耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究.pdf
《耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究.pdf(7页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第4 6卷2期2 0 2 3年6月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.2J u n.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 5基金项目:国家自然科学基金资助青年项目(1 2 0 0 1 2 5 6)作者简介:苗利军(1 9 8 4-),女,黑龙江依安人,辽宁师范大学讲师,博士.E-m a i l:m i a o l j 1 2m a i l s.j l
2、u.e d u.c n 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 2-0 1 5 1-0 7 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 2 0 1 5 1耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究苗利军,黄驿为(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:随机偏微分方程作为描述受随机环境影响的复杂系统的数学模型,在力学、化学、生物学及经济金融学等领域中得到了广泛的应用.关于随机偏微分方程性质的研究是国内外专家学者关注的热点之一.耗散型耦合随机非线性薛定谔方程是一类特殊的随机偏微分方程,在等离子物理和耗散量子场论
3、中具有重要作用.提出了该方程具有随机共形多辛几何结构,给出了耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛守恒律,以及电荷的平均演化规律和能量演化规律.关键词:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程;电荷的平均演化规律;能量演化规律中图分类号:O 2 1 1.9 文献标识码:A耗散型耦合非线性薛定谔方程作为一类特殊的偏微分方程,可用于描述许多自然现象的物理过程,并在很多不同领域都有应用,例如:凝聚态物理、生物建模和非线性光学等1.对于确定的带线性耗散项的耦合非线性薛定谔方程,傅浩1提出了方程的多辛形式和共形守恒律.近年来,受随机噪声影响的耦合非线性薛定谔方程的研究已逐渐受到学者们的关注.H o n g等
4、人2研究了耦合随机非线性薛定谔方程的随机多辛几何结构,并给出了电荷和能量等物理性质.基于上述文章的结果,本论文将给出由加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛守恒律,以及电荷的平均演化规律和能量演化规律.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程 考虑以下加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程 i du+udt+(u2+v2)udt+ia udt=idW,i dv+vdt+(v2+u2)vdt+ia vdt=idW,0tT,x,(1)这里u,v为两个复振幅,和分别表示群速度色散、自相位调制参数和交叉调制系数,耗散系数a0,为噪声尺度,复值W i e n e r过程W(t)是定义
5、在给定的赋-域流的概率空间(,F,Ftt0,P)上的Q-W i e n e r过程,并且W有如下K a r h u n e n-L o v e展开W(t,x)=k=0Q bk(x)k(t)=k=0kbk(x)k(t),其中,Q为L2=L2(0,1)上的线性正定算子,且与算子可交换,满足Q bk=kbk,bkk1是齐次算子的特征向量,k=1k+i2k,且ikk1,i=1,2为一族独立同分布的实值标准布朗运动.1 5 2 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷对于耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1),设u=r1+is1,v=r2+is2,定义空时白噪声=dWdt,=1+i2,且r1,s1,r2,
6、s2,1=dW1dt和2=dW2dt均为实值随机过程,记p1=r1x,q1=s1x,p2=r2x,q2=s2x,z=(r1,s1,r2,s2,p1,q1,p2,q2)T,上述方程可以转化为如下形式Kdtz+Lxzdt=-a K zdt+S0(z)dt+S1(z)dW1+S2(z)dW2,(2)其中,K=J0 0 00J0 00 0 0 00 0 0 0,L=0 0-I00 00-II0000I00,其中,J=01-1 0,I=1 00 1,S0(z)=4(r21+s21)2+(r22+s22)2+2(r21+s21)(r22+s22)+12(p21+q21+p22+q22),S1(z)=-(s
7、1+s2),S2(z)=(r1+r2),“”表示方程在S t r a t o n o v i c h型随机积分意义下成立.类似文献3 中定理3.1的证明,得到以下定理.定理1.1 方程(2)满足随机共形多辛守恒律dt(t,x)+x(t,x)dt=-2a(t,x)dt,(3)即x1x0(t1,x)dx-x1x0(t0,x)dx+t1t0(t,x1)dt-t1t0(t,x0)dt=-x1x0t1t02a(t,x)dtdx,其中,=12dzKdz和=12dzLdz是由反对称矩阵K和L定义的微分2-形式.注1 如果a=0,0,随机共形多辛守恒律(3)为随机多辛守恒律2dt(t,x)+x(t,x)dt=
8、0.注2 如果=0,a0,随机共形多辛守恒律(3)为共形多辛守恒律1dt(t,x)+x(t,x)dt=-2a(t,x)dt.注3 对于方程(1),当a=0,=0时,确定的耦合非线性薛定谔方程满足多辛守恒律4-5t(t,x)+x(t,x)=0.命题1.1 对任意a0,下面的等式成立:dt(e2a t(t,x)+x(e2a t(t,x)dt=0.证 式(3)两边同时乘以e2a t有e2a tdt(t,x)+e2a tx(t,x)dt=-2ae2a t(t,x)dt,则e2a tdt(t,x)+2ae2a t(t,x)dt+e2a tx(t,x)dt=0,从而dt(e2a t(t,x)+x(e2a
