定积分法求解弯曲变形问题.pdf
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1、力与2023年6 月实第4 5 卷第3 期践学定积分法求解弯曲变形问题1)刘荣刚*,2)郝志伟边文凤十(哈尔滨工业大学(威海)海洋工程学院,山东威海2 6 4 2 0 9)(哈尔滨工业大学(威海)材料科学与工程学院,山东威海2 6 4 2 0 9)摘要本文采用定积分方法求解梁的弯曲变形问题。该方法不需要采用边界条件来确定积分常数,有效地简化了问题的求解过程;该方法以梁的转角微元为逻辑起点,清晰地刻画了梁弯曲变形的累加过程,便于深刻理解载荷作用下梁的变形历程关键词挠曲线方程,转角方程,定积分,微元中图分类号:0 34 1文献标识码:Adoi:10.6052/1000-0879-22-438SOL
2、UTIONOFDEFLECTIONOFBEAMSBYDEFINITE INTEGRAL METHODl)LIU Ronggang*,2)HAO Zhiwei*BIANWenfengt*(School of Ocean Engineering,Harbin Institute of Technology,Weihai,Weihai 264209,Shandong,China)t(School of Materials Science and Engineering,Harbin Institute of Technology,Weihai,Weihai 264209,Shandong,China
3、)Abstract In this paper,the definite integral method is used to solve the deflection of beams.The method doesnot need boundary conditions to determine the integral constant,which effectively simplifies the solutionprocess of the problem.The method takes the slope infinitesimal element of the beam as
4、 the logical startingpoint,and clearly describes the cumulative process of deflection of beams,which is convenient for a deepunderstanding of the deflection process of the beam under load.Keywordss equation of the deflection curve,equation of the slope,definite integral,infinitesimal弯曲变形问题是材料力学课程中的基
5、本问题,在传统的材料力学教材中-6,一般采用挠曲线近似微分方程计算挠曲线方程和转角方程。此方法一般需要采用边界条件或连续性条件来确定积分常数,计算过程较为九长。另一方面,当确定边界条件后,采用挠曲线近似微分方程方法,其计算过程即为标准的数学计算,从计算过程中不易观察弯曲变形的历程。本文提出的弯曲变形问题的定积分解答,不需计算积分常数,计算过程清晰地体现了变形的累加过程,可以有效地提升现有弯曲变形问题的理解水平。下面采用定积分方法对悬臂梁和简支梁在不同载荷作用下的弯曲变形问题分别进行讨论。1集中力偶作用下的悬臂梁集中力偶作用下的悬臂梁如图1(a)所示。定点C变形前的位置为,考虑到梁的轴线位于中性
6、层,因此变形后此即为圆弧AC的弧长。图1中,M为外力偶,p为梁受力变形后挠曲线的曲率半径,4是位置处水平方向上的位移,2022-08-01收到第1 稿,2 0 2 2-0 9-0 9 收到修改稿。1)山东省自然科学基金(ZR2022QF113)资助项目。2)刘荣刚,副教授,研究方向为量子光学和材料力学。E-mail:l i u r g h i t w h.e d u.c n引用格式:刘荣刚,郝志伟,边文凤.定积分法求解弯曲变形问题.力学与实践,2 0 2 3,4 5(3):6 8 0-6 8 3Liu Ronggang,Hao Zhiwei,Bian Wenfeng.Solution of d
7、eflection of beams by definite integral method.Mechanics inEngineering,2023,45(3):680-683681刘荣刚等:定积分法求解弯曲变形问题第3 期=-(圆弧AC的水平投影长度),w为定点C的挠度,dai(0 i)为弧长微元,d01(0 1)为转角微元。将梁变形后弧长为的位置向轴做垂线,梁在位置处挠度的大小就是垂线段CD的长度。因悬臂梁固定端约束处的挠度和转角均为零,由此处做积分累加,即可得到转角方程和挠曲线方程分别为d1M(ci)dc1(a)=d01=Jop(a)JoEI(1)Mda1Mc(01)JEIEIMC1w
8、()=sin d(i)dai=-sindc1JoJoEI(2)EIMacOS(01)MEIdc1AAK4WyMd01BADPPC0(a)(b)(c)图1集中力偶作用下悬臂梁示意图下面我们证明式(2)是集中力偶作用下悬臂梁挠曲线方程的严格解。在集中力偶作用下,悬臂梁的轴线由直线变为圆弧,利用圆弧所满足的几何关系(见图1(b)),并考虑到平面直角坐标系中挠度向下为负,故梁在任意位置处的挠度可写为w()=-52()二2()PEIMc-p(1-cos0)=(01)COSMEI(3)2即式(2)得证。取泰勒近似:w()=M2EI1o,与现行教材中采用曲线近似微分方程计2算的结果完全相同。悬臂梁在沿着水平
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