Ma-Minda型双向单叶螺旋函数推广类的系数估计.pdf
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1、嘉应学院学报(自然科学)8Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数推广类的系数估计傅秀莲1,罗茜2(1.广东工贸职业技术学院,计算机与信息工程学院 广州 510510;2.嘉应学院 数学学院,广东 梅州 514015)摘要:利用 Hohlov 算子,定义了解析双单叶函数类的新子类 Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数类,a b cH ;利用从属关系,得到了该类中函数的系数2a和3a的有界估计以及 Fekete-Szego 不等式,推广了一些前人研究的结果.关键词:解析函数;Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数;Hohlov 算子;系数估计;Fekete-Szego 不等式中图分类号:O174.51
2、文献标识码:A文章编号:1006-642X(2023)03-0008-081 预备知识研究用 Hohlov 算子定义了解析双单叶函数类的新子类 Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数类,cbaH.因此,首先回顾解析双单叶函数和 Hohlov 算子的一些符号与性质.对于复数集合C,用A表示在单位圆盘1,:zCzzD内具有如下形式2)(nnnzazzf(1)的全体解析函数所成的函数类.用S表示在D内单叶且满足A的所有子类.对于任意函数 Szf,它是可逆的且其逆函数1f满足 Dzzzff,1和,1wwff ,41;00frfrw这里 221wawwf33222waa,55443232waaaa如果函数
3、f和1f在D内单叶,则称函数 Azf在D内双单叶1.用表示D内双单叶函数类.设 f z和 zg在D内解析,如果存在D内的 Schwarz 函数 w z使得 1,00zww且满足 Dzzwfzg,,则称 zg从属于 f z,记为 zfzg2.利用从属定义,汤获等3引入如下 Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数类:设函数 zf由(1)式给出,如果函数 f z满足条件 sincos11izzzfzfzzfei收稿日期:2023-02-13基金项目:广东省自然科学基金项目(2021A1515010058);广东工贸职业技术学院科研项目(ZK-2019-07)作者简介:傅秀莲(1979-),女,广东云浮
4、人,副教授,硕士,主要研究方向:复分析及其应用.罗茜(1981-),女,广东梅州人,讲师,博士,主要研究方向:复分析及其应用.第 41 卷第 3 期2023 年 6 月Vol.41NO.3Jun.2023嘉应学院学报(自然科学)JOURNAL OF JIAYING UNIVERSITY(Natural Science)第 41 卷第 3 期傅秀莲,罗茜Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数推广类的系数估计9和 sincos11izwwgwgwwgei,其中,22,0,0DzDw则称,Hzf,这里 1g wfw,z是在D内为正实部解析函数,且满足 ,0010,z将单位圆盘D映射到D内关于实轴对称的
5、星象域.对于给定的函数 Azgzf,,其中,2nnnzazzf,2nnnzbzzg定义其 Hadamard 乘积或者卷积gf 为,2Dzzbazzgfnnnn(2)并且对于复数参数ba,和,3,2,1,0cc高斯超几何函数zcbaF;,12为 ,!11!;,12111012DznzcbanzcbazcbaFnnnnnnnnnn(3)此处 Pochhammer 符号或者位移阶乘 n为 .3,2,1),1()2)(1(,0,0,1nnCnnnHohlov4中定义如下卷积算子bacI,:,;,212,DzzatzzfzcbaFzfInnnnbac(4)此处 .!1111ncbatnnnn(5)显而易
6、见,当1b时,Hohlov算子bacI,恰巧是Carlson-Shaffer算子caL,5.对于某些合适的参数ba,和c,存在 Hohlov 算子bacI,的其他情形.例如,Choi-Saigo-Srivastava 算子011,1,II6,Owa-Srivastava 分数阶微分算子101,22Iz7,Ruscheweyh 算子11,11ID8.近年来,许多学者引入双向单叶函数的各种子类9-11,得到了该类中函数系数2a和3a的有界估计.最近,许多学者探讨D中与 Hohlov 算子有关的解析双单叶函数新子类1215.受上述研究启发,我们也将介绍用Hohlov 算子定义了解析双单叶函数类的新子
