一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计_谢春艳.pdf

一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计*谢春艳张梅（北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统教育部重点实验室，100875，北京）(Zn)cnkn kn=o(cn)knP(Zn=kn)ZnEZ1lnZ1=ZnZn摘要对于一类带移民的上临界分枝过程，存在一列正常数可以用来描述过程的增长速度.任取一列满足和的正常数，的渐近行为即为的下偏差.假设：1）证明了过程的一个局部极限定理；2）给出了在Schrder 和 Bttcher 情形下的下偏差估计，补充并完善了已有文献的结果.关键词上临界；带移民；分枝过程；下偏差中图分类号60J80;60F10DOI：10.12202/j.0476-0301.20212680引言(Zn)设是 一 个 带 移 民 的 Galton-Watson（G-W）过程，它可由如下关系递归定义，即Zn=Zn1i=1X(n)i+n,n1,（1）X(n)in1in(X(n)i,n,i1)f(s)=i=0pisinnn,n1h(s)=i=0hisi(X(n)i,n,i1)n,n1i0pi,hi 1i=0ipim1 m 01Z0=1式中：表示第代的第 个个体，在第 代产生的后代数，且是独立同分布的（independentandidenticallydistributed，IID），具有共同的母函数;表示第 代进入系统的移民数量，且（）也 是 IID 的，具 有 相 同 的 母 函 数.此外，假设分枝和移民（）相互独立，为避免平凡的情况，对于任意的，假定，记后代分布的期望=.考虑上临界情形，即.不失一般性，本文假定.假定 是非周期函数，即集合的最大公约数为.如无特别声明，总假设过程从一个粒子出发，即.n 0(Zn)(Z0n)(cn,n0)在式（1）中，当时，退化为一般的 G-W 过程，用来表示.Heyde1证明了存在一列正常数，使得Wn:=Z0ncna.s.W,n （2）WP(W 0)=1 P(W )=成立，并且随机变量满足：；1(cn,n0)2.特别地，规范化序列可选择具有如下性质的常数列：c0=1,cn 0.（4）nZnn1n1Zn换个角度来考虑 G-W 过程的第 代总人口数（）.当时，由式（1）定义的具有分解形式Zn=Z0n+Yn,（5）Yn=U(1)n+U(n)nU(i)n(1in)inZ0nnZ0nYnU(i)n(1in)式中：，表示第 代到来的移民在第 代的后代总数；是初始粒子在第 代时所有的后代个数.由假设可知，式（5）的和仍是独立的.显然，也是彼此独立的.n 0j=1(pjjln j)=(cn)n V当，时，Seneta3已经证明：对已知规范化因子，当时，存在非负随机变量，使得Vn:=Zncna.s.V,In:=U(1)n+U(n)ncna.s.I=V W.（6）j=1hjln j P(I )=P(V )=V(0,)Imh0 0.（7）Vv如果记 的密度函数为，则由式（6），得v(x)=x0w(t)w1(xt)dt,x 0,（8）v=ww1即，表示卷积.(Zn)f(s)=i=0pisip0+p1 0p0+p1=0定义定义 1（Schrder 和 Bttcher 情形）对于上临界的 G-W 分枝过程，其后代分布的母函数.若，则 称 之 为 Schrder 情 形；若，则称之为 Bttcher 情形.在 Schrder 情形，定义 Schrder 常数为:=lnp1/lnm.h0 0当时，定义:=lnh0/lnm.ZnP(Zn=kn)(Zn)knkn=o(cn)(n )1 m Z0nZn对于分枝过程，称的渐近行为是的“下偏差”，这里是一列满足的正数.假设，Fleischmann 等6研究了 Schrder和 Bttcher 情形下，上临界 G-W 过程的下偏差.对于带移民的模型，假设j=1(pjjln j),j=1jhj,（9）ZnSun 等5研究了在 Schrder 和 Bttcher2 种情形下的下偏差.对文献 5 的有关结果加以扩展，本文将在条件j=1(pjjln j)=,j=1jhj 0Znp0=0p1h0 0p0=p1=h0=0成立下展开研究，分别获得了在 Schrder 和 Bttcher情形时，上临界 G-W 过程的下偏差概率的渐近行为.技术路线源自文献 5 和 6.注意到文献 5 中的局部极限定理只证明了，的情形.对此，本文给出了过程在，和2 种情形下的局部极限定理（见定理 3），推广并完善了文献 5 中的定理 2、3.