结合代数上的李n-导子.pdf
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1、第 35 卷第 3 期湖南文理学院学报(自然科学版)Vol.35 No.32023 年 9 月Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology)Sep.2023doi:doi:10.3969/j.issn.16726146.2023.03.002结合代数上的李 n导子 刘卓,袁鹤(吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平,136000)摘要:设 R 是交换环,A 和 B 是 R 上的两个结合代数。利用恒等式理论,证明了在一定条件下,A 和 B 上的李n导子是标准的当且仅当AB 上的李 n导子是标准的。
2、关键词:李 n导子;李导子;导子中图分类号:TP 391文献标志码:A文章编号:16726146(2023)03000606Lie n-derivations on associative algebrasLiu Zhuo,Yuan He(College of Mathematics and Computer,Jilin Normal University,Siping 136000,China)Abstract:Let R be a commutative ring,and A and B be two associative algebras over R.Using the identi
3、ty theory,this paper proves that under certain assumptions,Lie nderivations of A and B are proper if and only if Lien-derivation ofAB is proper.Key words:Lie n-derivation;Lie derivation;derivation早在 1961 年,Herstein 就提出了关于结合单环上和素环上的李型映射都具有标准形式的猜想1。1964 年 Martindale2证明了存在非平凡幂等元的本原环上的李导子可以表示成一个导子和一个中心可
4、加映射之和。2003 年 Mathieu 等3证明了 C*代数上的李导子都是标准的。2003 年 Cheung4证明了三角代数上的李导子是标准的,同时也证明了 A1和 A2上的李导子是标准的当且仅当12AA上的李导子是标准的,其中 A1,A2是有单位元的交换环 R 上的两个结合代数。2006 年 Lu5证明了某些 CSL 代数上的李导子是标准的。2017 年 Zhang6等研究了关联代数上李导子的标准形式。关于李三导子标准形式的研究同样起源于 Herstein 李型映射的猜想1。1978 年 Miers7证明了不存在中心 Abel 直和项的 von Neumann 代数上的李三导子是标准的。1
5、993 年 Brear8证明了在一定条件下素环上的李三导子都是标准的。2006 年 Zhang 等9和 2007 年 Lu10先后证明了套代数上的李三导子是标准的。2012 年 Xiao 等11证明了三角代数上的李三导子是标准的。2019 年 Wang 等12研究了关联代数上李三导子的标准形式,并且证明了在一定件下,A 和 B 上的李三导子是标准的当且仅当AB上的李三导子是标准的,其中 A,B 是 R代数。随着李导子和李三导子研究的不断深入,近几年学者们在李n导子标准形式的一类问题上也做出了重要的贡献。2013 年 Benkovi等13证明了三角环上的李 n导子是标准的。2013 年 Wang
6、14等证明了广义矩阵代数上的李 n导子是标准的。2020 年 Xiao 等15证明了关联代数上的李 n导子是标准的。受文献4和12的启发,本文将李导子、李三导子的相关结论推广到李 n导子上,并利用恒等式理论证明在一定条件下,A 和 B 上的李 n导子是标准的充分必要条件为AB 上的李n导子是标准的。通信作者:刘卓,。收稿日期:20220920基金项目:吉林省科技发展计划项目(YDZJ202201ZYTS622);吉林省教育厅科学技术研究项目(JJKH20220422KJ)。第 3 期刘卓,等:结合代数上的李 n导子71预备知识为了更加清晰地阐述主要定理,本节给出相关知识。设R是交换环,A是R上
7、的一个结合代数,若线性映射:d AA满足()()(),d xyd x yxd y,x yA则称 d 是A的导子。对于任意的,x yA,记,x yxyyx为Lie积。若线性映射:AA满足(,x)(),(),yx yxyx yA则称是A的李导子。如果一个李导子具有形式df,其中:d AA是一个导子,:()fAZ A满足(,)0,fx yx yA。那么称是标准的。接下来,给出李三导子的定义。定义 1若线性映射:AA满足(,)(),(),(),x y zxy zxyzx yzx yzA则称是A的李三导子。类似地,给出李 n导子的定义及其标准形式。定义 2设1112121121231232123123(
8、),(,)(),(,)(,),p aap a ap aaa ap a a ap a aaa aa123112311231(,)(,),nnnnnnnp a a aapa a aaaa aaaa若线性映射:L AA满足1212121211123(,)(),)(,(),)(,(),),nnnnnnnniiinniL p a aap L aaap a L aap a aaL aaaa aaA则称 L 是 A 的李 n导子。如果一个李 n导子L具有形式 L=D+F,其中:D AA是一个导子,F A:()Z A满足1212(,)0,nnnF p a aaa aaA那么称 L 是标准的。对于 A 中任意元