7、类 Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数类,cbaH,结合正实部解析函数的系数估计以及微分从属理论,经过计算,得到了该类中函数的系数2a和3a的有界估计以及 Fekete-Szego 不等式,所得结果推广了已有的相关结果.嘉应学院学报(自然科学)10定义定义 1 1设函数 zf由(1)式给出,如果函数 zf满足条件:,sincos11,izzzfIzfIzzfIebacbacbaci和 ,sincos11,iwwwgIwgIwwgIebacbacbaci其中,22,0,0Ccba,3,2,1,0c,DzDw则称,cbaHzf,这里 1g wfw,z是在D内为正实部解析函数,且满足 ,0010,
8、z将单位圆盘D映射到D内关于实轴对称的星象域.注注 1 1在定义 1 中,若适当选取参数ba,和c,可得下列函数子类:(1),1,bbH,H3;(2),0,1,bbH,H16.为了得出主要结果,需要用到以下引理.引理引理 1 117令P是所有具有下列形式,11Dzzpzpnnn并且满足 0Rezp和 10 p的解析函数类,那么2np,2,1n.特别地,对于下列函数,21111Dzzzzzpnn等式对所有n成立.引理引理 2 218若函数 Pzpzpnnn11,则对任意复数,都有21,1max2212 pp.2 主要结果及其证明设 zP,满足 01,00,并且 z将单位圆盘D映射到D内关于实轴对
9、称的星象域.为了方便,不失一般性,假设 z有展式:,0,1133221RBBzBzBzBzn(6)则有下面的定理 1 和定理 2.第 41 卷第 3 期傅秀莲,罗茜Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数推广类的系数估计11定理定理 1 1设函数 zf由式(1)给出,若,cbaHzf,则有,12sec21,sec,tan1212sec2min12212212122312BttBiBBBtBa和,21sec2,2secsecmin3131232213tBtBtBa tan12122sec2tan1212221213212211iBBBtiBBBB .tan12122sec2tan1232221213
10、212211iBBBtiBBBB证 明证 明因 为,cbaHzf,由 定 义 可 得,存 在 两 个 解 析 函 数:,v,DD 且 000 v,满足 ,sincos11,izzzfIzfIzzfIebacbacbaci(7)和 .sincos11,iwvwwgIwgIwwgIebacbacbaci(8)将式(7)和式(8)分别化简可得 ,tan1tan11,zizzfIzfIzzfIibacbacbac(9)和 .tan1tan11,wviwwgIwgIwwgIibacbacbac(10)定义P中的两个函数p和q如下:,11133221zpzpzpzzzp(11)和 .11133221wqw
11、qwqwvwvwq(12)嘉应学院学报(自然科学)12则从式(11)和式(12)可以得到 ,222221113212211322121zppppppzppzpzpzpz(13)和 ,222221113212211322121wqqqqqqwqqwqwqwqwv(14)结合式(6)可得到,412212112212212111zpBppBzpBz(15)和.412212112212212111wqBqqBwqBwv(16)又结合式(9)、(10)、(15)和式(16),可得,21tan11122pBati(17),41221122tan1212212122233pBppBatati(18),21t
12、an11122qBati(19).41221322tan1212212122233qBqqBatati(20)由式(17)和式(19),可得,tan12tan12111122iqBipBat(21)可推断,11qp(22)和 .tan1821212122222qpBati(23)将式(18)和式(20)相加,得到.4212tan1122121221222BBqpqpBiat(24)再将式(21)和式(22)代入式(24),可得.tan1212tan1221221222121iBBBiqpBp(25)第 41 卷第 3 期傅秀莲,罗茜Ma-Minda 型双向单叶螺旋函数推广类的系数估计13利用式
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