Na原子高激发里德堡态辐射寿命的理论计算.pdf
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1、第 15 卷第 4 期南阳理工学院学报Vol.15 No.42 0 2 3 年 7 月JOURNAL OF NANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGYJul.2023基金项目:国家自然科学基金项目(12004202);南阳理工学院 2022 年实验室开放基金项目作者简介:马 果(1991-),女,硕士,主要研究方向:凝聚态物理。Na 原子高激发里德堡态辐射寿命的理论计算马 果1,张云云1,贾 晓2,汪 宝2(1.南阳理工学院数理学院 河南 南阳 473004;2.南阳理工学院信息工程学院 河南 南阳 473004)摘 要:里德堡原子具有正比于主量子数 n3超长寿命的特点,可
2、以反映出里德堡原子的能级信息及其特殊的原子结构。基于 Marinescu 提出的单电子模型势,采用数值积分计算出 Na 原子高 n 里德堡态的径向矩阵元,进而计算出 Na 原子在不同温度下高 n 里德堡态的辐射寿命。关键词:里德堡原子;辐射寿命;碱金属原子中图分类号:O562 文献标识码:A 文章编号:1674-5132(2023)04-0070-03DOI:10.16827/ki.41-1404/z.2023.04.014 里德堡原子具有很高的电子跃迁轨道,因此它具有能级寿命较长、半径尺寸较大、谱线宽度较窄、极化率较大等特点1;并且里德堡原子间存在强的相互作用,从而可以产生激发阻塞效应。这些
3、特点使得里德堡原子成为研究的热点,在半导体物理、表面物理、光谱学以及量子信息、量子计算2,3等众多领域中都扮演着极其重要的角色;除此之外,由于里德堡原子自身的奇异特性,使得它产生的电磁感应透明(EIT)效应更是具有区别于一般 EIT 的重要特点,从而里德堡原子在量子纠缠、量子逻辑门4、单光子源制备及其量子精密测量5等领域有非常广泛的应用前景。能级寿命作为里德堡原子的基本属性之一,可以提供能级信息,进而反映原子结构,在原子结构理论、激光同位素分离、天体光谱分析、气体放电等众多领域存在广泛应用6。处于高激发里德堡态的碱金属原子是一种类氢原子,结构相对简单,其能级辐射寿命的理论研究可以为相关实验测量
4、提供参考数据,本文以 Na 原子为例,基于 Marinescu 提出的单电子模型势7公式,采用数值积分计算了 Na 原子高 n 里德堡态的径向矩阵元,进而计算了 Na 原子在不同温度下高 n 里德堡态的辐射寿命。1 理论模型1.1 Na 原子里德堡态能级里德堡原子的能级可以根据里德堡公式8进行计算。En,l,j=-Ry(n-n,l,j)2 (1)式(1)中的 n、l、j 分别为主量子数、轨道角动量量子数和总角动量量子数;Ry=(me/m+me)R为里德堡常数,其中 me为电子质量,m 为原子实的质量;n,l,j表示量子数亏损,可通过经验公式求得9。n,l,j=0+2(n-0)2+4(n-0)4
5、+6(n-6)2+(2)其中 0,2,4是通过拟合实验精确测量原子能级得到的 Rydberg-Ritz 关联系数9。对于 Na 原子而言,图 1 给出了不同量子态的量子数亏损。从图 1 中可以看出,对于 Na 原子而言,当轨道角动量量子 l 一定时,量子数亏损随 n 的变化并不明显。图 1 Na 原子的量子数亏损1.2 里德堡原子波函数基于 Marinescu 提出的单电子模型势7,忽略Na 原子的自旋轨道耦合,采用原子单位制,系统的 第 4 期马 果等:Na 原子高激发里德堡态辐射寿命的理论计算哈密顿量可以表示为H=-12 2+V(r)(3)其中 V(r)即为单电子的模型势,这里采用 Ma-
6、rinescu 提出的核心电势的表达式V(r)=-Zl(r)r-ac2r4(1-e-rrc()2)+Vso(r)(4)在式(4)中,ac为原子实的极化率;rc表示为了避免极化势发散而引入的截止半径;Vso(r)=LS2r3表示自旋轨道耦合的贡献;Zl(r)为径向有效电荷,表达式为Zl(r)=1+(z-1)e-a1r-r(a3+a4r)e-a2r (5)式(5)中 a1、a2、a3、a4是和轨道量子数 l 相关的模型化参数7,其数值如表 1 所示。表 1 Na 原子单电子模型势的参数钠原子l=0l=1l=2l3a14.82223117 5.083825023.53324124 1.1105664
