一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计_谢春艳.pdf
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1、一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计*谢春艳张梅(北京师范大学数学科学学院,数学与复杂系统教育部重点实验室,100875,北京)(Zn)cnkn kn=o(cn)knP(Zn=kn)ZnEZ1lnZ1=ZnZn摘要对于一类带移民的上临界分枝过程,存在一列正常数可以用来描述过程的增长速度.任取一列满足和的正常数,的渐近行为即为的下偏差.假设:1)证明了过程的一个局部极限定理;2)给出了在Schrder 和 Bttcher 情形下的下偏差估计,补充并完善了已有文献的结果.关键词上临界;带移民;分枝过程;下偏差中图分类号60J80;60F10DOI:10.12202/j.0476-0301.2021
2、2680引言(Zn)设是 一 个 带 移 民 的 Galton-Watson(G-W)过程,它可由如下关系递归定义,即Zn=Zn1i=1X(n)i+n,n1,(1)X(n)in1in(X(n)i,n,i1)f(s)=i=0pisinnn,n1h(s)=i=0hisi(X(n)i,n,i1)n,n1i0pi,hi 1i=0ipim1 m 01Z0=1式中:表示第代的第 个个体,在第 代产生的后代数,且是独立同分布的(independentandidenticallydistributed,IID),具有共同的母函数;表示第 代进入系统的移民数量,且()也 是 IID 的,具 有 相 同 的 母
3、函 数.此外,假设分枝和移民()相互独立,为避免平凡的情况,对于任意的,假定,记后代分布的期望=.考虑上临界情形,即.不失一般性,本文假定.假定 是非周期函数,即集合的最大公约数为.如无特别声明,总假设过程从一个粒子出发,即.n 0(Zn)(Z0n)(cn,n0)在式(1)中,当时,退化为一般的 G-W 过程,用来表示.Heyde1证明了存在一列正常数,使得Wn:=Z0ncna.s.W,n (2)WP(W 0)=1 P(W )=成立,并且随机变量满足:;1(cn,n0)2.特别地,规范化序列可选择具有如下性质的常数列:c0=1,cn 0.(4)nZnn1n1Zn换个角度来考虑 G-W 过程的第
4、 代总人口数().当时,由式(1)定义的具有分解形式Zn=Z0n+Yn,(5)Yn=U(1)n+U(n)nU(i)n(1in)inZ0nnZ0nYnU(i)n(1in)式中:,表示第 代到来的移民在第 代的后代总数;是初始粒子在第 代时所有的后代个数.由假设可知,式(5)的和仍是独立的.显然,也是彼此独立的.n 0j=1(pjjln j)=(cn)n V当,时,Seneta3已经证明:对已知规范化因子,当时,存在非负随机变量,使得Vn:=Zncna.s.V,In:=U(1)n+U(n)ncna.s.I=V W.(6)j=1hjln j P(I )=P(V )=V(0,)Imh0 0.(7)Vv
5、如果记 的密度函数为,则由式(6),得v(x)=x0w(t)w1(xt)dt,x 0,(8)v=ww1即,表示卷积.(Zn)f(s)=i=0pisip0+p1 0p0+p1=0定义定义 1(Schrder 和 Bttcher 情形)对于上临界的 G-W 分枝过程,其后代分布的母函数.若,则 称 之 为 Schrder 情 形;若,则称之为 Bttcher 情形.在 Schrder 情形,定义 Schrder 常数为:=lnp1/lnm.h0 0当时,定义:=lnh0/lnm.ZnP(Zn=kn)(Zn)knkn=o(cn)(n )1 m Z0nZn对于分枝过程,称的渐近行为是的“下偏差”,这里
6、是一列满足的正数.假设,Fleischmann 等6研究了 Schrder和 Bttcher 情形下,上临界 G-W 过程的下偏差.对于带移民的模型,假设j=1(pjjln j),j=1jhj,(9)ZnSun 等5研究了在 Schrder 和 Bttcher2 种情形下的下偏差.对文献 5 的有关结果加以扩展,本文将在条件j=1(pjjln j)=,j=1jhj 0Znp0=0p1h0 0p0=p1=h0=0成立下展开研究,分别获得了在 Schrder 和 Bttcher情形时,上临界 G-W 过程的下偏差概率的渐近行为.技术路线源自文献 5 和 6.注意到文献 5 中的局部极限定理只证明了
7、,的情形.对此,本文给出了过程在,和2 种情形下的局部极限定理(见定理 3),推广并完善了文献 5 中的定理 2、3.以下是主要结论.p0=0p1 0定理定理 1(Schrder 情形)假设、和式(10)成立.h0 0mh0 1k1ak:=minl1:clkknnkn1)如 果,对 于,定 义.设序列满足:当时,且kncn,则有limnsupknkcn|P(Zn=k)/(m(nak)c1akv(kmnakcak)1|=0,(11)以及limnsupknkcn|P(0 0式中.p0=p1=0knnkn kn=o(cn):=minj2:pj 0:=minj0:hj 0bn:=min1ln:clnl
