AANA序列的一类完全收敛性_林影.pdf
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1、完全收敛性的概念是由Hsu和Robbins于1947年提出来的,之后众多学者对这一课题做了广泛而又深入的研究.1965 年,Baum 等1建立了独立随机变量序列部分和完全收敛性的一系列等价性命题.1985年,白志东等2把Baum的结果推广到极大部分和与缓变函数形式.1991年,邵启满3讨论了独立和的Prokhorov型完全收敛性,并得到一系列理想的结果.由于理论和实际应用的需要,概率极限理论的研究对象逐渐转向不独立或者相依的随机变量序列.AANA(asymptotically almost negatively associated)序列就是一种相依的随机变量序列,这一概念是由Chandra等
2、4-5提出的.关于AANA序列极限理论的研究成果可参见文献6-11.在文献6所得到的关于AANA序列极大部分和的Rosenthal型矩不等式的基础上,讨论AANA序列部分和的一类Prokhorov型完全收敛性.利用经典的截尾方法,获得了AANA序列部分和完全收敛性的较为广泛的充分性条件.作为推论,得到一个类似于独立同分布情形下的完全收敛性结果.定义14设Xn,n 1是随机变量序列,若存在数列q(n)0且q(n)0(n ),使得对任意的n 1和k 1都有Cov()f(Xn),g(Xn+1,Xn+k)q(n)Var()f(Xn)Var()g(Xn+1,Xn+k)1 2,其中:f和g是任何两个使上述
3、方差存在且对每个变元均非降的连续函数,则称Xn,n 1为渐近几乎负相依随机变量序列(简称AANA序列),称q(n),n 1为该序列的控制系数.从定义1可以看出,AANA序列是包含负相依(NA)序列和独立列在内的一种广泛的相依随机变量序列,对其极限理论的研究更为基本也更有价值.在讨论完全收敛性的过程中,经常用到如下的随机变量序列被一个随机变量所界(也称随机控制)的定义.定义212设Xn,n 1是随机变量序列,如果x 0,均有supi 1P()|Xi x P()|X x,则称随机变量序列Xi,i 1被随机变量X所界.1引理引理1 设随机变量序列Xi,i 1被随机变量X所界,则有AANA序列的一类完
4、全收敛性林影(宁德师范学院数理学院,福建宁德352100)摘要:研究AANA(asymptotically almost negatively associated)序列部分和的一类Prokhorov型完全收敛性.利用经典的截尾方法,以及关于AANA序列极大部分和的Rosenthal型矩不等式,获得了AANA序列部分和完全收敛性的较为广泛的充分性条件.作为推论,得到一个类似于独立同分布情形下的完全收敛性结果.关键词:AANA序列;部分和;完全收敛性;矩不等式中图分类号:O211.4文献标识码:A文章编号:2095-2481(2023)02-0113-05收稿日期:2023-03-04作者简介:
5、林影(1981-),男,讲师.E-mail:第 35 卷第 2 期2023 年 6 月宁德师范学院学报(自然科学版)Journal of Ningde Normal University(Natural Science)Vol.35 No.2Jun.2023DOI:10.15911/ki.35-1311/n.2023.02.012宁德师范学院学报(自然科学版)2023年6月supi 1E|Xi E|X,supi 1EX2i EX2.证明由E|Xi=0P()|Xi x dx 0P()|X x dx=E|X,EX2i=20 xP()|Xi x dx 20 xP()|X x dx=EX2,故引理1得
6、证.引理26设Xn,n 1是AANA序列,其控制系数为q(n),n 1,如果fn(x),n 1均为单调非增(或单调非降)的连续函数,则fn(Xn),n 1仍是AANA序列,且其控制系数也仍是q(n),n 1.引理36设Xn,n 1是AANA序列,且均值EXn=0(n 1),如果该序列的控制系数q(n),n 1满足n=1q2(n),则当1 0,对一切t 1,有t(t)C;(C)xH(x)0或xH(x)单调不减.定理1设Xn,n 1是AANA序列,且被随机变量X所界,控制系数q(n),n 1满足n=1q2(n),当xH(x)单调不减时,EXi=0,i 1.如果条件(A)(C)成立,且E()H-1(
7、)|X 0,有n=1(n)P()|Sn H(n),(1)n=1(n)P()max1 k n|S(k)n H(n),(2)n=1(n)P()max1 k n|Sk H(n).(3)证明因为|Sn max1 k n|Sk,所以|Sn H(n)max1 k n|Sk H(n).从而易由式(3)推得式(1).同理,由于|S(k)n=|Sn+|Xk,欲证式(2)成立,只需n=1(n)P()max1 k n|Xk H(n)H(n)-H(n)I()Xi H(n)-H(n)I()X H(n)n=1(n)P()max1 k n|i=1kXi H(n)+n=1(n)P()max1 i n|Xi H(n)I+II.
8、所以下面分别证明,I 和II .首先,记bj=P()j H-1()|X H(n)nH(n)supi 1|EXiI()|Xi H(n)+nP()|X H(n)I1+I2根据条件(B),有EH-1()|X1CE()H-1()|X.因此,j=1jbj EH-1()|X H(n)CnH(n)j=nH(j)bj Cj=njbj 0.因此式(5)成立.为使I ,只需I n=1(n)P()max1 k n|i=1k()Xi-EXi H(n)0.注意到Xi是Xi的非降函数,故根据引理2,Xi-EXi,i 1仍为AANA序列,且每个随机变量的均值为零.根据Markov不等式、引理3及条件(A),有-115宁德师
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