以下是主要结论.p0=0p1 0定理定理 1（Schrder 情形）假设、和式（10）成立.h0 0mh0 1k1ak:=minl1:clkknnkn1）如 果，对 于，定 义.设序列满足：当时，且kncn，则有limnsupknkcn|P(Zn=k)/(m(nak)c1akv(kmnakcak)1|=0,（11）以及limnsupknkcn|P(0 0式中.p0=p1=0knnkn kn=o(cn):=minj2:pj 0:=minj0:hj 0bn:=min1ln:clnl2knA1A2knn+n11kn定理定理 2（Bttcher 情形）假设和式（10）成 立.设 序 列满 足 当时，且.定义，以及，则存在 2 个正常数和使得对于满足的任意序列，有A1limninf bnnln(cnP(Zn=kn)limnsup bnnln(cnP(Zn=kn)A2.（14）f(x)g(x)x 0+0 c1 0limnsupf(n)/g(n)M用（）表 示，存 在 2 个 常 数，使 得；用（）表示，；用（）表 示，存 在 常 数，使 得.1预备知识和几个引理gn(s,l)(Zn)l1Z0=lg0(s,l)=E(sZ0)=slE()n1令是分枝过程的母函数，其中，且该过程始于，有，表示数学期望，下同.对于任意的，有gn(s,l)=E(sZn|Z0=l)=(fn(s)ln1i=0h(fi(s),s 0,1,（15）Z0=1特别地，当时，gn(s):=gn(s,1)=fn(s)n1i=0h(fi(s),n1,s 0,1.（16）在获得主要定理之前，先引入一些有关母函数的重要性质.p1h0 0命题命题 17（Schrder 情形）假定，定义2北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷Sn(s):=n1i=0h(fi(s)hn0,Qn(s)=fn(s)pn1.n 当时，n(s):=gn(s,l)(pl1h0)n=Sn(s)Qln(s)S(s)Ql(s)=:(s),（17）s 0,1)S(s)Q(s)对于是一致的.式（17）中和满足泛函方程：h(s)S(f(s)=h0S(s),0s 1,S(0)=1,S(1)=；（18）Q(f(s)=p1Q(s),0s1,Q(0)=0,Q(1)=.（19）S(s)Q(s)此外，和均可展开成幂级数形式，即S(s)=i=0aisi,Q(s)=i=0bisi.gn(s,l)(l1)命题 2 可给出各种情形下的上界估计.l1 (0,1)s (0,0 C(s),0 N命题命题 27如果，则对于任意的以及固定的，存在常数和，使得对于，有gn(s,l)C(s)|n,p1=h0=0(Bttcher 情形),hn0n,p1=0,h0 0(Bttcher 情形),pnl1(n1)2,p1 0,h0=0(Schrder 情形),（20）:=minj2:pj 0式中.借助命题 2，孙琪8得到如下命题.J1,JnA 0 (0,1)h0、t Jj1jn命题命题 3（母函数在上的估计）8存在常数、，使得对于、，有|gn(eh/cn+it,l)|lnj+1,p1=h0=0(Bttcher 情形),lnj+1,p1=0,h0 0(Bttcher 情形),Ap1(nj+1)l,p1 0,h0=0(Schrder 情形),A(pl1h0)nj+1,p10,h00(Schrder 情形),（21）:=minj2:pj 0 Jj:=t R:c0/cj|t|c0/cj1式中：；.WVIWVI引入拉普拉斯变换的工具和一些已知结论.假定、和 如式（2）、（6）中所定义的.、和 的拉普拉斯变换分别为W(u):=EeuW,V(u):=EeuV,I(u):=EeuI.（22）由分枝和移民的独立性可知：V(u)=W(u)I(u),（23）W并且对于 G-W 过程，满足 Abel 方程9W(mu)=f(W(u),u R.（24）G-W 过程推广的泛函方程5为V(mju)=I(u)gj(W(u),u R,j=1,2,（25）WVI式中、和的定义同式（22）.显然，在过程退化为无移民时，式（25）转变为式（24）.C引理引理 1存在 2 个常数 和，使得cnP(Zn=k|Z0=l)Cell1/2ek/cn,n,k1,ll0:=1/+mn证明证明参考文献 5 中引理 1、2 的证明过程，以代替可得.C 00V(x)|12|i Jk(i=1,2)命题命题 410存在常数以及在 处缓变的函数，使得对任意满足的，有|fk1(ei1)fk1(ei2)|Cck1V(ck1),（26）k1 Jk:=t R：c0/ck|t|c0/ck1式中：；.给定记号T(s)=lnEesI,K(s)=lnEesW,r(s)=lnEes1,s0.