深耕生本课堂,厚植学生素养——以“等差数列第一节课”为例.pdf
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1、数学之友2023年第10 期案例分析深耕生本课堂,厚植学生素养以“等差数列第一节课”为例唐婷婷(江苏省锡山高级中学,江苏无锡,2 1417 4)摘要:基于学生素养,本文以“等差数列第一节课”为例,通过“设疑激趣、主动探究、迁移内化、互动评说”的环节,对生本课堂的提质增效进行了尝试,以期为教育工作者提供借鉴与参考.关键词:等差数列;生本课堂;学生素养式的推导.1教学背景教学难点:等差数列的“等差”特点及等差数列普通高中数学课程标准(2 0 17 年版2 0 2 0 年修订)在课程教学实施中指出:“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习的过程中逐步形成的.”生本课堂的本质特征是“知
2、识为基、能力为重、素养为向”.下面笔者以人教A版选择性必修第二册第四章“数列”中“等差数列”第一课时的内容为例,阐释聚焦学生核心素养的生本课堂的教学.知识层面上,学生已经学习了数列的概念,通过类比函数的表示方法,掌握了数列的表示方法:通项公式(递推公式)法、列表法、图象法.学生经历了归纳推理的过程,具备了归纳总结和类比迁移的能力.方法层面上,通过一系列情境化问题,让学生感受到数学来源于生活又应用于生活.在等差数列通项公式的推导中,渗透了归纳、迭代、累加等数学思想方法,为学生的后续学习助力.2教学目标(1)通过情境化教学,学生能在具体的问题情境中找出等差关系,初步掌握等差数列的证明方法(2)经历
3、等差数列概念的揭示过程,探究等差数列通项公式的多种推导方式,学生通过观察、分析、探索、归纳和推理等数学思想方法,提升数学抽象和数学建模等核心素养.(3)学生通过小组合作,会利用等差数列的定义及通项公式解决相关问题,养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.3教学重点、难点教学重点:等差数列的概念和等差数列通项公22_数学之友的证明.4教学实录4.1设疑激趣,强化概念引入:上节课我们研究了数列的概念,知道数列是一种特殊的函数.我们在学习函数时先研究了函数的概念、性质,接着研究了一些基本初等函数,如幂函数、指数函数、对数函数等.那么,类比函数的研究方法,接下来应该研究基本初等数列了,那先研究
4、哪一种基本初等数列呢?请同学们先看以下四个问题情境.情境1:北京圜丘坛为古代祭天的场所,圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的9 圈扇形石板从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.情境2:S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.情境3:测量某地垂直地面方向上海拔50 0 米以下的大气温度,得到从距离地面2 0 米起每升高10 0米处的大气温度(单位:)依次为2 5.0,2 4.4,2 3.8,23.2,22.6.情境4:某人向银行贷款x万元,贷款时间为n年,如果个人贷款月利率为
5、T,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金6 万元,其中b=-,每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为12nr,xr-br,xr-2br,xr-3br,.问题1:观察上述情境中的数列,你能用数学语言描述它们的共同特征吗?问题2:在数学学习过程中,我们经常运用“特殊数学之友到一般”“已知推未知”的思想方法,如在指数函数的学习过程中,我们可以通过运算发现问题情境中数值的变化规律.类似地,你能通过运算发现以上问题情境中数列的取值规律吗?问题3:公元前16 50 年左右的埃及数学著作莱因德纸草书(Rhind Papyrus)中就有等差数列的相关记载,楚国铜环权的重量也是按等差数列来划分
6、的.在我们日常生活中,人们也常常用到等差数列,你能举出一些身边的例子吗?设计意图:因为数列是特殊的函数,在了解了数列的一般概念后,我们要研究一些具有特殊变化规律的数列,建立它们的通项公式,并运用它们解决实际问题和数学问题,从中感受数学模型的现实意义.教学时,教师可适当加入等差数列的数学史,激发学生的学习兴趣,进一步让学生体会到等差数列就在身边.为了说明等差数列广泛存在于现实生活中,举了4个实际例子,其中前两个例子是关于建筑和服装设计的,说明人们在设计中会主动使用“相等间隔”的数,后两个例子则说明人们通过测量、计算等从自然界或经济生活中可能得到“间隔相等”的数.通过对具体的等差数列例子的归纳概括
7、,我们获得等差数列的定义.等差数列的研究既起到了承上启下的作用,又为研究等比数列作出了示范.教师:(由“差都相等”引出课题,交由学生讨论得出定义)我们来看这个定义,符号语言:an-n-1=d,n2(nEN*),为什么是从第二项起?从第一项起行不行?学生1:第一项不存在前一项,所以如果从第一项起那就没有办法作差了.教师:如果从第三项起作差行不行?学生2:如果从第三项起作差,那么第一个差就是-2,所有差中就不包含z-a了,所以数列从第二项起是等差数列.教师:看来,等差数列的定义中必须满足从第二项起,那为什么每一项与其前一项的差都等于同一个常数?能不能把“同”字去掉?学生3:那就不一定是等差数列了,
8、反例:0,2,6,8.教师:很好!“同一个”具有任意性,所有的差都得相等,所以才叫公差.如此看来,这个定义真是反映了这类数列的特征了。问题4:一个等差数列最少需要几项?学生4:至少三项(引出等差中项的概念).2023年第10 期问题5:(1)在等差数列la,中是否有an=an-1+an+I(T(n2,neN*)?2(2)在数列(an/中,若anN*),则(n是等差数列吗?设计意图:从特殊到一般,研究只含三项的等差数列,给出了“等差中项”的定义及其性质.从数值上看,等差中项等于首项与末项的算术平均数.实际上,对于一般的等差数列中的三项m,pan,如果2 p=m+n,那么就有2 a,=am+an,
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