一维均匀势场中含时薛定谔方程的求解.pdf
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1、第卷第期大学物理 年月收稿日期:;修回日期:基金项目:河南大学明德计划资助作者简介:任喜军(),男,山东潍坊人,河南大学物理与电子学院物理系副教授,博士,主要研究领域:量子信息和量子计算、量子光学、冷原子物理:一维均匀势场中含时薛定谔方程的求解任喜军,刘祥瑞(河南大学 物理与电子学院 物理学系,河南 开封)摘要:本文详细讨论了一维均匀势场中含时薛定谔方程的求解求解的思想是以均匀势场中经典粒子的运动作为参考,从经典粒子的运动轨迹出发,构建出量子情形下描述粒子运动的高斯波包形式的演化波函数,进而借助含时薛定谔方程确定波函数的具体形式在上述思想指导下,推导得出了坐标表象和动量表象下均匀势场内一维粒子
2、的传播子函数同时,作为比较,狄拉克态矢量符号提供了另一种得到上述传播子函数的途径关键词:薛定谔方程;坐标表象;动量表象;狄拉克符号;传播子函数中图分类号:文献标识码:文章编号:()在量子力学有关薛定谔方程的教学中,可以严格求解的模型具有非常重要的意义,它们不仅可以帮助学生加深对理论的理解,而且还能提供一些直观的物理图像,为后面更复杂内容的学习提供指导然而,作为一种简单的可以严格求解的外势场模型,粒子在均匀外势场中的运动却很少被传统的量子力学教科书讨论到在著名的朗道的理论物理学教程和的著作中,对粒子在均匀外势场中运动问题的讨论,都用到了高级而复杂的数学函数,初学者很难接受和掌握所以,我们希望以一
3、种初等的直观简捷的方式来求解粒子在均匀外势场中的运动问题,并通过此问题的求解向初学者展示量子力学中一些基本数学工具的使用我们注意到,通过经典类比的方式,提供了一种简单直观的方法来求解量子粒子在一维均匀势场中运动的薛定谔方程他从高斯波包所描述的自由粒子的经典运动轨迹出发,推演出了在均匀外势场内粒子的量子波函数随时间的演化形式,该形式同时也提供了计算坐标表象下均匀外场中传播子函数的方式这里我们将采用相同的思路,在动量表象下求解均匀外势场问题相较于坐标表象,动量表象更适用于均匀外势场问题,因此我们的处理更加简洁清晰,并且能够更好地揭示出问题相关的物理图像坐标表象下均匀势场中薛定谔方程求解一个质量为的
4、粒子在均匀外场力作用下做匀加速运动,加速度 假设粒子初始位置,初始速度,则运动轨迹为()()在量子理论框架下,上述粒子的运动由波函数(,)描述,它在均匀外势场()中随时间的演化由薛定谔方程给出()接下来,我们用一个宽度为的高斯型波包描述粒子的初始波函数在没有外场力,即 时,该波函数随时间的演化为,(,)()槡 ()显然,上述波函数所描述的粒子波包停留在原点并且宽度不断在增加,展宽来自于动量即速度的分布除了展宽外,我们注意到上式中波函数还有相位的变化,它来自于与虚单位相关的项如何从 的自由粒子波函数推广给出时均匀势场中的演化波函数?我们做如下的分析推理首先,粒子的经典运动轨迹应当给出高斯波函数中
5、心的位置其次,均匀外场的作用不应当对波包的展宽有进一步的影响,理由如下:对粒子施加一个均匀的外力等效于变换到匀加速参考系(我们考虑的是非相 大学物理第卷对论情形),那么在这种变换下作为可观测量的必须保持不变,这意味着无论是静止地或者加速地去观察粒子的运动,粒子波包的形状是相同的基于上述推理,我们可以从 的波函数出发写出时的如下形式的尝试波函数解(,),Co(,)()在该尝试解中我们加入了一个随时间和空间变化的相位因子,即实值函数(,),接下来的任务即确定此函数,为此我们需将尝试式()代入到薛定谔方程式()中利用数学求导的链式法则,式()中的各偏导数项列出如下:Co()()Co()将式()()代
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