命题命题 5T(ms)=T(s)+r(K(s),（27）lims0+K(ms)K(s)=m.（28）s 0+F:=lims0T(s)K(s)T(s)FsV1(s)V1(s)0引理引理 2当时，存在，且，其中是在 处缓变的函数.证明证明由命题 5 可得T(ms)K(ms)K(ms)K(s)=T(s)K(s)+r(K(s)K(s).（29）s 0+P(W 0a 0C()0 y a，0 z 00 a b l0引理引理 4（Schrder 情形）假设，.在式（10）条件下，对于，有第 1 期谢春艳等：一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计3limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),（31）t a,b式（31）收敛在闭区间是一致的.cnmn证明证明证明与文献 5 的引理 6 思路类似（以替代），只陈述本证明的不同之处.令kn(,t):=gn(ei/cn,l)eit,l0.定义Ik,n(t):=12(ckck+1kn(,t)d+ck+1ckkn(,t)d).（32）|Ik,n(t)|分 2 种情况说明是可和的.0 p1h0m ksupta,b|Ik,n(t)|00 a 0首先估计.文献 6 的引理 8 取，对于以及，为复平面上的一个紧子集（，因此，对于某一常数，由命题3 可得|gnk+1(fk1(ei1),l)|C(pl1h0)nk+1,l0.（35）根据文献 5 的引理 6，当式（9）成立时，有lims0+1EesIs=EI=EWm1 0至此，由式（33）以及的定义，对于，有12|ck+1ckkn(,t)d|12|t|supJnk|gn(ei,l)|+ck+1ck4M(k).M(k):=sup|gn(ei1,l)gn(ei2,l)|:1,2 Jnk；|12|t|1c1nAC 0|t|0式 中：.由命题 3 和式（38）可知，存在正常数、，以及任意给定的常数，使得当时，有12|ck+1ckkn(,t)d|A2|t|(pl1h0)k+1+Cck+1ck4(pl1h0)k+1|t|1c1ncnk1V1(|t|1c1ncnk1)A2|t|(pl1h0)k+1+Cmk+1L(mk+1)4|t|(pl1h0)k+1mnk1L(mnk1)mnL(mn)V1(|t|mnk1L(mnk1)mnL(mn)A2|t|(pl1h0)k+1+C()(pl1h0)k+1m(k+1),0.（39）V1pl1h0mksup|t|Ik,n(t)|.其他证明类似文献 5 中引理 6 的讨论.定理证毕.再将引理推广至 Bttcher 情形.p0=p1=h0=00 a bl0引理引理 5（Bttcher 情形）在式（10）下，并假设.对于、，limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),（40）t a,b式（40）的收敛在上是一致的.|Ik,n(t)|I1I2证明证明由引理 4 的证明过程可知，仅需要说明在该条件下仍是可和的.与式（34）一样，对于 和仍表示相同的含义.I1p1=0 1 Jk首先估计，由命题 3 可知，当、时，|gnk+1(fk1(ei1),l)|lnk+1,(0,1).（41）I1根据式（41），类似于引理 4 关于 的讨论，可得4北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷I1sup1Jk|gnk+1(fk1(ei1),l)|sup1,2Jk|Hk1(ei1)Hk1(ei2)|:|12|Clnk+1ck1V1(ck1).（42）I2其次估计，根据式（15）以及三角不等式，有I2|fnk+1(fk1(ei1)|l|nkj=0h(fj+k1(ei1)nkj=0h(fj+k1(ei2)|+|(fnk+1(fk1(ei1)l(fnk+1(fk1(ei2)l|nkj=0h(fj+k1(ei2)|=|fnk+1(fk1(ei1)|l|Hnk+1(fk1(ei1)Hnk+1(fk1(ei2)|+|(fnk+1(fk1(ei1)l(fnk+1(fk1(ei2)l|Hnk+1(fk1(ei2)|=:I21+I22.（43）I21|h(fl(0)|=h0=0h(fl()(0,1m)(0,1)|s|h(fl(s)|0 A(s)式中：；是一个母函数，且f(s)A(s),A(1)m,s 0,1.于是f(s)=s1A(s)+sA(s).s 0,1当，由命题 2 可知fnk+1(s)=f(fnk(s)=(fnk(s)1A(fnk(s)+fnk(s)A(fnk(s)(fnk(s)1A(Ank(s)+fnk(s)A(1)(s)nk)1+m(s)nkC(s)nk+1.