9、t(t,x)dt=0.2 电荷的平均演化规律 本节给出耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的电荷的平均演化规律.由于耗散项和噪声项第2期苗利军等:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究1 5 3 的影响,方程(1)不再具有经典电荷的守恒定律,但是具有衰减的指数型演化规律.定理2.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)具有电荷的平均演化规律 Eu2L2=e-2a tEu02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kbk2(x)dxds,Ev2L2=e-2a tEv02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kbk2(x)dxds,a.s.(4)证 为了研究耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的电
10、荷平均演化规律,将I t 公式应用于函数(t,u)=e2a tu2dx,得到t=2ae2a tu2dx,D(u)()=2 e2a tR e(u-dx),D2(u)(,)=2 e2a tR e(-dx),其中,D,D2是沿方向和(,)的一阶和二阶F r c h e t导数,u-是函数u的共轭函数.从I t 公式中看出,有 d(t,u)=D(t)+D(u)()+12D2(u)(,)=D(t)+D(u)(du)+12D2(u)(du,du)=2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-(du)dx)+e2a tR e(du)(du)dx),(5)其中,2 e2a tR e(u-(du)dx
11、)=2 e2a tR e(u-(i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx)=2 e2a tR e(i u u-+i(u2+v2)u2-a u2)dt+u-dW)dx)=2 e2a tR e(-a u2dt+u-dW)dx)=-2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-dWdx)和e2a tR e(du)(du)dx)=e2a tR e(-i u-i(u2+v2)u-a u)dt+dW (i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx)=e2a tR e(dW)(dW)dx)=e2a t2(dW)(dW)dx,代入式(5)整理得 d(t,u)=2ae2a tu2dtdx
12、-2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2(dW)(dW)dx=1 5 4 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷2 e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2(dW)(dW)dx=2e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2k=1kb2k(x)dtdx,即(t,u)=(0,u(0)+2t0e2a sR e(u-dx)dW+2t0e2a sk=1kb2k(x)dxds,两边同时取数学期望得E(t,u)=E(0,u(0)+2Et0e2a sk=1kb2k(x)dxds,由(t,u)=e2a tu2dx,Ee2a tu2dx=Eu02dx+2Et0e
13、2a sk=1kb2k(x)dxds,两边同时乘以e-2a t得Eu2L2=e-2a tEu02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kb2k(x)dxds.类似地,有Ev2L2=e-2a tEv02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kb2k(x)dxds.证明完毕.3 能量演化规律 本节介绍耗散型耦合随机非线性薛定谔方程解的能量演化规律,定义哈密尔顿量H(u,v)=4(u4+v4)-2(u2+v2)+2u2v2dx.定理3.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)具有下面的能量演化规律H(u,v)=e-4a tH(u0,v0)-a t0R ee-4a(t-s)(u2+v2)dxds+t0
14、I me-4a(t-s)(u2u-+v2v-)dWdx+t0I me-4a(t-s)(v2u-+u2v-)dWdx+t0I m(u-+v-)dWdx+(+)22k=1t0e-4a(t-s)u2kbk(x)2+v2kbk(x)2dxds+2k=1t0e-4a(t-s)(R e(u-kbk(x)2+(R e(v-kbk(x)2dxds+22k=1t0e-4a(t-s)R e(u-v-kbk(x)2)dxds-2k=1t0e-4a(t-s)(kbk(x)2dxds,a.s.证 为了获得耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的能量演化规律,对H(u,v)应用I t 公式,得到DuH(u,v)()=R e
15、(u2+v2)u-dx-u-dx),DvH(u,v)()=R e(v2+u2)v-dx-v-dx),第2期苗利军等:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究1 5 5 D2u,uH(u,v)(,)=R e(u2+v2)-dx-dx)+2R e(u-)R e(u-)dx,D2v,vH(u,v)(,)=R e(v2+u2)-dx-dx)+2R e(v-)R e(v-)dx,D2u,vH(u,v)(,)=2R e(u-)R e(v-)dx,其中,DuH(u,v)(),D2u,uH(u,v)(,)表示H(u,v)关于u沿方向的一阶导数和H(u,v)关于u,v沿方向(,)的二阶导数,利用I t 公式有d
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 耗散 耦合 随机 非线性 薛定谔 方程 性质 研究
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。