关于拟正则Armendariz环.pdf
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1、第 卷 第期 年月金 陵 科 技 学 院 学 报J OUR NA LO FJ I N L I NGI N S T I TUT EO FT E CHNO L O G YV o l ,N o M a r,D O I:/j c n k i /n 关于拟正则A r m e n d a r i z环宋雪梅(兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州 )摘要:引入拟正则A r m e n d a r i z环并研究其性质.证明弱A r m e n d a r i z环是拟正则A r m e n d a r i z环,直积iIRi是拟正则A r m e n d a r i z环当且仅当每个环Ri(iI)是拟正则A
2、r m e n d a r i z环,同时证明R是拟正则A r m e n d a r i z环当且仅当上三角矩阵环Tn(R)(n)是拟正则A r m e n d a r i z环,并通过例子说明任意环R上的全矩阵环Mn(R)(n)不是拟正则A r m e n d a r i z环.关键词:拟正则元;弱A r m e n d a r i z环;拟正则A r m e n d a r i z环;半交换环;直积;上三角矩阵环中图分类号:O 文献标识码:A文章编号:X()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目()作者简介:宋雪梅(),女,甘肃平川人,教授,硕士,主要从事环理论相关研究.O nQ u
3、a s i r e g u l a rA r m e n d a r i zR i n g sS ONGX u e m e i(L a n z h o uC i t yU n i v e r s i t y,L a n z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:Q u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i z r i n g sa r e i n t r o d u c e da n dt h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d I t i sp r o v e dt h a tw
4、 e a kA r m e n d a r i zr i n g sa r eq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i zr i n g s,a n dd i r e c tp r o d u c t siIRii saq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i z r i n g i f a n do n l y i f e a c hRi(iI)i saq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i zr i n g I t i s a l s op r o v e d t h
5、a tRi sq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i z r i n g i f a n do n l y i f t h eu p p e r t r i a n g u l a rm a t r i xr i n gTn(R)(n)i saq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i zr i n g,a n da ne x a m p l e i sg i v e nt o i l l u s t r a t e t h a t t h e f u l lm a t r i xr i n gMn(R)(n)o
6、na n yr i n gRi sn o t aq u a s i r e g u l a rA r m e n d a r i z r i n g K e yw o r d s:q u a s i r e g u l a re l e m e n t;w e a k A r m e n d a r i zr i n g;q u a s i r e g u l a r A r m e n d a r i zr i n g;s e m i c o mm u t a t i v er i n g;d i r e c tp r o d u c t;u p p e r t r i a n g u l
7、a rm a t r i xr i n g称R是A r m e n d a r i z环,如果对于任意的f(x)niaixi,g(x)mjbjxjRx,当f(x)g(x)时,则对任意的i,j,必有aibj.称R是左M c C o y环,如果对于任意的f(x),g(x)Rx,当f(x)g(x)时,则必存在rR,使得r g(x),类似地可定义右M c C o y环.称R是M c C o y环,若R既是左M c C o y环,又是右M c C o y环.显然,A r m e n d a r i z环是M c C o y环.关于A r m e n d a r i z环已有许多推广研究,如斜A r m
8、e n d a r i z环、幂级数A r m e n d a r i z环和弱A r m e n d a r i z环等.设是环R的自同态,称R是斜A r m e n d a r i z环,如果对于任意的f(x)niaixi,g(x)第期宋雪梅:关于拟正则A r m e n d a r i z环mjbjxjRx;,当f(x)g(x)时,则对任意的i,j,aii(bj).关于M c C o y环也有许多推广研究,如M c C o y环的O r e扩张、斜M c C o y环等.设是环R的自同态,f(x)niaixi,g(x)mjbjxjRx;,且f(x)g(x),称R是右斜M c C o y环
9、,如果存在rR,使得对于任意的i,都有aii(r);称R是左斜M c C o y环,如果存在sR,使得对于任意的j,都有s bj.称R是斜M c C o y环,如果R既是右斜M c C o y环,又是左斜M c C o y环,文献 证明了斜A r m e n d a r i z环R是右斜M c C o y环,但不一定是左斜M c C o y环.称R是弱A r m e n d a r i z环,若对任意的f(x)niaixi,g(x)mjbjxjRx,当f(x)g(x)时,则对任意的i,j,必有aibjn i l(R).本文对弱A r m e n d a r i z环进行推广研究,引入拟正则A
10、r m e n d a r i z环并研究其性质.证明弱A r m e n d a r i z环是拟正则A r m e n d a r i z环,进而可得半交换环R及其商环Rx/(xn)都是拟正则A r m e n d a r i z环,证明直积iIRi是拟正则A r m e n d a r i z环当且仅当每个Ri是拟正则A r m e n d a r i z环,同时证明R是拟正则A r m e n d a r i z环当且仅当上三角矩阵环Tn(R)(n)是拟正则A r m e n d a r i z环,并通过例子说明任意环R上的全矩阵环Mn(R)(n)不是拟正则A r m e n d a
11、r i z环.在本文中,R表示有单位元的结合环,n i l(R)表示环R的所有幂零元的集合,Tn(R)表示环R上的nn上三角矩阵环,Mn(R)表示环R上的nn全矩阵环.拟正则A r m e n d a r i z环定义称R是拟正则A r m e n d a r i z环,如果对于任意的f(x)niaixi,g(x)mjbjxjRx,当f(x)g(x)时,则对任意的i,j,aibj是拟正则元.定理若R是弱A r m e n d a r i z环,则R是拟正则A r m e n d a r i z环.证明设f(x)niaixi,g(x)mjbjxjRx,且f(x)g(x),则对于任意的i,j,ai
12、bjn i l(R).假设(aibj)ki j,这里ki j是一些正整数,于是(aibj)aibj(aibj)(aibj)ki j aibj(aibj)(aibj)ki j (aibj)()因此对于任意的i,j,aibj是拟正则元,从而R是拟正则A r m e n d a r i z环.根据定理,对于半交换环可得下面结论.称R是半交换环,如果对任意的a,bR,当a b时,则必有a R b.推论半交换环R是拟正则A r m e n d a r i z环.证明由文献中的推论 与定理即得.推论设I是环R的理想,R/I是弱A r m e n d a r i z环.若I是半交换的,则R是拟正则A r m
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