9、素 x,y,规定01,()y xyp y,12,(,)y xy xp y x,23,(,)y xy x xp y x x,归纳定义11,(,)nnny xy xxpy xx。对于正整数n,定义111()|,0,|(,)0,nnnnnZAaA a xxAaA pa aaaaA 显然1()()ZAZ A,而且对于11in ,有1()()iiZ AZA。设 B 也是 R 上的一个结合代数,定义0|,0aaA bBbAB 显然,在通常的矩阵运算下构成一个 R 上的结合代数。2主要定理及其证明引理 1设 A 是 R 上的结合代数,2()()Z AZA,则()()nZAZ A。证明令2n,因为()()nZ
10、 AZA,所以只需证明()()nZAZ A。事 实上,对 于任 意 的(),naZA12,na aaA有1121120(,)(,),nnnnpa a aapa aa1,nnaa则1122(,)()()nnpa aaZAZ A。因此12121320(,)(,),nnnnnnp a aaapa aaa1,na则2132(,)()()nnpa aaZAZ A。以此类推最后可以得到312120(,),p a a aa aa则2()()aZAZ A。综上所述对于任意的()naZA有()aZ A,即()()nZAZ A。即得证。引理 2设 A,B 是 R 上的两个结合代数,L 是AB 的一个李 n导子,则
11、()()000()()0ABABla+h baLha+lbb,(1)其中:aA,bB,:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射,且满足:(1)Al是A上的一个李 n导子,12(,)0Annhp a aa,11(),)0nAnp h a bb,1121,nnaaA b bbB;(2)Bl是B上 的 一 个 李 n 导 子,1211(,)0,(),)0,BnnnBnhp b bbp h b aa112,nbbB a a1naA。证明令aA,bB,:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射,先假设式(1)成立。因为 L 是AB 的一个李 n导子,则对于任意的12
12、,nx xxAB 有121123112311233(,)(),)(,(),)(,nnnnnnnniL ppLpLpx xxxxxxxxxxx xx8湖南文理学院学报(自然科学版)2023 年(),)inLxx。(2)特别地,取1212000,000000nnaaaxxx由式(1)、(2)得1212(,)00(,)AnnAnnlp a aahp a aa121213(),)(,(),)(,(),)000nnAnnAnnAinip laaap a laap alaa。则12121213(,)(),)(,(),)(,(),),nAnnnAnnAnnAinilp a aap laaap a laap
13、alaa即Al是A上的一个李 n导子,以及12(,)0Annhp a aa,12,na aaA。同样的,取1100,0bx2200,0bx00,0nnbx可得到Bl是B上的一个李 n导子,以及12(,)0Bnnhp b bb,12,nb bbB。接 下 来 取121100000,0000nnabbxxx由 式(1)、(2)可 得 等 式01100,0(),)nAnp ha bb即11(),)0nAnp ha bb,11,naA bbB。同 样 的,取11120000=,00000nnaabxxx可 得 到11(),)0,nBnp h b aa1,a 1,naA bB。证毕。定理1,A B是R上
14、的两个结合代数,且满足条件:(1)2()()Z AZA;(2)2()()Z BZB,则A和B上的李 n导子是标准的 AB 上的李 n导子是标准的。证明()假设A和B上的李 n导子是标准的,下面证AB 上的李 n导子也是标准的。设L是AB 上的一个李 n导子,由引理 2 得()()00,0()()0ABABlah baLhalbb其中:aA;bB;:AlAA,:BlBB,:AhAB,:BhBA是 R线性映射且满足:(1)Al是A上的一个李 n导子,12(,)0Annhp a aa,11(),)0nAnp h a bb,1,naaA,121,nb bbB;(2)Bl是B上的一个李n导子,12(,)
15、0Bnnhp b bb,11(),)0nBnp h b aa,1,nbbB,121,na aaA。由引理 1 可得11()()()(),()()()()AnnBnnh aZBZ BZ Bh bZAZ AZ A。由假设知A和B上的李n导子都是标准的,则A上的李n导子Al可以写成AAAldf,其中Ad是A 上的一个的导子,:()AfAZ A满足12(,)0,Annfp a aa12,na aaA。同样的,B上的李 n导子Bl可以写成BBBldf,其中Bd是B上的一个导子,()BfBZ B:满足121(,)0,Bnnfp b bbb2,nbbB。令()00,0()0ABdaaDdbb()()00,0
16、()()0ABBAfah baFfbh ab则 L=D+F。首先证明D是AB 上的导子。一方面,对于任意的121200,00aabb AB 其中1212,a aA b bB有12120000aaDbb12121 21 20()000()ABa ada aDbbdbb第 3 期刘卓,等:结合代数上的李 n导子912121212()()00()()AABBda aa dadb bb db。(3)另一方面,12121221121212210000000000000000AABBdadaaaaaaaDDdbdbbbbbbb 12121212()()00()()AABBda aa dadb bbdb。(
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