换元法在解题中的应用.pdf
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1、换元法在解题中的应用哈尔滨师范大学教师教育学院邹佳珊摘要:换元法是在解题时引入新变量,借助新变量进行解题的方法换元思想的本质是把复杂、不熟悉的问题转化为简单、解决起来顺手的问题“难题”并非无本之木,借助于换元法,总可以寻到蛛丝马迹,将难题转变为熟悉的形式本文中结合几个典型案例,从“为何换元”“如何换元”“求解步骤”三个方面介绍了换元法在解题中的应用关键词:换元法;解题;整体换元;三角换元换元法又称辅助元素法、变量代换法,是在解题的过程中引进新的变量,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,变为熟悉的形式,把复杂的计算和推理论证过程简化换元法是高中数学解题中的一类重要
2、而巧妙的解题方法在数学中,“元”是未知数的意思,我们在解题中经常遇到含有未知数的情形,例如方程、不等式、函数等利用换元法来解决这类问题,不仅有利于快速找到解题思路,而且解题过程方便灵活,掌握换元法的基本思想及方法对提升数学解题能力大有益处常见的换元方法有整体换元、三角换元等,下面以具体的习题为例,探究何时可以利用换元法解题整体换元法的应用当某个代数式作为“整体”反复多次出现,为了简化计算,可以将重复出现的部分进行“换元”处理例解方程:xxxx为何“换元”:此题如果直接去分母进行求解,会得到一个四次方程通过观察可以发现xx既在等式左边出现,又是等式右边的分母,把这一部分替换成另一个未知数,可以达
3、到降幂的效果,将难解的高阶方程化为熟悉的一元二次方程如何“换元”:将xx设为a,原方程就可以转化为aa(a)这时再去分母,解关于a的一元二次方程,可以得出a,a,再根据xxa,解出x,x例已知函数fx()x,则函数f(x)的解析式为 为何“换元”:我们很难直接想出x是由x经过怎样的变换得到的,既不容易找对变换思路,计算也较为困难如何“换元”:直接将本该是未知数的x设为t,可解出xt(),t把x(t)代入原解析式中,则f(t)tt(t)我们知道,对应关系与自变量取哪个字母无关,故f(x)xx(x)例求y s i nx,x,的值域为何“换元”:根据三角函数的相关知识,已知x的取值范围可以求出ys
4、i nx的值域,利用换元法,可以将s i nx转化为我们熟悉的s i nx的形式如何“换元”:设tx,t的取值范围随x的变化而变化,则t,结合图象可知y s i nt的取值范围为,理解换元法的本质进而用换元法来求函数的值域是高中数学的重要知识点本题比较简单,虽然也可以利用其他方法来求解,但是对学生理解换元法的内涵有启发作用例已 知 函 数f(x)s i n x,若 方 程f(x)在区间,()内的解为x,x(xx),则s i n(xx)的值为如何“换元”:仿照例,此题仍然可以将复合函数的内部进行换元,转化为我们熟悉的s i nx的形式,令tx,t,为何“换元”:题干中的方程转化为s i nt,虽
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