8、2knA1A2knn+n11kn定理定理 2(Bttcher 情形)假设和式(10)成 立.设 序 列满 足 当时,且.定义,以及,则存在 2 个正常数和使得对于满足的任意序列,有A1limninf bnnln(cnP(Zn=kn)limnsup bnnln(cnP(Zn=kn)A2.(14)f(x)g(x)x 0+0 c1 0limnsupf(n)/g(n)M用()表 示,存 在 2 个 常 数,使 得;用()表示,;用()表 示,存 在 常 数,使 得.1预备知识和几个引理gn(s,l)(Zn)l1Z0=lg0(s,l)=E(sZ0)=slE()n1令是分枝过程的母函数,其中,且该过程始于
9、,有,表示数学期望,下同.对于任意的,有gn(s,l)=E(sZn|Z0=l)=(fn(s)ln1i=0h(fi(s),s 0,1,(15)Z0=1特别地,当时,gn(s):=gn(s,1)=fn(s)n1i=0h(fi(s),n1,s 0,1.(16)在获得主要定理之前,先引入一些有关母函数的重要性质.p1h0 0命题命题 17(Schrder 情形)假定,定义2北京师范大学学报(自然科学版)第 59 卷Sn(s):=n1i=0h(fi(s)hn0,Qn(s)=fn(s)pn1.n 当时,n(s):=gn(s,l)(pl1h0)n=Sn(s)Qln(s)S(s)Ql(s)=:(s),(17)
10、s 0,1)S(s)Q(s)对于是一致的.式(17)中和满足泛函方程:h(s)S(f(s)=h0S(s),0s 1,S(0)=1,S(1)=;(18)Q(f(s)=p1Q(s),0s1,Q(0)=0,Q(1)=.(19)S(s)Q(s)此外,和均可展开成幂级数形式,即S(s)=i=0aisi,Q(s)=i=0bisi.gn(s,l)(l1)命题 2 可给出各种情形下的上界估计.l1 (0,1)s (0,0 C(s),0 N命题命题 27如果,则对于任意的以及固定的,存在常数和,使得对于,有gn(s,l)C(s)|n,p1=h0=0(Bttcher 情形),hn0n,p1=0,h0 0(Bttc
11、her 情形),pnl1(n1)2,p1 0,h0=0(Schrder 情形),(20):=minj2:pj 0式中.借助命题 2,孙琪8得到如下命题.J1,JnA 0 (0,1)h0、t Jj1jn命题命题 3(母函数在上的估计)8存在常数、,使得对于、,有|gn(eh/cn+it,l)|lnj+1,p1=h0=0(Bttcher 情形),lnj+1,p1=0,h0 0(Bttcher 情形),Ap1(nj+1)l,p1 0,h0=0(Schrder 情形),A(pl1h0)nj+1,p10,h00(Schrder 情形),(21):=minj2:pj 0 Jj:=t R:c0/cj|t|c
12、0/cj1式中:;.WVIWVI引入拉普拉斯变换的工具和一些已知结论.假定、和 如式(2)、(6)中所定义的.、和 的拉普拉斯变换分别为W(u):=EeuW,V(u):=EeuV,I(u):=EeuI.(22)由分枝和移民的独立性可知:V(u)=W(u)I(u),(23)W并且对于 G-W 过程,满足 Abel 方程9W(mu)=f(W(u),u R.(24)G-W 过程推广的泛函方程5为V(mju)=I(u)gj(W(u),u R,j=1,2,(25)WVI式中、和的定义同式(22).显然,在过程退化为无移民时,式(25)转变为式(24).C引理引理 1存在 2 个常数 和,使得cnP(Zn
13、=k|Z0=l)Cell1/2ek/cn,n,k1,ll0:=1/+mn证明证明参考文献 5 中引理 1、2 的证明过程,以代替可得.C 00V(x)|12|i Jk(i=1,2)命题命题 410存在常数以及在 处缓变的函数,使得对任意满足的,有|fk1(ei1)fk1(ei2)|Cck1V(ck1),(26)k1 Jk:=t R:c0/ck|t|c0/ck1式中:;.给定记号T(s)=lnEesI,K(s)=lnEesW,r(s)=lnEes1,s0.命题命题 5T(ms)=T(s)+r(K(s),(27)lims0+K(ms)K(s)=m.(28)s 0+F:=lims0T(s)K(s)T
14、(s)FsV1(s)V1(s)0引理引理 2当时,存在,且,其中是在 处缓变的函数.证明证明由命题 5 可得T(ms)K(ms)K(ms)K(s)=T(s)K(s)+r(K(s)K(s).(29)s 0+P(W 0a 0C()0 y a,0 z 00 a b l0引理引理 4(Schrder 情形)假设,.在式(10)条件下,对于,有第 1 期谢春艳等:一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计3limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),(31)t a,b式(31)收敛在闭区间是一致的.cnmn证明证明证明与文献 5 的引理 6 思路类似(以替代),只陈述本证明的不同之处.
