课程思政视域下“常数项级数”的教学案例.pdf
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1、 收稿日期2 0 2 1-1 0-1 0;修改日期2 0 2 2-0 4-2 0 基金项目国防科技大学研究生教改课题(y j s y 2 0 1 9 0 3 6);湖南省课程思政建设研究项目(HNK C S Z-2 0 2 0-0 0 2 5)作者简介朱永婷(1 9 8 1-),女,硕士,副教授,从事大学数学教学与研究.E-m a i l:4 8 1 4 3 3 4 5q q.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3课程思政视域下“常数项级数”的教学案例朱永婷,吴奇明(
2、国防科技大学 国际关系学院 基础教学系,南京2 1 0 0 3 9)摘 要结合教学实践,基于常数项级数的教学内容,设计一种比较新颖的教学案例.在课程思政视域下通过悖论引入、概念生成、矛盾解决、拓展应用等教学环节,以期实现“知识传授、能力培养、价值引领”三者的有机融合.实践证明,这对学生常数项级数概念的理解、理性分析问题能力的培养、核心价值观的引领方面具有良好的效果.关键词常数项级数;悖论;敛散性;课程思政 中图分类号O 1 7 2.1 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 2 5-0 61 引 言目前通用的高等数学教材有关常数项级数的教学内容,大
3、体是类似的,通过引例引出常数项级数的基本概念,然后给出收敛级数的基本性质,而常用的引例不外乎以下几种类型,史料型:庄子 天下篇“一尺之锤”“刘徽割圆术求圆的面积”,实例型:“污染物的排放”“弹性小球跳动问题”,悖论型:“芝诺悖论”“阿基里斯悖论”等.通过创设情景,案例导入,引出课题,在授课过程中,根据案例的类型,不同程度的融入“文化自信”“环境保护”“蜗牛精神”等思政元素.而本文在查阅大量相关资料的基础上,结合多年的教学实践,设计出源于教材而不拘泥教材的教学案例,除了潜移默化上述的精神品质及思想方法外,还着力消除学生学习中遇到的困惑,培养去伪存真、敢于质疑、坚持真理1、勇于创新的精神,学会用严
4、谨理性的思维分析问题,体会理性思维的魅力,感受科学严谨的力量,让科学思维与思政引导同频共振.2 引入格兰迪悖论,巧设疑惑意大利数学家格兰迪曾在1 7 0 3年提出一类无穷级数,1-1+1-1+1-1,该级数形式看似简单,但关于“求和”在当时引起广泛热议,许多一流数学家都认为该级数的“和”是存在的,比如欧拉、伯努利,当时激烈争论的结果主要有三种,分别是0,1和12,三种结果产生分歧长达1 5 0年左右,其中雅各布伯努利在1 6 9 6年的论文中有如下推理1:lm+n=lm 1+nm-1=lm-l nm2+l n2m3-.当m=n=l时得到12=1-1+1-1+1-1.但另一方面,使用结合律,可以
5、得到互相矛盾的结果:1-1+1-1+=(1-1)+(1-1)+=0;1-1+1-1+=1-(1-1)-(1-1)-=1.伯努利把这种从0到1的现象称为“无中生有”,而数学家欧拉似乎对无穷级数也有着十分独特的见解,他通过展开又重新发现这一悖论:(1-x)(1+x+x2+x3+)=1-x+x-x2+x2-x3+x3=1.1+x+x2+x3+=11-x(x1),令x=-1,得1-1+1-1+1-1=12.关于这个结果,格兰迪还做了有趣的比喻来说明它的“正确性”,两个儿子继承父亲的一块宝石,他们轮流保管1年,等价于各自保管半年,拥有半块宝石,所以其“和”是12,这种有趣的悖论吸引了很多数学家来研究,莱
6、布尼茨、拉格朗日、傅里叶、泊松,他们都认为12是“最佳答案”.这些自相矛盾的结果困扰着数学家长达数百年,直到1 9世纪,严密化无穷级数理论的建立,这个问题才被彻底解决.通过引入这段史实,使学生们认识到,数学家也不是天才,也会走弯路,学习过程中如果遇到困难,不要畏缩,走了弯路,也不要失去信心,始终保持积极向上的态度和永不止步的劲头,从而培养坚守初心、勇于探索、坚持真理、敢于创新的精神.同时,该悖论的引入可以判断学生的认知水平,以便在后续的授课中有效把握教学的重点和难点,研究无穷级数,首先是求和,然而其和是否存在,需要讨论级数的敛散性,而敛散性的依据就是部分和数列的极限,如果极限存在,级数就是收敛
7、的,该极限就是级数的和,否则是发散的,这也正是常数项级数的基本概念.3 学习基本概念,解释“无中生有”通过格兰迪悖论,学生知道了古代数学家们走的各种弯路,使得求知欲和好奇心大增,接下来,启发学生常数项级数是无穷级数,有限项求和容易,而无限项“求和”却难以做到,那么从有限拓展到无限,该如何实现?自然是借助极限的思想方法,所以常数项级数的研究,要以极限作为工具是关键,此时要让学生体会到有时候要认清一些事物的本质,必须要放到一个无限的过程中.为此,引入一个与生活息息相关的例子,吸引着学生一起分析和探究.例 一位慢性病患者按医嘱每天服用药物0.0 5 m g,而身体每天有2 0%的药物通过各种渠道排出
