与p级数的余项有关的级数与极限_黄永忠.pdf
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1、 收稿日期2 0 2 2-0 2-2 0;修改日期2 0 2 2-0 8-3 1 基金项目高等学校大学数学教学研究与发展中心2 0 2 0年项目(CMC 2 0 2 0 0 2 0 4);华中科技大学教学研究专项项目(2 0 1 9 0 2 6);华中科技大学教学研究专项项目(2 0 2 0 0 2 3)作者简介黄永忠(1 9 6 5-),男,博士,教授,从事数学分析课程教学研究.E-m a i l:h u a n g y z h u s t.e d u.c n 通讯作者雷冬霞(1 9 7 3-),女,博士,副教授,从事数学分析课程教学研究.E-m a i l:d o n g x i a l
2、e i h u s t.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2与p级数的余项有关的级数与极限黄永忠,雷冬霞(华中科技大学 数学与统计学院,武汉4 3 0 0 7 4)摘 要通过用E u l e r-M a c l a u r i n公式建立p级数余项的一个较高阶的等式,给出两个与p级数余项有关的级数在p2,p=2,以及1p1时,p级数k=11kp是收敛的.文献1 利用p级数的余项rn(p)=k=n+11kp关于1n的阶,给出了级数n=1nmrn(p)当pm
3、+21时的计算式子.本文继续考虑与rn(p)有关的级数和极限.熟知,当p1时,rn(p)=1p-11np-1+o 1np-1(可见文献1).本文先用E u l e r-M a c l a u r i n公式(文献2 式(1 9)建立rn(p)的一个进一步的等式(见引理2)rn(p)=1(p-1)np-1-12np+O 1np+1,然后考虑级数n=1 k=n1kp-1(p-1)np-1,得到它在p2,p=2以及1p1,(p)=k=11kp.2 两个引理引理13 对q(0,1),有nk=11kq=1(1-q)nq-1+O 1nq,(1)其中是与q有关的常数,且=-q1-q-q+1x-xxq+1dx
4、-11-q,-q1-q.(2)注1 由引理1和等式nk=11(2k-1)q=2nk=11kq-12qnk=11kq可得nk=11(2k-1)q=1(1-q)2qnq-1+1-12q+O 1nq.(3)引理2 对p1,有k=n+11kp=1(p-1)np-1-12np+O 1np+1.(4)证 对f(x)=1xp,有f(x)=-pxp+1,f(x)=p(p+1)xp+2,从而由文献2 的E u l e r-M a c l a u r i n公式(式(1 9),得mk=n+11kp=mndxxp+12(f(m)-f(n)+11 2(f(m)-f(n)-mnB2(x)f(x)dx =1p-11np-
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