摭谈结构不良的数列问题.pdf
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1、摭谈结构不良的数列问题 山东省菏泽市第二中学李静霞摘要:新高考试题中,结构不良问题多次出现笔者以高考模拟题为载体,对数列题中出现的结构不良问题,从条件结构、解题依据、解题思路、目标结构几个方面进行分类归纳、解法探究关键词:结构不良问题;数列问题一个数学问题的结构有三部分:条件信息、目标信息、运算算子近年来,高考题中出现了结构不良问题应该注意的是,结构不良问题并不是问题本身有什么错误或是不恰当,而是指问题没有明确的条件信息、目标信息或运算算子(这里提到的运算算子即解决问题的方法和途径);或者缺少部分数据;或者某一部分结构呈开放性状态依据这一界定,高考试题中的部分客观题可以归为结构不良问题近年来,
2、高考的主观题中也出现了结构不良问题这类题目的出现彰显了高考题的公平性、创新性和选拔性解决各类问题是学习数学的必经途径,笔者对结构不良的数列问题展开探究一、条件结构不良问题题目条件结构不良,即题目中给出的条件呈现开放状态,或者缺失部分数据,也就是题目条件信息不完善解决此类问题时,首先要精选条件,然后将其和原有条件一起组成结构良好问题具体题目如下例(山东新高考模拟)在bba,ab,S 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中若问题中的k存在,求出k的值若不存在,说明理由设等差数列an的前n项和为Sn,bn是等比数列,ba,b,b,问是否存在k,使SkSk且SkSk?注:如果选择多个条件分别解答,按
3、第一个解答计分方案:选择条件,设bn公比为q,则qbb,解得q,所以bn()n,从而ab,abb 由于an是等差数列,所以ann 因为SkSk且SkSk,等价于ak且ak所以满足题意的k存在,当且仅当(k)(k)时,解得k方案:选择条件,设bn公比为q,则qbb,解得q,所以bn()n,从而ab,ab,故an的公差d,因为SkSk且SkSk,等价于ak且ak与d 矛盾,所以满足题意的k不存在方案:选择条件,设bn公比为q,则qbb,解得q,所以bn()n,从而ab 由 于an 是 等 差 数 列,得S(aa)再由S 得a,所以ann ,因为SkSk且SkSk,等价于ak且ak所 以 满 足 题
4、 意 的k存 在,当 且 仅 当(k)(k)时,解得k题目透视:题目给出三个独立条件供考生选择选择条件,则考查等比数列通项公式的应用;选择条件,则考查等差数列前n项和公式的应用;选择条件,则考查等比数列和等差数列通项公式的应用条件和都能求出k,条件得出k的值不存在本题属于条件缺失的结构不良问题,目的是让学生对于不同的条件进行分析、甄别,进而选择适合自己解题的条件一旦选定条件后,题目就变成结构良好的问题学生厘清问题条件,结合有关知识点,按目标所需将其排成有效序列,问题便得以妥善解决二、解题依据结构不良问题解题依据结构不良是指在条件和结论都明确的前提下,解题所用的知识点不确定或者具有多重选择,这属
5、于题目运算算子不确定问题此类问题更具隐蔽性或挑战性,解决问题后,学生能获得更大的心理满足感例(山东新高考预测卷)在等差数列an 中,已知a,a 上海中学数学 年第期()求数列an 的通项公式an()若,求数列bn的前n项和Sn在bnanan,bn()nan,bnanan这三个条件中任选一个,补充在小问()中,并解答问题注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分小问()解答此处从略小问()解答方案:选择条件,由小问()知bnanann(n)n(n),Snbbbnn(n)nnnnn方案:选 择 条 件,由 小 问()知bn()nan()nn,Snbbbn()nn()当n为偶数时,Snbbbn(
6、)nn()()(n)nnn()当n为奇数时,n为偶数时,Snbbbn()nn()()(n)(n)nnnnn所以Snn,n为偶数n,n为奇数方案:选择条件,由小问()知bnanannn,所以Snbbbnnn,Snn()nnn,两式相减,可得Snnnnn()nnnn nn()n,所以Snn()n题目透视:本题给出了三个等价性的条件条件对应裂项相消求和法,条件对应分组求和法,条件对应错位相减求和法三种方法的思维量和运算量存在差异,选择不同的条件进行解答,会导致分析思路或者解题依据有所不同,学生需根据自己的思维特点选择最优解题依据因此,从表面上看,本题为条件不良问题,实质为解题依据结构不良问题此类试题
7、让具有不同思维层次的学生可以自主选择,为其提供展示思维的平台三、解题思路结构不良问题解题思路结构不良是指题目条件封闭,结论指向明确,解题方法和路径呈现多样性,其目的是考查学生的发散思维能力例同例,此处从略当选条件时有三种方法方法:同上方法:由小问()知bn()nan()nn,Snbbbn()nn()当n为偶数时,Snbbbn()nn()()(n)nnn()当n为奇数时,n为偶数,SnSnnnnn所以Snn,n为偶数n,n为奇数方法:由小问()知bn()nan()nn,Sn()()()()n n()()nn,()Sn()()()n n()()nn,两式相减,可得Sn()()()()n()nn()
8、()()()n()nn ()n()()()nn()nn(),则Sn()nn()题目透视:本题条件考查数列求和方法的应用在方法中发现数列bn各项的正负与项数n是奇数还是偶数有关,所以使用分组求和法;在方法中求当n为奇数时的前n项和,借助n为偶数时的Sn的公式,所以有SnSnn;在方法中则使用错位相减求和法本题表面上是条件结构不良问题,实质为解题依据结构不良问题,而选择条件解题又渗透了解题路径不良问题因此,它是一道考查知识和方法能力的精良问题上海中学数学 年第期四、目标结构不良问题所谓目标结构不良问题是指题目条件信息准确完整,运算算子明确,但目标不完整或缺失的问题高考中的填空题多是此种类型的问题例
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