8、体外,问长期服药后,体内药物的含量维持在怎样的水平?3通过问题分析,梳理出两个疑问:(i)患者每天都吃药,排泄掉只有2 0%,那么体内的药量就越来越多,会达到无穷大吗?也就是sn会增加到无穷大吗?(i i)如果患者万寿无疆,体内药物含量的值是多少?l i mnSn=0.0 5+0.0 545+0.0 5 45 2+0.0 5 45 3+0.0 5 45 n-1+.在解决疑问的过程中,教学双方都会有这样的体会,一个人的寿命肯定是有限的,但是这个问题的解决,却必须通过n趋于无穷大sn的极限来实现.所以,有些事情必须放在一个无限的过程中,才能挖掘其本质,认清其规律.通过生活实例,让学生感性地认识常数
9、项级数研究的问题,加强学生对常数项级数内涵的整体认识,从而水到渠成地生成常数项级数的基本概念,把教材中晦涩的学术形态转化为易于学生接受的教育形态4.至此,自然构建出常数项级数、部分和数列、收敛与发散、级数的和等概念(这里从略).根据定义验证格兰迪级数,首先求部分和数列sn的极限,很显然l i mnsn=0,n=2k,l i mnsn=1,n=2k+1.由极限的唯一性,l i mnsn不存在,所以格兰迪级数是发散的,这个“和”根本就不存在,再继续讨论级数和等于几没有任何意义.这个让大数学家们迷惑不解,甚至狼狈不堪许多年的问题是不存在的.用定义否定了格兰迪级数的三个结论,思考0和1的方法错在哪里?
10、在这里需要重点理解收敛级62大 学 数 学 第3 9卷数的性质:如果常数项级数收敛,则对这级数的项任意添加括号后所成的级数仍收敛,且和不变5.而发散级数则不能随便加括号,这也正好回答了“无中生有”的错误在于结合律,在有限和中经常使用的“结合律”和“交换律”,不是随便“结合”或“交换”的,结合律和交换律只能在有限和运算中才成立,错误使用“结合律”是导致自相矛盾结果的根本原因.由于当时认知的局限性,数学家们并不能准确严密地判断和解释这些结果究竟是诡辩还是真理,所以出现这些错误也是不可避免的.常数项级数概念展示了有限与无限的本质区别和辩证统一,教学过程中注重引导学生透过知识的表象,抓住它的本质,把握
11、它的灵魂,并着重强调有限和的运算法则,在无限“和”时不成立,这有助于进一步加深无限和有限之间辩证关系的理解,体会理性思维的魅力,感受科学严谨的力量.4 讨论几何级数,解释“最佳答案”利用上述定义与方法,讨论几何级数a+a q+a q2+a qn-1+(a0)的敛散性.结论为当|q|1时,级数收敛到a1-q,当|q|1时,级数发散(推理过程从略),这是个有用的结论,它为其他级数的敛散性判断,提供了比较的工具.思考:欧拉的结果是12,而方法错在哪里?1+x+x2+x3+显然是公比为x的几何级数,而它要收敛到11-x,必须满足|x|1,而这里x=-1,此时级数是发散的,生搬硬套是问题的根源之所在.不
12、过由于当时认识的局限性,无穷级数等基本概念缺乏科学严谨和恰当统一的定义.这些在今天看起来正确的说法,在当时并不能找到确定的证明,使所有人都心悦诚服,当时也没有人能指出他的方法究竟错在哪里,他们自己也没能解决自己的一些悖论.对此德国教育学家里查德柯朗在他的微积分学论文中写道:“可想而知,这种明显的悖论的发现对1 8世纪的数学家带来什么样的影响,他们习惯于运算无穷级数而不考虑它们的收敛.”6问题到这里已经解决,而学生心中难免会生这样的疑问,为什么会出现这些有趣又矛盾的悖论?文艺复兴之后,人们的思想得到空前的解放,数学家、哲学家的想法可谓天马行空,所以导致许多悖论的产生.结合学生的所思所想,给出答复
13、,因情共鸣,悖论的有些观点虽然不正确,但是一系列的悖论却反映出人们对世界深入的思考.矛盾问题的创建、令人困惑的推理、诡辩式的论证,触及“有限”与“无限”,“运动”与“静止”,不但让人体会了趣味,而且从反面揭示了客观存在于运动中的矛盾,蕴含可贵的辩证法关系.因此悖论是培养人们锻炼逻辑思维能力和创新精神的沃土,科学就是在这层出不穷的悖论阴影中一步步进步和发展起来的.正如法国著名的布尔巴基数学学派所说:“古往今来,为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮”6.通过追根溯源,理性分析,学生全程参与到悖论的解决,会更加深刻的体会到解决具体的问题才是数学创新的根本,有助于培养创新意识,激发学习数学、应用数
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