1 0 1 0 0,C h i n a)A b s t r a c t A i m e d a t t h e p r o b l e m o f i n s u f f i c i e n t t r a c k i n g a c c u r a c y c a u s e d b y t h e u n c e r t a i n t y o f t h e s y s t e m m o d e l d u r i n g t h e m o t i o n o
7、f a t w o-j o i n t m a n i p u l a t o r,a t r a j e c t o r y t r a c k i n g c o n t r o l m e t h o d f o r t h e m a n i p u l a t o r b a s e d o n I mm e r s i o n a n d I n v a r i a n c e(I&I)a d a p t i v e w a s p r o p o s e d.T h e m e t h-o d w a s u s e d t o d e s i g n a p a r a m e
8、 t e r e s t i m a t o r f o r t h e m a s s m a t r i x.I n o r d e r t o s o l v e t h e p r o b l e m o f d i f f i c u l t y i n s o l v i n g t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e d e s i g n p r o c e s s o f t h e m e t h o d,a s t a t e f i l t e r w a s i n t
9、 r o d u c e d t o o b t a i n a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n,a n d t h e e r r o r b e t w e e n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n a n d t h e r e a l s o l u t i o n w a s e l i m i n a t e d b y i n t r o d u c i n g a d y n a m i c s c a l i n g f a c t o r.T h e d e-s i g n
10、 e d I&I a d a p t i v e p a r a m e t e r e s t i m a t o r w a s c o m b i n e d w i t h a b a c k s t e p p i n g c o n t r o l l e r t o m a k e t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r a d a p t i v e t o u n c e r t a i n p a r a m e t e r s.S i m u l a t i o n r e s u l t s d e m o n s t r a
11、 t e t h a t t h e m e t h o d c a n i m p r o v e t h e c o n t r o l a c c u r a c y o f t h e m a n i p u l a t o r s i g n i f i c a n t l y,a n d i t h a s c e r t a i n a p-p l i c a t i o n v a l u e.K e y w o r d s m a n i p u l a t o r;t r a j e c t o r y t r a c k i n g;i mm e r s i o n a
12、n d i n v a r i a n c e;a d a p t i v e c o n t r o l0 引 言 随着制造业的不断发展,机械臂作为一种高性能自动化设备,已广泛应用于生产工业的各个领域1-2。然而,机械臂系统具有非线性、强耦合、多变量等特点,易受到模型参数变化的影响3,对机械臂轨迹跟踪控制带来困难。而在一些高精度应用领域,机械臂须具备更高的精确性和更稳的控制性能。因此,如何提高机械臂在模型不确定情况下的跟踪性能具有重要意义。在实际应用过程中,很难对机械臂建立精确的动力学模型,模型中往往存在不确定参数。自适应控制因其具有强大的自学能力和鲁棒性而得到广泛的研究4。文献5 针对模型