（47）(s)(0,1)式中.于是利用式（47）以及命题 4，可得|(fnk+1(fk1(ei1)l(fnk+1(fk1(ei2)l|l(|fnk+1()|+|fnk+1()|)|fk1(ei1)fk1(ei2)|Clnk+1ck1V(ck1).（48）所以，I22Clnk+1ck1V(ck1).（49）结合式（34）、（42）、（43）、（46）及（49），可得sup1,2Jk|gn(ei1,l)gn(ei2,l)|:|12|Clnk+1ck1V(ck1).（50）|t|0类似于式（39），当时，有12|ck+1ckkn(,t)d|12|t|lk+1+C()lk+1m(k+1),0.(0,1)2因为，显然有k=0supnksup|t|Ik,n(t)|0p1=h0=0f(yn)n yn/cn tt定理定理 3（局部极限定理）对于从出发的 上 临 界 G-W 过 程，满 足 式（10）条 件：，或.假定 是非周期的，如果是一个整数序列，满足当时，其中 是一个正常数，那么limn(cnP(Zn=yn|Z0=l)wlw1(t)=0.（51）证明证明利用反演公式，与文献 5 的定理 3 类似.但是在此须利用引理 4、5 而不是文献 5 的引理 6.p0=0p1h0 0p1=h0=0h0 0h0=0注注 1，或这 2 个条件是配合定理 1、2 的证明而给出.推测在 Schrder 情形无须假定，在 Bttcher 情形无须假定，也可能有局部极限定理成立.2定理的证明定理定理1 第第1）款的证明）款的证明证明思路来源于文献56.h0 0(nak)1）当，先证明式（11）.在时刻应用过程的马尔可夫性，可得P(Zn=k)=tl=1P(Znak=l)P(Zn=k|Znak=l)=l=1P(Znak=l)P(Zak=k|Z0=l).（52）第 1 期谢春艳等：一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计5Nl0由引理 1 可知，当时，cakl=NP(Znak=l)P(Zak=k|Z0=l)Cl=Nell1/2ek/cakP(Znak=l)Cgnak(e)ek/cakN1/2,（53）Cak式中 和 是正常数.由的定义以及式（3），可知1m 0Cn1当时，由式（17）可知，存在正常数，使得对任意的，有gnak(e)C(p1h0)nak.（55）由式（53）（55）可得cakl=NP(Znak=l)P(Zak=k|Z0=l)C(p1h0)nakN1/2.（56）又由引理 4 可知limn12cncngn(eit/cn,l)eitxdt=wlw1(x),（57）x 1/m,1且关于是一致的.另一方面，由反演式可得cakP(Zak=k|Z0=l)=12cakcakgak(eit/cak,l)eitk/cakdt.（58）结合式（57）、（58）及式（54）可得limnsupknkcn|cakP(Zak=k|Z0=l)wlw1(k/cak)|=0.（59）N对任意固定的，有limnsupknkcn|cakN1l=1P(Znak=l)P(Zak=k|Z0=l)N1l=1P(Znak=l)wlw1(k/cak)|=0.（60）mh0 0 (0,1)l1wlw1(k/cak)Cl由“引言”相关内容可知：当时，限制在有连续的密度函数4.于是由文献 5 的引理5 可知，存在常数、，使得对所有的，成立.故此，l=NP(Znak=l)wlw1(k/cak)Cl=NP(Znak=l)l.（61）1(,1)取，利用式（55），式（61）可改写为l=NP(Znak=l)wlw1(k/cak)C(/1)Nl=NP(Znak=l)l1C(/1)Ngnak(1)C(p1h0)nakeN,（62）=ln(1/)式中.故结合式（52）、（56）、（60），以及式（62）可得P(Zn=k)=c1ak(l=1P(Znak=l)wlw1(k/cak)(1+o(1)+O(c1ak(p1h0)nakN1/2)（63）k kn,cn关于是一致的.将式（25）改写为密度函数形式mjww1(t/mj)=l=1P(Zj=l)wlw1(t).（64）j=nakt=k/cak在式（64）中令，再代入式（63），推导可得P(Zn=k)=m(nak)c1akww1(kmnakcak)(1+o(1)+O(c1ak(p1h0)nakN1/2)=m(nak)c1akv(kmnakcak)(1+o(1)+O(c1ak(p1h0)nakN1/2),（65）k kn,cn且关于是一致的.v()v()j=1(pjjln j)1文献 5 的引理 4 关于的下界估计（注意到在估计的下界时，没有用到和的条件），则式（65）右边第 1 项可作如下估计：m(nak)c1akv(kmnakcak)Cm(nak)c1ak(kmnakcak)+1=Ck+1m(nak)(+)c(+)ak,C 0式中常数.