下集列连通分支及其对连通性的刻画_唐照勇.pdf
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1、文章编号:()下集列连通分支及其对连通性的刻画唐照勇,姜广浩(扬州大学 广陵学院,江苏 扬州 ;淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 )摘要:为研究偏序集的连通性,本文通过定义偏序集的下集列,进而给出下集列连通分支的概念。以下集列连通分支为工具刻画了偏序集以及子偏序集的连通性。指出连通关系是一个等价关系,而一个类的本质就是一个下集列连通分支。揭示了下集列连通分支的特征是一个连通分支并。还证明了偏序集可唯一地分解为一些连通分支的不交并。最后探究了连通性在保序同构映射下仍然具有连通性。关键词:偏序集;下集列;下集列连通分支;连通;保序同构映射中图分类号:文献标识码:引言偏序集刻画了事物的顺序特征
2、,连通性是偏序集理论重要研究内容。年,方捷在文献 第八章中阐述了序连通概念,即任意两个元素间可以找到有限多个元素,使得这些元素间是依次可比地。在 年和 年,唐照勇等在文献、中也研究了偏序集的连通性,不过构造的集列中每个步集(除了第一个步集外)既是上升集,也是下降集。在此基础上,本文以下集列为工具,构造下集列连通分支来刻画偏序集的连通性。提供刻画偏序集连通性的新方法及新形式,由此得到许多良好的结论。由此可知,刻画偏序集连通性的途径可以是多样地。预备知识本文会用到序理论中一些基本概念,而这些概念都是大家熟知地,如偏序集、子偏序集、上升集(上集)、下降集(下集)、格、保序同构映射等,故不再列举这些定
3、义。引理设(,)是偏序集,是的非空子集。则是上升(下降)集当且仅当()其中,。引理设(,)是偏序集,是的非空子集。则有()()();()()()推论设(,)是偏序集,是的非空子集。若,则有第 卷第期 模糊系统与数学 ,年月 ,收稿日期:;修订日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目();淮北师范大学自然科学结余经费资助项目(科研纵向项目)()作者简介:唐照勇(),男,安徽肥西人,讲师,研究方向:序结构理论,拓扑学,理论;姜广浩(通讯作者)(),男,江苏沛县人,教授,研究方向:拓扑学,理论。;引理设,是偏序集,:是一个保序同构映射当且仅当下面的条件成立:()是满射;()(,)()()。下集列与下
4、集列连通分支定义(下集列)设(,)是偏序集,。按以下步骤操作:()记;()记;()记;()记;()记;()记;()记;()记;无限进行下去,将得到的这些集合有顺序的排成一列、类似于数列,这些按顺序排列的集合我们称为由元素生成的集列,记作。称第个集合为集列的第个步集。注意到第二个步集是一个下降集,故又称此集列 是由元素生成的下集列。易知下集列的每一个偶数步集都是下降集,除第一个步集外,每一个奇数步集都是上升集,并且有(,)成立。定义(下集列连通分支)设(,)是偏序集,是下集列。记,则称 为元素的下集列连通分支。定理设(,)是偏序集,。的充要条件是存在有限个元素,使得 ()或 ()证明因为等价于,
5、使得。记,下面分类讨论。()当是一个奇数时。易知等价于,使得。同理等价于,使得。如此进行下去,便得到有限个元素,使得 ()当是一个偶数。类似可证,存在有限个元素,使得模糊系统与数学 年 注定理结论中式()和式()是可以相互转化的。例如当是一个偶数时,结论()的形式:也可以写成结论()的形式:因而无论采用哪种形式来说都不影响定理的正确性。注这些有限个元素,。这由定理的证明过程比较容易知道。刻画连通性下面将利用下集列连通分支来刻画偏序集的连通性。定义(连通)设(,)是偏序集,。若存在一个下集列连通分支,使得,则称和是连通的,记作。也就是说属于同一个下集列连通分支的两个元素是连通的。定理设(,)是偏
6、序集,。若,则。证明假设,则存在,使得 且。任取,下证。依据定理必要条件可知,存在有限个元素,使得 存在有限个元素,使得 存在有限个元素,使得 将这些元素合起来便有个元素使得(相同元素重复计算)在依据定理充分条件可知,故。同理可证,所以上述连通关系构成了偏序集元素间的一个关系,而且这个关系是一个等价关系。定理偏序集的连通关系是一个等价关系。证明设(,)是偏序集,。()显然关系满足反身性:因为,故;()关系满足对称性:假设,由连通定义知存在一个下集列连通分支,使得,故;()关系满足传递性:假设,。由连通定义知存在下集列连通分支,使得,从而,故。所以,即。由近世代数知识可知,一个等价关系必然形成一
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