13、不确定机械臂的轨迹跟踪问题,通过神经网络的逼近能力能够补偿非线性系统的不确定性,设计了基于自适应神经网络的输出反馈控制方法。文献6 提出了一种自适应模糊反步控制器,以解决机械臂系统中存在的各种非线性和不确定性的问题。文献7 将干扰观测器和自适应滑模控制方法相结合,解决了建模误差和各类干扰带来的不确定性。以上方法对具有模型不确定性的机械臂轨迹跟踪控制问题有一定的贡献,且都是基于确定性等价原则(c e r t a i n t y e q u i v a l e n c e,C E)对不确定参数进行辨识8。基于C E设计的参数自适应律,并不是真正估计未知参数值,而是为了消除L y a p u n o
14、 v函数导数中存在的不确定参数项的影响,因此在参数自适应律中并不含有参数估计误差的负反馈项,而是和跟踪误差直接耦合在一起,这就导致跟踪误差影响参数估计的过程,而参数估计在控制器中影响跟踪误差的动态,两者直接耦合造成系统闭环性能下降,参数估计误差和跟踪误差无法同时收敛到0,且会出现过参数化问题9。虽然文献1 0 解决了这一问题,但是取而代之的是一个更复杂的参数自适应律1 1。为实现优化,文献1 2 提出了基于非确定性等价(N o n-C e r t a i n t y E q u i v a l e n c e,N o n C E)原则的浸入与不变(I mm e r s i o n a n d
15、I n v a r i a n c e,I&I)理论。该理论是将一个关于状态的修正项引入到参数估计误差中,即在参数估计误差的微分项中增加不确定参数,确保参数估计误差能够收敛到零。但是修正项需求解一个偏微分方程(P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E-q u a t i o n,P D E)。对一阶系统,偏微分方程的解可以通过积分求取;对高阶系统,偏微分方程不一定存在解析解,这一情况被称为“可积性障碍(I n t e r a b i l i t y O b s t a c l e)”。针对这一障碍,文献1 3-1 5 提出将动态缩放技术(D y n a m
16、 i c s c a l i n g)应用到I&I自适应方法中。该方法在求解过程中引入状态滤波器,将回归矩阵中的部分状态变量替换成滤波器的估计值,使待求解的偏微分方程可解并积分得到其近似解,再引入动态缩放因子消除了近似解和实际解之间的误差。目前该方法的相关应用多体现在飞行器控制系统上1 6-2 0,而在同样具有强耦合、非线性特性的机械臂系统上却鲜有研究。本文针对具有惯性矩阵参数不确定性的机械臂动力学模型,提出了一种基于改进I&I自适应方法的轨迹跟踪控制方法。首先,针对I&I自适应理论在机械臂动力学模型中存在“可积性障碍”的问题,引入状态滤波器,构造新的参数回归矩阵求得P D E的近似解,并通过
17、设计动态缩放因子消除矩阵改造前后的误差对系统性能的影响。仿真结果表明,本文所提出的方法具有更优异的跟踪精度和动态特性。1 机械臂系统模型以双关节机械臂模型为研究对象,其结构示意图如图1所示。图 1 双关节机械臂示意图F i g.1 S c h e m a t i c d i a g r a m o f a t w o-j o i n tm a n i p u l a t o r301第4期 汤元会,等:基于浸入与不变自适应的机械臂轨迹跟踪控制方法图1中,li(i=1,2)为连杆长度;qi(i=1,2)为关节转动角度;mi(i=1,2)为连杆质量;lc i(i=1,2)为连杆到质心的距离;Ii(
18、i=1,2)为惯性矩阵。其动力学方程可表示为M(q)q+C(q,q)q+G(q)=(1)式中:q R2为关节角度矢量;q R2为关节角速度矢量;qR2为关节角加速矢量;M(q)R2 2为机械臂的惯性矩阵;C(q,q)R2 2为机械臂的离心力和哥氏力矩阵;G(q)R2为机械臂的重力矩阵;R2为机械臂的输入力矩矢量。设计控制律前,应选取状态变量,定义:x1=q,x2=q,则式(1)可以改写为以下状态空间形式:x1=x2x2=M-1-C x2-G(2)在实际运行过程中,惯性矩阵M会发生摄动而使其具有不确定性,因此将惯性矩阵的逆矩阵M-1视为不确定参数。为提高机械臂跟踪精度,选取惯性矩阵为未知参数变量
