高斯投影变形解析分析.pdf
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1、Geomatics Science and Technology 测绘科学技术测绘科学技术,2023,11(2),55-66 Published Online April 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/gst https:/doi.org/10.12677/gst.2023.112007 文章引用文章引用:张思远,边少锋,周东权.高斯投影变形解析分析J.测绘科学技术,2023,11(2):55-66.DOI:10.12677/gst.2023.112007 高斯投影变形解析分析高斯投影变形解析分析 张思远张思远,边少锋边少锋*,周东权周
2、东权 中国地质大学(武汉)地质探测与评估教育部重点实验室,湖北 武汉 收稿日期:2023年1月16日;录用日期:2023年3月31日;发布日期:2023年4月7日 摘摘 要要 作为一种常用的等角投影方式,高斯投影被广泛用作为一种常用的等角投影方式,高斯投影被广泛用在在大地测量学的各个应用领域中。传统的高斯投影方大地测量学的各个应用领域中。传统的高斯投影方法将地球视为椭球体,其数学公式主要为经差的幂级数展开式,公式冗长且计算量大,计算精度不足,法将地球视为椭球体,其数学公式主要为经差的幂级数展开式,公式冗长且计算量大,计算精度不足,也不能很清晰地反也不能很清晰地反映映高斯投影的本质和投高斯投影的
3、本质和投影变形规律。而将地球视为球体时,高斯投影与横墨卡托投影影变形规律。而将地球视为球体时,高斯投影与横墨卡托投影是等价的,因此高斯投影公式可表示为形式紧凑的闭合形式。针对传统方法中存在的问题,本文通过球是等价的,因此高斯投影公式可表示为形式紧凑的闭合形式。针对传统方法中存在的问题,本文通过球面公式计算特殊点处的投影变形和一条面公式计算特殊点处的投影变形和一条6度带条带内的投影变形,以此分析高斯投影的投影变形规律。度带条带内的投影变形,以此分析高斯投影的投影变形规律。关键词关键词 高斯投影,球面高斯投影,投影变形,长度比,子午线收敛角高斯投影,球面高斯投影,投影变形,长度比,子午线收敛角 A
4、nalytic Analysis of Gaussian Projection Deformation Siyuan Zhang,Shaofeng Bian*,Dongquan Zhou Key Laboratory of Geological Survey and Evaluation of Ministry of Education,China University of Geosciences(Wuhan),Wuhan Hubei Received:Jan.16th,2023;accepted:Mar.31st,2023;published:Apr.7th,2023 Abstract A
5、s a commonly used isometric projection,Gauss projection is widely used in various applications of geodesy.Regarding the earth as an ellipsoid,the traditional Gauss projection mathematical formulas computation is too complex to clearly reflect the nature of Gausss projection and its distortion.When t
6、he Earth is considered a sphere,the Gauss projection is equivalent to the trans-verse Mercator projection,so the Gauss projection formula can be expressed as a compact closed form.In order to solve the problems in the traditional method,the projection deformation at a *通讯作者。张思远 等 DOI:10.12677/gst.20