15、令kn(,t):=gn(ei/cn,l)eit,l0.定义Ik,n(t):=12(ckck+1kn(,t)d+ck+1ckkn(,t)d).(32)|Ik,n(t)|分 2 种情况说明是可和的.0 p1h0m ksupta,b|Ik,n(t)|00 a 0首先估计.文献 6 的引理 8 取,对于以及,为复平面上的一个紧子集(,因此,对于某一常数,由命题3 可得|gnk+1(fk1(ei1),l)|C(pl1h0)nk+1,l0.(35)根据文献 5 的引理 6,当式(9)成立时,有lims0+1EesIs=EI=EWm1 0至此,由式(33)以及的定义,对于,有12|ck+1ckkn(,t)d
16、|12|t|supJnk|gn(ei,l)|+ck+1ck4M(k).M(k):=sup|gn(ei1,l)gn(ei2,l)|:1,2 Jnk;|12|t|1c1nAC 0|t|0式 中:.由命题 3 和式(38)可知,存在正常数、,以及任意给定的常数,使得当时,有12|ck+1ckkn(,t)d|A2|t|(pl1h0)k+1+Cck+1ck4(pl1h0)k+1|t|1c1ncnk1V1(|t|1c1ncnk1)A2|t|(pl1h0)k+1+Cmk+1L(mk+1)4|t|(pl1h0)k+1mnk1L(mnk1)mnL(mn)V1(|t|mnk1L(mnk1)mnL(mn)A2|t|
17、(pl1h0)k+1+C()(pl1h0)k+1m(k+1),0.(39)V1pl1h0mksup|t|Ik,n(t)|.其他证明类似文献 5 中引理 6 的讨论.定理证毕.再将引理推广至 Bttcher 情形.p0=p1=h0=00 a bl0引理引理 5(Bttcher 情形)在式(10)下,并假设.对于、,limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),(40)t a,b式(40)的收敛在上是一致的.|Ik,n(t)|I1I2证明证明由引理 4 的证明过程可知,仅需要说明在该条件下仍是可和的.与式(34)一样,对于 和仍表示相同的含义.I1p1=0 1 Jk首先估计,
18、由命题 3 可知,当、时,|gnk+1(fk1(ei1),l)|lnk+1,(0,1).(41)I1根据式(41),类似于引理 4 关于 的讨论,可得4北京师范大学学报(自然科学版)第 59 卷I1sup1Jk|gnk+1(fk1(ei1),l)|sup1,2Jk|Hk1(ei1)Hk1(ei2)|:|12|Clnk+1ck1V1(ck1).(42)I2其次估计,根据式(15)以及三角不等式,有I2|fnk+1(fk1(ei1)|l|nkj=0h(fj+k1(ei1)nkj=0h(fj+k1(ei2)|+|(fnk+1(fk1(ei1)l(fnk+1(fk1(ei2)l|nkj=0h(fj+k
19、1(ei2)|=|fnk+1(fk1(ei1)|l|Hnk+1(fk1(ei1)Hnk+1(fk1(ei2)|+|(fnk+1(fk1(ei1)l(fnk+1(fk1(ei2)l|Hnk+1(fk1(ei2)|=:I21+I22.(43)I21|h(fl(0)|=h0=0h(fl()(0,1m)(0,1)|s|h(fl(s)|0 A(s)式中:;是一个母函数,且f(s)A(s),A(1)m,s 0,1.于是f(s)=s1A(s)+sA(s).s 0,1当,由命题 2 可知fnk+1(s)=f(fnk(s)=(fnk(s)1A(fnk(s)+fnk(s)A(fnk(s)(fnk(s)1A(Ank
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