水资源非线性损失对植被生长影响的模型研究.pdf
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1、第4 9卷 第2期2 0 2 3年6月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.2J u n.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 4 0 8基金项目:福建省自然科学基金(2 0 2 1 J 0 1 1 2 2 8)作者简介:石志高(1 9 8 3),男,硕士,副教授,研究方向为微分方程及应用.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 2-0 1 4 9-0 6
2、水资源非线性损失对植被生长影响的模型研究石志高(福建江夏学院 数理教研部,福州 3 5 0 1 0 8)摘要:为研究水资源非线性损失(因自然或人为原因造成的损失)对植被生长的影响,依据生态模型建立了一种植被与水资源相互影响的微分方程模型.首先,对该模型平衡点的性态进行了分析;其次,利用D u l a c判别法证明了模型的正平衡点是全局渐近稳定的,并给出了其生态意义;最后,对模型进行了数值仿真,并分析了水资源损失的变化对植被生长的影响.该研究结果可为合理调控水资源与植被的相互关系提供理论依据.关键词:微分方程;平衡点;非线性;水资源;植被;模拟仿真;全局渐近稳定中图分类号:O 1 9 3;O 1
3、 7 5.1 文献标识码:AA m o d e l s t u d y o n t h e i m p a c t o f n o n l i n e a r l o s s o f w a t e r r e s o u r c e s o n v e g e t a t i o n g r o w t hS H I Z h i g a o(T e a c h i n g a n d R e s e a r c h D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d P h y s i c s,F u j i a n J i a n g x
4、 i a U n i v e r s i t y,F u z h o u 3 5 0 1 0 8,C h i n a)A b s t r a c t:T o s t u d y t h e i m p a c t o f n o n l i n e a r l o s s o f w a t e r r e s o u r c e s(c a u s e d b y n a t u r a l o r h u m a n f a c t o r s)o n v e g e t a t i o n g r o w t h,a d i f f e r e n t i a l e q u a t i
5、 o n m o d e l f o r t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n v e g e t a t i o n a n d w a t e r r e s o u r c e s w a s e s t a b l i s h e d b a s e d o n a n e c o l o g i c a l m o d e l.F i r s t l y,t h e b e h a v i o r o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e m o d e l w a s a n
6、 a l y z e d;S e c o n d l y,t h e D u l a c d i s c r i m i n a n t m e t h o d w a s u s e d t o p r o v e t h a t t h e p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e m o d e l w a s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e,a n d t h e e c o l o g i c a l s i g n i f i c
7、 a n c e w a s g i v e n;F i n a l l y,n u m e r i c a l s i m u l a-t i o n s w e r e c o n d u c t e d o n t h e m o d e l t o a n a l y z e t h e i m p a c t o f c h a n g e s i n w a t e r r e s o u r c e l o s s o n v e g e t a t i o n g r o w t h.T h e r e s e a r c h r e s u l t s c a n p r o
8、 v i d e t h e o r e t i c a l b a s i s f o r r e a s o n a b l e r e g u l a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w a t e r r e s o u r c e s a n d v e g e t a t i o n.K e y w o r d s:d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;e q u i l i b r i u m p o i n t;n o n l i n e a r i t y
9、;w a t e r r e s o u r c e s;v e g e t a t i o n;a n a l o g s i m u l a-t i o n;g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e0 引言植被和水资源是生态系统的重要组成部分,其中水资源决定了植被的生长状态.由于干旱地区的降水量存在很大的不稳定性,因此其对干旱地区的植被生长具有较大影响,并进而会影响整个干旱地区的生态系统平衡.为了研究干旱地区的水资源损失对绿洲植被的影响,近年来一些学者对荒漠 绿洲系统与水资源的相互关系做了一些理论研究1-4,但应用微分方
10、程生态模型对两者的关系进行研究得较少5-6.2 0 1 4年,冯建刚等6在水资源损失为线性的情形下研究了如下水资源和植被系统相互影响的微延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 分方程模型:dxdt=r-c x-n y-h x y,dydt=a x y-y.(1)研究显示:植被的退化不会周期性发生;当降雨量过少时,植被会因缺水而导致其逐渐退化和形成荒漠;当降雨量充足时,植被的密度取决于水的供给数量.但在实际中,由于水资源的损失大多是非线性的,因此本文在文献6研究的基础上考虑水资源非线性损失对植被生长的影响,并建立和研究如下模型:dxdt=a-b x-c y-d x y,dydt=y(-h+e x)
11、.(2)其中:a、b、c、d、e、h均为正常数,x表示地下水资源,y表示植被密度,a表示地下水的增量,b表示因土壤渗透而导致的水的损失率,-b x表示水资源的非线性损失,c表示单位密度的植被蒸散量,h表示因缺水而导致的植被死亡率,d x y表示植被对水的吸收量,e x y表示植被的生长量.注1文献6研究的是=1时的情形,本文研究的是0且1时的情形.1 预备知识定义16对于驻定微分方程组dydt=f(y),yDRn,若方程组f(y)=0的解y=y*为相空间中满足微分方程组的点,则称y=y*为平衡解(驻定解、常数解),又称为奇点(平衡点).定理16(B e n d i s i o n-D u l
12、a c判别法)若在单连通区域G内存在函数B(x,y)C1(G),使得(B P)x+(B Q)y0(0),(x,y)G,且不在G的任一子区域内恒为零,则系统不存在全部位于G内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线.其中函数B(x,y)常称为D u l a c函数.定理26对应于矩阵A的特征根的不同情况,微分方程组零解的稳定性态为:1)若特征根均具有负实部,则方程组的零解是渐近稳定的.2)若有正实部的特征根,则方程组的零解是不稳定的.2 模型的平衡点分析由模型(2)的生态意义知,只需在G=(x,y)|x0,y0 上对模型(2)的平衡点进行讨论即可.引理1 当abhe 时,模型(2)有平衡点A(x0,
13、0).当abhe 时,模型(2)有平衡点A(x0,0)和正平衡点B(x1,y1).证明 解方程组 dxdt=a-b x-c y-d x y=0,dydt=y(-h+e x)=0 可得模型(2)的所有可能的平衡点均存在以下两种情形:a-b x=0,y=0 和 a-b x-c y-d x y=0,-h+e x=0.解第1种情形可得 x=ab 1,y=0.记x0=ab 1,则由方程的解可知,此时存在平衡点A(x0,0).051 第2期石志高:水资源非线性损失对植被生长影响的模型研究解第2种情形可得 y=b ec e+d hab-he ,x=he.记x1=he,y1=b ec e+d hab-he ,
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