由一道高考三角最值题引发的探究.pdf
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1、考试指导1试题呈现,简洁常规试题(2018年江苏卷第13题)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于D,且BD=1,则4a+c的最小值为.这是一道考查解三角形、基本不等式与最值的小综合题,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.这道高考题设置新颖、寓意深刻、情境熟悉、难易适当、解法多样,是一道值得探究的好题.2参考答案,通性通法解:如图1,因为ABC=120,ABC的 平 分 线 交AC于D,所 以ABD=CBD=60,因为SABC=SABD+SCBD,所 以 由 三 角形面积公式可得12acsin120=
2、12asin60+12csin60,化简得ac=a+c,即1a+1c=1.于 是4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当ca=4ac,即a=32,c=3时等号成立,故4a+c的最小值为9.评注:在解题过程中,利用几何直观得到SABC=SABD+SCBD,这是解题的突破口,进而得到关于a、c的关系式1a+1c=1,最后利用乘“1”的技巧结合基本不等式放缩,求得了4a+c的最小值.3解法探究,夯实基础解法1:利用相似,精彩呈现.如图2,延长AB到E,使BE=BC,由ABC=120,可知EBC=60,EBC为等边三角 形,且 易 知BDEC,所以ABDAEC,
3、ABAE=BDEC,即cc+a=1a,即ac=a+c,以下同参考答案.解法2:利用向量,豁然开朗.如图1,因为BD 是ABC的平分线,所以由角平分线性质可得ADDC=ca,所以ADAD+DC=ca+c,即由一道高考三角最值题引发的探究湖南省会同县第一中学 于先金 唐鹏久 418300摘要:“一题多解”是克服学生思维定势的一种有效途径,也是培养学生发散思维的一种有效方法;“一题多变”在形式上不同,但实质上相同.本文对一道高考三角最值题的解法、推广和变式等进行了一些探究,对提高学生思维的广阔性和知识应用的灵活性很有益处.关键词:解法探究;推广探究;变式探究BADCca1图1BADCE图22023年
4、第2期河北理科教学研究 59考试指导AD=ca+cAC.所以 BD=BA+AD=BA+ca+c AC=BA+ca+c(BC-BA),即 BD=aa+c BA+ca+c BC,即(a+c)BD=a BA+c BC,两 边 平 方 得(a+c)2 BD2=a2 BA2+c2 BC2+2ac|BA|BC cos120,即(a+c)2=a2c2,即ac=a+c,以下同参考答案.解法3:利用坐标,数形结合.如图3,以B为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,且各点坐标分别为B(0,0),D(1,0),A c2,-3c2,C(a2,3a2).由 于A,D,C三点共线,因而有 DA DC,又 DA=c
5、2-1,-3c2,DC=(a2-1,3a2),所 以 有c2-13a2-a2-1 -3c2=0,化 简 得ac=a+c.以下同参考答案.解法4:张角定理,简单明了.由张角定理得sin60c+sin60a=sin1201,即1a+1c=1.以下同参考答案.注:张角定理:如图4,在ABC中,D为AC边上一点,连结BD,则sinABDBC+sinCBDBA=sinABCBD.4推广探究,揭示本质推广:在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,ABC=,ABC的平分线交AC于D,且BD=t,则ma+nc(m0,n0)的最小值为t()m+n22cos2.证明:由张角定理得sin2a+sin2c=s
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