根据“引言”关于 和 的定义，可得m(nak)c1akv(kmnakcak)C(k/cak)+1(p1h0)nakc1akC(p1h0)nakc1ak,最后一步利用了式（54）.故P(Zn=k)=m(nak)c1akv(kmnakcak)(1+o(1)+O(N1/2),k kn,cnn N 且关于是一致的.令：，于是式（11）即得证.h0 0mkck2）当时，式（12）的证明与文献 5 的定理1 类似，只须把换成，故略去.6北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷mkck定理定理 1 第第 2）款的证明）款的证明与文献 5 的定理 1 类似，只须把换成，故略去.定理定理 2 的证明的证明lnbn1）先证明式（14）的上界估计成立.对于，有cbnP(Zbn=kn|Z0=l)C(h)(eh/2fbn(eh/cbn)lbn1i=0h(fi(eh/cbn).（66）EZ1lnZ1 EW=1EW=H(h)=eh/2EehW当时，否 则9.令，则H(h)=12eh/2EehW+eh/2E(WehW)=12eh/2(EehW2E(WehW).（67）s 0+当，由 文 献 11 定 理 1 第 2）款 的 证 明 过 程可得lims0+1EesWsL(s)=1,L(s)0h 0+EehW 1E(WehW)EW=式中在 处缓慢变化.当时，同时.由式（67）可得，limh0+H(h)0h (0,)故存在，使得对于，limneh/2fbn(eh/cbn)=eh/2EehW N故存在正常数、与，使得对任意的，eh/2fbn(eh/cbn)e.n N lnbn将此估计应用于式（66），可得当，时，有cbnP(Zbn=kn|Z0=l)Celbn1i=0h(fi(eh/cbn).（68）N2n N2结合式（68）以及命题 2，可得存在正常数，使得对于所有的，有cbnP(Zn=kn)Cl=nbnP(Znbn=l)elbn1i=0h(fi(eh/cbn)Cgnbn(e)C(e)nbn.mnbnnN2两边同时乘以，则当时，有cnP(Zn=kn)Cmnbn(e)nbn.（69）bnnn 在式（69）两边取对数，并同时乘以，当时，可得到式（14）的上界估计.2）再证明式（14）的下界估计成立.h0 0首先，考虑的情形.这种情形与文献 5定理 2 的相应情形类似，故略去.h0=0Zminnn其次，考虑的情形.该情形下，每个个体至少产生 个后代，且在每一代至少有 个个体通过移民的方式进入系统，因此，如果用表示种群在第代时的最少人口数量，则有Zminn=n+n1+=n+n11.由分枝的独立性可知，P(Zn=Zminn)=P(Zn1=Zminn1)pZminn1h.n通过迭代，可计算出在第 代时取得最少人口数的概率为P(Zn=Zminn)=pn11+1(n11n)hn.（70）由马尔可夫性和全概率公式得P(Zn=kn)P(Znbn=nbn+nbn11)P(Znbn=Zminnbn)P(Zbn=kn|Z0=nbn+nbn11).（71）对于式（71）右边的条件概率，由式（5）以及分枝和移民的独立性可得P(Zbn=kn|Z0=nbn+nbn11)P(Z0bn=kncbn|Z0=nbn+nbn11)P(Ybn=cbn).（72）l=0p0=p1=h0=0Ybn根据定理 3，取并有，对于，局部极限定理limncbnP(Ybn=cbn)=i(1)0（73）i()bn成立，式中是由式（7）给出的密度函数.由的定义，有2mcbnnbn kn12cbnnbn.kn=o(cn)nbn由可知.故limnkncbnkn=1.令kn=kncbn,ln=nbn+nbn11,(Z0bn)则利用 G-W 过程相应的下界估计方法6可得limninf bnnln(cnP(Z0bn=kn|Z0=ln)Clnp,第 1 期谢春艳等：一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计7Cnh0=0式 中是 一 个 与 无 关 的 正 常 数.