19、,并设计I&I自适应参数估计器和系统的非线性控制律,以确保机械臂关节轨迹能够跟踪期望轨迹。2 自适应控制器设计2.1 I&I自适应参数估计器设计为了便于后续对I&I自适应参数估计器的设计,将式(2)所表达的含有不确定参数的双关节机械臂动力学模型整理为x1=x2x2=(x1,x2)(3)式中:=1 2 3,为经过数学变换后的未知惯性矩阵;1=1M1 1M2 2-M1 2M2 1M2 22=-1M1 1M2 2-M1 2M2 1M1 2=1M1 1M2 2-M1 2M2 1M2 13=1M1 1M2 2-M1 2M2 1M1 12 1(x1,x2,x3)2 2(x1,x2,x3)=-C x2-GT
20、(x1,x2,x3)=1(x1,x2)2(x1,x2)=2 1(x1,x2)02 2(x1,x2)2 1(x1,x2)02 2(x1,x2)针对式(3)所表示的非线性系统,设计I&I自适应参数估计器,使其能对未知参数值进行估计。I&I自适应参数估计器的构造可以分为3步。S t e p 1:根据文献8,定义不确定参数的估计误差,按照I&I自适应控制理论,设计修正项函数(x)。原则上,(x)的 设 计 需 要 求 解 偏 微 方 程(P D E),但 这 对 于 大 多 数 多 变 量 系 统 来 说 非 常困难。定义参数估计误差为z=-+(x1,x2,x2)(4)式中:(x1,x2,x2)为待设
21、计的光滑函数。和分别为不确定参数及参数的估计值。x2为状态滤波器输出的滤波状态,滤波器定义为:x2=(x1,x2)(+)-k(x2-x2)(5)式中:k()为待设计的矩阵。对式(4)求导,得到 参数估计误 差的动态方程为z=+x1x2+x2+x2x2(6)本文所设计的参数自适应律为=-x1x2-x2(+)-x2x2(7)将式(7)代入式(6)中得到z=-x2(+-)=-x2 z(8)通过求解P D E式(9)找到合适的函数,使z(t)的动力学系统变为z=-T z,满足其指数收敛的性质。x2=T(x1,x2)(9)式(9)所示的P D E不满足可积条件,无法求得该式的解析解。因此下一步通过“近似
22、解”的方法来求解偏微分方程(9)。S t e p 2:根据文献1 3的P D E“近似解”的方法:引入状态滤波器,将回归矩阵(x1,x2)中的积分变量用滤波器输出替代,通过积分得到近似解。本文所设计函数的具体表达式为(x1,x2,x2)=x2 101(x1,s,x2 2)ds+x2 202(x1,x2 1,s)ds(1 0)式中:0。定义滤波误差ex2=x2-x2,则函数()可以被改写为401 西安工程大学学报 第3 7卷 1(x1,x2 1,x2 2)=1(x1,x2 1,x2 2)-2j=1ex2j1j(x1,x2,ex2)2(x1,x2 1,x2 2)=2(x1,x2 1,x2 2)-2
23、j=1ex2j2j(x1,x2,ex2)(1 1)式中:函数i j()R2。将式(1 0)和式(1 1)代入式(8),得到参数估计误差的动态为z=-T(x1,x2,x2)(x1,x2)z=-T(x1,x2)(x1,x2)z+2j=1ex2jj(x1,x2)z(1 2)式中:j(x1,x2,ex2)=1j(x1,x2,ex2)2j(x1,x2,ex2)。从式(1 2)很明显看出,j()是由状态滤波器引入的误差项,也可以将其视为偏微分方程真解和近似解之间的误差。接下来引入动态缩放因子1 4消除偏微分方程真解和近似解之间的误差。S t e p 3:引入动态缩放因子1 4,消除近似解和真解之间的误差,
24、降低前面干扰项的影响,并加快系统的收敛速度,同时也证明所设计的I&I自适应参数估计器的参数估计误差收敛到零。引入动态缩放因子r,定义缩放后的参数估计误差:=1rz(1 3)式中:r是待设计的动态缩放因子。对式(1 3)求导并将式(1 2)代入得到:=-T+2j=1ex2jj(x1,x2)-rr(1 4)所设计的动态缩放因子的具体形式为r=c r2j=1e2x2j(x1,x2,ex2)2 r(0)1(1 5)式中:c1,是矩阵的2-范数。对滤波误差ex2求导,并将式(3)和式(5)代入,得到滤波误差的动态方程为ex2=-k ex2+r(x1,x2)z(1 6)式中:k()为待设计的对称矩阵。通过
25、设计矩阵k(),确保动态缩放因子r是有界的,并且系统在(,ex2)=(0,0)处具有全局一致稳定的平衡点,即k=r2I+c r2d i a g j(x1,x2,ex2)2(1 7)式中:和为正常数。构造L y a p u n o v函数V()=0.5T,对其求导并将式(1 4)代入,并结合Y a n g不等式得V()=-|2+2j=1ex2jTj(x1,x2)-rr|2-|2+122j=1ex2jTj+TTj-12j=1ex2jj2|2-2|2+12j=1ex2j|Tj|2-12j=1ex2jj2|2-2|2(1 8)因此,系统在原点具有全局一致稳定的平衡点,且从式(1 3)和上述分析明显看出
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