关于无穷积分与数项级数的一些思考.pdf
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1、第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.005高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023关于无穷积分与数项级数的一些思考陆小庆(江苏第二师范学院数学科学学院,江苏南京2 112 0 0)摘要以几何意义为指引,无穷积分与数项级数之间的关联可通过“积分和”及构建辅助级数建立起来.结合不同例题,加深对无穷积分与相关数项级数同敛散的认识。关键词无穷积分;数项级数;敛散性;几何意义中图分类号0 17 2.2;0 17 3.1文献标识码A文章编号10 0 8-1399(2
2、0 2 3)0 3-0 0 10-0 4Improper Integrals and Infinite SeriesLU Xiaoqing(School of Mathematical Sciences,Jiangsu Second Normal University,Nanjing 211200,China)Abstract With the geometric meaning,the improper integrals and infinite series can be connected by“in-tegral sum and the auxiliary series.With e
3、xamples,the concurrent convergence of the improper integralsand the related series can be better understood.Keywords improper integral,infinite series,convergence and divergence,geometric meaning数项级数是无穷个数相加为了克服无穷带来的计1引言算终止性问题,无穷积分和数项级数在定义收敛时采无穷积分与数项级数是微积分的两个重要概用了类似的处理方法1.2:对于无穷积分,先令自变念,二者之间既有联系,又有区别
4、本文采用类比的量(也是积分变量)在有限区间a,uCa,十o方法,对无穷积分与数项级数的收敛性定义,收敛的上变化,并假设f()在任意a,u 上均可积,计算性质以及两者之间的联系进行辨析,加深对其的理定积分 F(u)=f()d,再令u十,以极限解与认识.2剑敛散性的概念2.1收敛的定义无穷积分与数项级数都涉及无穷,无穷积分中积分变量的变化范围,即积分区间为无穷区间a,十o),收稿日期:2 0 2 2-0 9-15基金项目:国家自然科学基金(12 0 0 12 43);江苏省“青蓝工程”资助项目;江苏第二师范学院教学改革研究课题(JSSNU-JXGG2021YB12).作者简介:陆小庆(198 4一
5、),女,江苏南京,博士,副教授,单复变函数,Email:.lim F(u)=limu+u+8是否收敛的定义标准;对于数项级数,先计算有限项和,即部分和S,=ui十uz十十un,再令n十oo,以极限limS,是否存在作为级数是否收敛的定义标准.2.2柯西准则修改日期:2 0 2 2-12-0 7既然无穷积分与数项级数都是在有限的基础之上通过取极限来考虑无穷变化时的“和数”(积分可以看成是一种特殊的“和”),那么就可以从极限存在的柯西准则出发,获得刻画无穷积分或数项级数收f()dc是否存在作为无穷积分第2 6 卷第3期敛的柯西准则:无穷积分收敛的柯西准则无穷积分()dc收敛的充要条件是:任给。0,
6、存在Ga,只要ul,u2 G,便有f()da0,存在正整数N,只要n2 nN,便有|un+1+un+2+.+un f(n)也收敛,因为此“积分和”对于无穷区间1,十)的分割细度IT I=1,达不到对于细度的要求;反之11在某些点处的函数值可以任取,因此随着的不断变化,函数值f()无需具有统一的变化特征;但对于数项级数而言,要想矩形的面积和un+1十un+2+un足够小,在每个小矩形的底边长固定为1的情况下,只能要求矩形的高足够小,特别地,只截取一个项数充分大的矩形,记其面积为unz,则unz要足够则u.即为,f(a)dz的一个积分和n=1n=1112“积分和”(n)收敛,并不能保证其它的“积分
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