再 根 据 式（70）（73），即可得对于的情况，式（14）的下界估计也成立.3参考文献HEYDECC.ExtensionofaresultofSenetaforthesuper-critical Galton-Watson processJ.The Annals of Mathe-maticalStatistics，1970，41（2）：7391ATHREYA K B，NEY P E.Branching processesM.Berlin：Springer，1972：242SENETA E.On the supercritical Galton-Watson processwith immigrationJ.Mathematical Biosciences，1970，7（1/2）：93PAKES A G.On supercritical Galton-Watson processesallowing immigrationJ.Journal of Applied Probability，1974，11（4）：8144SUN Q，ZHANG M.Lower deviations for supercriticalbranching processes with immigrationJ.Frontiers ofMathematicsinChina，2021，16（2）：5675FLEISCHMANN K，WACHTEL V.Lower deviation6probabilities for supercritical Galton-Watson processesJ.Annales De l Institut Henri Poincare（B）Probability andStatistics，2007，43（2）：233SUN Q，ZHANG M.Harmonic moments and largedeviations for supercritical branching processes withimmigrationJ.Frontiers of Mathematics in China，2017，12（5）：12017孙琪.随机和非随机环境中带移民分枝过程的极限理论D.北京：北京师范大学，2018：128ASMUSSEN S，HERING H.Branching processesM.Boston：Birkhuser-Verlag，1983：889DUBUCS，SENETAE.ThelocallimittheoremfortheGalton-Watson processJ.Institute of MathematicalStatistics，1976，4（3）：49010SENETAE.Regularlyvaryingfunctionsinthetheoryofsimple branching processesJ.Advances in AppliedProbability，1974，6（3）：40811BINGHAM N H，GOLDIE C M，TEUGELS J.RegularVariationM.London：CambridgeUniversityPress，1989：2512LowerdeviationsforgeneralsupercriticalbranchingprocesswithimmigrationXIEChunyanZHANGMei（SchoolofMathematicalSciences，BeijingNormalUniversity，LaboratoryofMathematicsandComplexSystems，100875，Beijing，China）(Zn)cnP(Zn=kn)(kn=o(cn)ZnEZ1lnZ1=ZnP(Zn=kn)AbstractForasupercriticalbranchingprocesswithimmigration，asequenceofconstant couldbeusedtodescribethegrowthrateoftheprocess.Theasymptoticbehaviorofiscalledthelowerdeviationprobabilityof.Inthispaper，under，first，alocallimittheoremofisproved.ThenintheSchrderand Bttcher cases，the lower deviation probability is discussed，which improves and generalizes thecorrespondingresultsintheliterature.Keywordssupercritical；immigration；branchingprocess；lowerdeviations【责任编辑：陆有忠】8北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