7、23.112007 56 测绘科学技术 special point and the projection deformation in a 6-degree strip are calculated by the spherical formula in this paper,and the projection deformation rule of Gauss projection is analyzed.Keywords Gauss Projection,Spherical Gauss Projection,Projections Deformation,Length Ratio,Mer
8、idian Convergence Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 大地测量学中经常使用的高斯投影的全名是高斯克吕格投影,又叫等角横切椭圆柱投影。高斯投影一般满足以下三个条件1:1)正形投影,即等角投影;2)中央经线和赤道投影后卫互相垂直的直线
9、,且为投影的对称轴;3)中央子午线投影后长度保持不变。在过去的投影方法中,一般将地球视为一个椭球体,将高斯投影用椭球面来表示2 3。传统高斯投影数学公式虽然有容易理解和直观的优点,但是表达式相当冗长,计算繁琐,且被表示为经差的幂级数形式,适用范围有限4。因此,根据高斯投影的等角性质,国内外学者提出了高斯投影复变函数的表示形式5-15。相比于传统公式,复变函数表示形式的高斯投影数学公式精度更高,且具有“不分带”的优势,但引入了椭球偏心率 e,表达式必须展开成椭球偏心率的幂函数,使得表达式也非常复杂。此外,由于该表示形式中包含复数变量,导致所得结果不够直观,难以直接对其进行代数分析,不能直观反应高
10、斯投影的本质和高斯投影主要要素(例如长度比、子午线收敛角)的变化规律。考虑到椭球面高斯投影方法存在的不足,近年来有多名学者对球面高斯投影方法展开了一定的研究16 17 18。该方法将地球视为一个球体,在此情况下高斯投影等价于横轴墨卡托投影19,因此有关高斯投影的一些重要公式可以表示为形式紧凑的闭合形式,方便数学计算。此外,考虑到常用的椭球偏心率非常小,因此在球面情况下更能有效地反映高斯投影的变化规律和数学分析性质20。本文以先前专家学者们对球面高斯投影的研究为基础,详细阐述球面高斯投影的数学分析及其应用,然后计算球面情况下特殊点处高斯投影变形情况,最后将球面方法和传统数学方法所得高斯投影变形结
11、果进行对比,体现球面高斯投影的可靠性以及独特的优势。2.传统高斯投影表示式传统高斯投影表示式 2.1.传统高斯投影正反解表示式传统高斯投影正反解表示式 传统高斯投影公式通常表现为经差的幂级数形式。高斯投影正反解方法主要包括赫里斯托夫法和待定系数法,其中赫里斯托夫法高斯投影正解公式计算精度更高,当大地经差3.5l 时,该方法精度为 0.001米。其正解公式如下:()()()()22422242244224242222422 242411cos0.5594cos61 58cos2472011cos11cos5 181458cos6120lllxXNtBtBttBlllyNBtBtttNB=+=+(
12、1)Open AccessOpen Access张思远 等 DOI:10.12677/gst.2023.112007 57 测绘科学技术 式中,x 和 y 分别为高斯投影平面坐标,X 为子午线弧长,B 为大地纬度,l 为经差,N 为卯酉圈曲率半径,为球心向径,22coseB=(e为椭球第二偏心率),tantB=。其反解公式如下:()()()()24222 22424222422 211153961 9045212360111125282468cos6120ffffffffffffffffffffffftyyyBByttttMNNNyyylttttBNNN=+=+(2)式中,B 为大地纬度,l
13、为经差,fB为底点纬度。2.2.传统高斯投影长度比和子午线收敛角表示式传统高斯投影长度比和子午线收敛角表示式 除了中央子午线外,其他位置上的任何线段在投影后均会产生长度变形,且离中央子午线越远,变形程度越大。设高斯投影平面上有一点,称该点领域内某线段投影后与投影前比值为长度比,一般用 m表示。称该点的真子午线与位于此点所在的投影带的中央子午线之间的夹角,即在高斯平面上的真子午线与坐标纵线的夹角为子午线收敛角,一般用表示。从子午线投影曲线量至纵轴,顺时针方向为正,反之为负。根据投影长度变形定义,高斯投影长度比和子午线收敛角公式可表示为经差 l 的幂级数形式,取至4l项的长度比公式为()()222
14、442111cos1cos54tan224mlBlBB=+(3)其中,B 为大地纬度,l 为经差,22coseB=。为了便于计算,子午线收敛角公式取至3l项,即()3221sinsincos1 33ll=+(4)上式中的的单位为弧度,且中央子午线以东为负值,反之为正。由上述数学公式可见,传统的高斯投影数学公式表达式相当冗长,计算起来十分繁琐。此外,传统公式普遍表示为经差的幂级数形式,该幂级数表达式使得高斯投影必须限制在一条狭窄的投影带内,精度还存在局限性。对于以上问题,本文引入球面高斯投影的概念,将在球面情况下,对高斯投影进行数学性质分析。3.球面高斯投影公式球面高斯投影公式 3.1.球面高斯