7、6a22.45449865 2.182268812.486979361.05458759 a3-1.12255048-1.15934623-0.756884481.73203428a4-1.42631393-1.03142861-1.27852357-0.09265696为计算 Na 原子的寿命,需要计算定态薛定谔方程的径向跃迁矩阵元,对于能量本征值为 E 的本征态(r)而言,满足方程(6)-12?2+V(r)()(r)=E(r)(6)由于势场 V(r)为中心势场,因此上述方程的解在球坐标系下展开可以表示为n,l,m(r)=Rn,l(r)Yml(,)(7)其中,n、l、m 分别为主量子数、轨道
8、角动量量子数和磁量子数;Yml(,)为球谐函数;对径向方程做代换 n,l(r)=rRn,l(r)并代入式(4)可得-d22dr2+l(l+1)2r2+V(r)()n,l(r)=En,ln,l(r)(8)根据上述径向方程和里德堡能级的信息即可数值计算相应的径向波函数。1.3 径向波函数的数值求解为了数值求解式(8)中的径向波函数,定义函数 X(r)=R(r)e3/4,并且做变量代换 x=r10,如此就可以给出径向波函数中每个振荡周期的近似恒定的点数。结果可以表示为二阶微分方程d2Xdx2=g(x)X (9)其中,函数 g(x)的表达式定义为g(x)=8x2V(r)-E()+(2l+1)2l+32
9、()x2 (10)上述方程(10)可以依据 Numerov 的方法进行求解,定义步长为 h,T(x)=h212g(x),则有 1-T(x+h)X(x+h)+1-T(x-h)X(x-h)=2+10T(x)X(x)+o(h6)(11)在数值求解的过程中,因为在短范围内模型将会变得非物理和发散,需要人为截短积分的范围,根据文献11,计算中设置了内半径 rin=3c和远大于波函数经典转折点的外半径 rout=2n(n+15),为了尽可能降低近似模型势引入的误差,积分从 rout开始向内进行,然而,对于 l3 的高轨道动量状态,可能尚未积分到 rin处结果就已经发散,这就需要就积分结果进行实时监测,一旦
10、发散就立即停止。1.4 Na 原子里德堡态的能级寿命Na 原子的能级寿命取决于爱因斯坦自发辐射系数12和黑体辐射13的影响。=10+BBR (12)其中 0为绝对温度下,不考虑黑体辐射的影响时,爱因斯坦自发辐射对原子能级寿命的贡献。0=nl nlAnlnl (13)其中 A 即为从能级|nl向能级|nl跃迁时的爱因斯坦自发辐射系数,可以根据偶极跃迁矩阵来确定。Anlnl=43nn3c3lmax2l+1S2nlnl (14)上式(14)中 nn表示从能级|nl向能级|nl跃迁的频率;Snlnl表示从能级|nl向能级|nl的偶极跃迁矩阵元,可以根据径向波函数得到。Snlnl=routrinRn,l
11、(r)rRn,l(r)r2dr (15)由于里德堡原子能级间隔很小,黑体辐射会对能级寿命带来一定的影响。式(10)中 BBR即为一定温度下,黑体辐射的贡献。根据普朗克黑体辐射公式,可得辐射光子的能量分布为n=1enn/kBT-1 (16)结合上式(14)、(16)即可得到BBR=nlAnlnlnnn (17)对上式(17)求和的过程中,n,l也包括在能量上更高的状态,因为黑体辐射可以驱动这些跃迁的17南阳理工学院学报第 15 卷发生。2 结果分析 以 Na 原子 30S1/2nP1/2,3/2的跃迁为例,图 2给出了自发辐射和黑体辐射对能级寿命的贡献。其中表示自发辐射的贡献,对于低 n 里德堡
12、态占主要贡献,并且随着 n 的增加自发辐射的贡献逐渐变小;表示黑体辐射的贡献,在低 n 区域贡献很小,随着 n 的增加,黑体辐射的贡献逐渐变大,在 n30时黑体辐射的贡献达到极大,当 n30 时,黑体辐射的贡献又逐渐变小。图 2 以 Na 原子 30S1/2nP1/2,3/2的跃迁为例,自发辐射()和黑体辐射()对能级寿命的贡献。根据(12)至(17)式,可以计算 Na 原子不同能级的寿命,图 3 给出 T=0 K,T=30 K,T=100 K 和T=300 K 时,能级寿命随主量子数 n 的变化,可以看出,温度一定时,能级寿命随量子数 n 的增大而增大。图 4 给出了确定里德堡态下,温度对能
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