15、投影正反解表示式球面高斯投影正反解表示式 如图 1 所示,球面高斯投影是一种双重投影,主要步骤如下:1)先将地球椭球面投影到一个等距离球面上,保持经度不变,球面纬度是大地纬度的函数;2)椭球面投影到球面后,再通过横轴圆柱投影到平面上,保证中央经线和赤道的投影互相垂直。由于高斯投影需满足中央子午线投影后长度保持不变,因此椭球面投影到球面上时也必须要保持中央经线投影后长度不变的特征,可以得到该球面就必然是等距离纬度球面,即球面纬度就是等距离纬度。由前人研究可知21,等距离纬度关于大地纬度 B 的正解展开式为 246810sin2sin4sin6sin8sin10BBBBBB=+(5)系数为 张思远
16、 等 DOI:10.12677/gst.2023.112007 58 测绘科学技术 2468102468104681068108101033111141153381610242048327681515405165256256819240963535493530722048262144315315131072655366931310720eeeeeeeeeeeeeee=+=+=(6)Figure 1.The principle of spherical Gauss projection 图图 1.球面高斯投影方法 基于幂级数展开法的等距离纬度反解展开式为 246810sin2sin4sin6si
17、n8sin10Baaaaa=+(7)系数为 24681024681046810681081010332132552086181620484096524288212153319725625681924096151151501961444096131072109710971310726553680112621440aeeeeeaeeeeaeeeaeeae=+=+=+=+=(8)和国内普遍使用高斯投影不同,国外大比例尺地形图普遍使用横轴墨卡托投影。将墨卡托投影的圆柱面旋转 90后,使该圆柱面与球体的中央子午线相切,以此法得到的投影可视为横轴墨卡托投影。根据 前人的研究,横轴墨卡托投影中将地球视为球体
18、,取球面上一点坐标为(),,,2 2 ,对应的平面坐标为(x,y),等距离球体的半径为R,球面横轴墨卡托投影公式可以表示为:()()arctan tansecarctanh cossinxRyR=(9)张思远 等 DOI:10.12677/gst.2023.112007 59 测绘科学技术 其中,由前人研究可知14,等距离球体半径R为()221221!121212!nnnXnRaenn=(10)式中,a 为椭球长半轴,e 是椭球第一偏心率,X 是子午线弧长,公式为()()23002221dd1sinBBaeXM BBeB=(11)式中 M 为子午圈曲率半径。从地球椭球面上投影到等距离球面上时,
19、经度不变,纬度是大地纬度 B 与椭球第一偏心率 e 的函数,即X R=。由李忠美等学者的研究可知19,球面高斯投影和横轴墨卡托投影是等价的,因此球面高斯投影可以表示为闭合公式的形式。结合公式(9)以及等距离纬度关于大地纬度的正解展开式(5),即等距离球面高斯投影正解公式。结合等距离纬度反解公式(7),可得球面高斯投影的反解公式为:()()()()()()arcsin sinsecharctan secsinhx Ry Rx Ry R=(12)该反解公式可以根据任意一点的平面坐标推导其球面坐标。由以上公式可知,等距离球面高斯投影可直接利用球面坐标计算,简化了高斯投影中的数学公式计算。3.2.长度
20、比和子午线收敛角公式长度比和子午线收敛角公式 由定义可知,横轴墨卡托投影都是等角投影,即从任意一点出发,各方向的长度比都是相等的,因此任一方向长度比即该点处的长度比。本文以经线方向为例(d0l=)计算球面上任意点处的长度比。设 ds为球面上的微分线段,ds为其所在平面的投影,r 为球半径,可得()()22dddddddddddsrsxyxxxyyy=+=+=+(13)该点的长度比 m 为 222d112d3cos22cos2 sin1 cossinsms=+(14)图 2 和图 3 分别为长度变形随纬度、经差的变化曲线,由图和以上公式可以得出结论:1)球面高斯投影在其投影中央经线上不存在长度变
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